A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列各式中正确的是( )
A．π＝180 B．π＝3.14
C．90°＝ rad D．1 rad＝π
答案 C
解析 A项，π rad＝180°，故错误；B项，π≈3.14，故错误；C项，90°＝rad，故正确；D项，1 rad＝°，故错误．故选C.
2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形圆心角不变
C．扇形面积增大到原来的2倍
D．扇形圆心角增大到原来的2倍
答案 B
解析 由弧度制定义，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.
3．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为( )
A．－ B.
C. D．－
答案 A
解析 ∵－＝－2π－，∴θ＝－.又－＝－4π＋，∴θ＝.∴使|θ|最小的θ＝－.
4．若α＝－＋2kπ，k∈Z，则角α所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵－9<－<－8，∴－3π<－<－3π.
∴－在第三象限，故α也在第三象限．
5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )
A. B.
C. D．2
答案 C
解析 设所在圆的半径为r，圆内接正三角形的边长为2rsin60°＝r，所以弧长r的圆心角的弧度数为＝.
二、填空题
6．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
答案 －10π
解析 －1485°＝－1485×＝－＝－10π.
7．扇形AOB，半径为2 cm，AB＝2 cm，则所对的圆心角弧度数为________．
答案
解析 ∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°＝.
8．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________________．
答案 ，，，
解析 由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．
令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
三、解答题
9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．
解 ∵150°＝，
∴终边在阴影区域内角的集合为
S＝.
∵2019°＝219°＋5×360°＝ rad，
又 <<，∴2019°∈S.
10．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R.
依题意有解得θ＝或6.
即圆心角的大小为弧度或6弧度．
(2)设扇形所在圆的半径为 x cm，
则扇形的圆心角θ＝.
于是扇形的面积是S＝x2·＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.
故当x＝2 cm时，S取到最大值．
此时圆心角θ＝＝2弧度，弦长AB＝2·2sin1＝4sin1(cm)．
即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1 cm.
B级：“四能”提升训练
1．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C＞0)，该扇形的最大面积为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，则S＝(C－2R)R＝－R2＋R＝－2＋2，当R＝，即α＝＝2时，扇形的面积最大，最大面积为.故选C.
2．如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇所用的时间及P，Q各自走过的弧长．
解 设P，Q第一次相遇时所用的时间为t秒，
则t·＋t·＝2π，解得t＝4.
即第一次相遇时所用的时间为4秒．
P点走过的弧长为：×4＝，
Q点走过的弧长为：8π－＝.
课件17张PPT。课后课时精练本课结束7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
(教师独具内容)
课程标准：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．
教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用．
教学难点：弧度制的概念及角度与弧度的互化.
【知识导学】
知识点一 角的单位制
(1)把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制，规定1°＝60′，1′＝60″.
(2)称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数．长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.以弧度作为单位来度量角的制度称为弧度制．在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写．
(3)弧度数的计算
知识点二 弧度与角度的换算
(1)弧度制与角度制的换算
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π
知识点三 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝＝αr，扇形的面积：S＝＝lr＝α·r2.
【新知拓展】
(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体的一个“过渡量”而已．
(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．
(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度．
(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝30°＋2kπ，k∈Z；β＝＋k·90°，k∈Z，都不正确．
(5)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )
(3)用弧度表示的角都是正角．( )
(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．做一做
(1)在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
(2)－135°化为弧度为________，化为角度为________．
答案 (1)B (2)－ 660°
题型一 弧度制的概念
例1 下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
[解析] 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题．
[答案] D
金版点睛
角度制和弧度制的比较
(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同．
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．
下列叙述中正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大
答案 D
解析 弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D.
题型二 弧度制与角度制的换算
例2 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－；3.5.
[解] 112°30′＝×＝.
36°＝36×＝.
－＝－×°＝－75°.
3．5＝3.5×°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)．
金版点睛
用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角.
(1)－300°化为弧度是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
(2)化为度数是( )
A．278° B．280°
C．288° D．318°
答案 (1)B (2)C
解析 (1)－300°＝－300×＝－.
(2)＝×180°＝288°.
题型三 用弧度制表示角的集合
例3 已知角α＝2020°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
[解] (1)2020°＝2020× rad＝ rad
＝ rad，
又π<<，
∴角α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角为＋2kπ(k∈Z)，
由－5π≤＋2kπ<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是
－，－，－.
金版点睛
用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ?k∈Z?时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
(1)将－1125°表示成α＋2kπ，0≤α<2π，k∈Z的形式为________；
(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
答案 (1)－8π (2)见解析
解析 (1)∵－1125°＝－＝－，
∴－＝－8π，即－1125°＝－8π.
(2)因为终边落在OA处的角θ＝＋2kπ，k∈Z，终边落在OB处的角θ＝－＋2kπ，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为.
题型四 扇形的弧长及面积公式的应用
例4 (1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2；
(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
[解析] (1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.
故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4(cm2)．
(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1)，扇形的面积是lR＝(π－1)R2.
[答案] (1)4 (2)见解析
金版点睛
弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：
(1) 的长；
(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．
解 (1)∵120°＝，∴的长l＝×6＝4π.
(2)S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝AB·OD＝×2×3×3＝9，
∴弓形的面积为S扇形AOB－S△AOB＝12π－9.
1．2145°转化为弧度数为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 2145°＝2145× rad＝ rad.
2．α＝－2 rad，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．
3．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．
答案 ，，
解析 A∶B∶C＝3∶5∶7，则A占总度数的＝；B占总度数的＝；C占总度数的＝.又三角形的内角和为π，则A为，B为，C为.
4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．
答案
解析 若角α的终边落在第二象限，则＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.
5．(1)把310°化成弧度；
(2)把 rad化成角度；
(3)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
解 (1)310°＝ rad×310＝ rad.
(2) rad＝°＝75°.
(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝.
显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ.
解法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.
显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.
课件40张PPT。7.1.2 弧度制及其与角度制的换算本课结束
