A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．把－1485°化成α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
答案 A
解析 ∵0°≤α<360°，∴排除C，D.经计算可知A正确．
2．若β是第二象限角，则270°＋β是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 A
解析 由于β是第二象限角，所以90°＋k·360°<β<180°＋k·360°，k∈Z，则(k＋1)·360°<β＋270°<90°＋(k＋1)·360°，k∈Z，所以270°＋β是第一象限角，故选A.
3．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120° B．－120°
C．－60° D．60°
答案 B
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B.
4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
答案 A
解析 因为β＝315°＝－45°＋360°，所以－45°角与315°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称，故选A.
5．若角α为第二象限角，则的终边一定不在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 因为角α为第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.对k进行讨论，当k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)时，的取值范围分别为(30°＋n·360°，60°＋n·360°)，(150°＋n·360°，180°＋n·360°)，(270°＋n·360°，300°＋n·360°)，n∈Z，所以的终边落在第一或二或四象限，故选C.
二、填空题
6．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．
答案 －30° －360°
解析 经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.
7．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．
答案 一或三
解析 由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
8．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则M________N．(填“?”“?”或“＝”)
答案 ?
解析 M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z}，∵k∈Z，∴k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，∴M?N.
三、解答题
9．写出终边落在图中阴影部分的角的集合．
解 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解 由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α，β都是锐角，
∴－90°<α－β<90°.
又α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
B级：“四能”提升训练
1．若角α的终边和函数y＝－|x|的图像重合，试写出角α的集合．
解 由于y＝－|x|的图像是三、四象限的平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为{α|α＝225°＋k·360°或α＝315°＋k·360°，k∈Z}．
2. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．
解 根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，
故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z，
则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z.
由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，
知2α，2β均为第二象限角．
因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，
所以2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，
于是45°<α<90°，45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°，
即又α<β，所以m即α＝，β＝.
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7.1.1 角的推广
(教师独具内容)
课程标准：了解任意角的概念、理解象限角、终边相同的角的概念并会用集合符号表示这些角．
教学重点：理解正角、负角、零角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法．
教学难点：用集合符号表示终边相同的角.
【知识导学】
知识点一 角的相关概念
(1)一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这两条射线分别称为角的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向可将角分为如下三类：
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转而成的角
负角
按照顺时针方向旋转而成的角
零角
一条射线没有旋转时形成的角
知识点二 象限角
(1)若角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，则角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角．
(2)若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何象限．
知识点三 终边相同的角
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
【新知拓展】
对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )
(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )
(3)象限角与终边落在坐标轴上的角的表示形式是唯一的．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)与600°角终边相同的角可表示为( )
A．220°＋k·360°(k∈Z)
B．240°＋k·360°(k∈Z)
C．60°＋k·360°(k∈Z)
D．260°＋k·360°(k∈Z)
(2)若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
答案 (1)B (2)k·360°，k∈Z
题型一 正确理解角的概念
例1 下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C.
[答案] C
金版点睛
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )
A．60° B．－60°
C．30° D．－30°
(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.故选B.
(2)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝100°，∠COD＝360°－240°＝120°，∠AOD＝∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°－90°＋120°＝130°.
题型二 象限角的判定
例2 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①－75°；②855°；③－510°；
(2)若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限的角？
[解] (1)作出各角，其对应的终边如图所示：
①由图a可知：－75°是第四象限角．
②由图b可知：855°是第二象限角．
③由图c可知：－510°是第三象限角．
(2)①∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．
②∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．
解法一：a.当k＝2n(n∈Z)时，
45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；
b．当k＝2n＋1(n∈Z)时，
225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
即是第三象限角．故是第一或第三象限角．
解法二：∵45°＋k·180°表示终边为第一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为如图中阴影部分图形的角．即是第一或第三象限角．
金版点睛
象限角的判定方法
(1)根据图像判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
(3)nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
(4)所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：
①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；
(2)若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限．
解 (1)因为α为第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，
则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，
所以90°－α的终边在第三象限．
(2)由于α为第四象限角，
即α∈(－90°＋k·360°，k·360°)(k∈Z)，
所以∈(－45°＋k·180°，k·180°)(k∈Z)．
当k＝2n，n∈Z时，∈(－45°＋n·360°，n·360°)(n∈Z)，是第四象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，∈(135°＋n·360°，180°＋n·360°)(n∈Z)，是第二象限角．
综上，可知的终边所在的象限是第二或第四象限.
题型三 终边相同的角的表示
例3 (1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
[解] (1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}．
∵－720°≤β<360°，
∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，3≤k<6.
故k＝4,5,6，
当k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，
当k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，
当k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.
(2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
[变式探究] 在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角．
解 1030°÷360°＝2……310°，所以1030°＝310°＋2×360°，所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝310°＋k·360°，k∈Z}．
(1)所求的最小正角为310°.
(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.
金版点睛
在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
答案 －960°
解析 ∵α与120°角终边相同，故有α＝120°＋k·360°，k∈Z.又－990°<120°＋k·360°<－630°，即－1110°题型四 区域角的表示
例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．
[解] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|30°＋k·360°≤α<105°＋k·360°，k∈Z}．
②{α|210°＋k·360°≤α<285°＋k·360°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|30°＋k·360°≤α<105°＋k·360°，k∈Z}∪{α|210°＋k·360°≤α<285°＋k·360°，k∈Z}＝{α|30°＋2k·180°≤α<105°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|30°＋(2k＋1)·180°≤α<105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|30°＋2k·180°≤α<105°＋2k·180°或30°＋(2k＋1)·180°≤α<105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
[条件探究] 将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．
解 (1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．
(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
金版点睛
区域角的写法可分三步
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．
解 (1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|135°＋k· 360°<α<300°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|－60°＋k·180°<α<45°＋k·180°，k∈Z}．
1．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 ∵－215°＝145°＋(－360°)，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，故选B.
2．下列说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于90°的角都是锐角
答案 B
解析 因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A项错误；钝角一定是第二象限角，故B项正确；因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C项错误；因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D项错误．综上，选B.
3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
答案 －5 －60
解析 将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.
4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.
答案 150°＋k·360°(k∈Z)
解析 ∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，
∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)．
5．试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解 终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z)∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
课件41张PPT。7.1.1 角的推广
