A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
A．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角
B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点
C．终边在第二象限的角是钝角
D．终边相同的角必然相等
答案 B
解析 当三角形的角为90°时，不是象限角，∴A不正确，B正确；终边在第二象限的角的范围是＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴C不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，∴D不正确．∴选B.
2．有三个命题：
①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
答案 B
解析 ①②正确，③错误．
3．若0≤θ<2π，且不等式cosθA. B.
C. D.
答案 B
解析 由三角函数线知，在[0,2π)内使cosθ4．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin＝sin；②cos＝cos；③tan>tan；④sin>sin，其中判断正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 利用单位圆中的三角函数线，可知sin＝－sin，cos＝cos，tansin.故②④正确．
5．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．sinαC．cosα答案 C
解析 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出||<||<||，又<α<，所以cosα＝||，sinα＝||，tanα＝||，所以cosα 6.已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限角，则cosα>cosβ
B．若α，β是第二象限角，则tanα>tanβ
C．若α，β是第三象限角，则cosα>cosβ
D．若α，β是第四象限角，则tanα>tanβ
答案 D
解析 由图(1)可知cosαtanβ.
二、填空题
7．sin，cos，tan从小到大的顺序是________．
答案 cos解析 由图可知cos<0，
tan>0，sin>0，
∵当0<α<时，sinα∴cos8．下列结论：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
其中正确结论的序号是________．
答案 ①④
解析 由三角函数线定义，显然①④正确，若正弦线相等，则两角可相差2π的整数倍，和都不存在正切线，故②③不正确．
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)sin1和sin；(2)cos和cos；
(3)tan和tan；(4)sin和tan.
解 (1)sin1sin1＝||<||＝sin.
(2)cos>cos.如图2所示，cos＝－||>－||＝cos.
(3)tan(4)sin10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合．
(1)sinα<－；(2)cosα≥.
解 (1)如图①所示，过点作x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，
则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－.
∴∠xOP＝，∠xOP′＝.
∴满足条件的所有角α的集合是
.
(2)如图②所示，过点作x轴的垂线与单位圆交于点P，P′，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝.
∴∠xOP＝，∠xOP′＝－.
∴满足条件的所有角α的集合是
.
B级：“四能”提升训练
1．若θ∈[0,2π)，则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是________．
答案 ∪∪
解析 由0≤θ<2π且tanθ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是∪∪.
2．求y＝lg (2sin2x＋)－的定义域．
解 由题意，得即
对sin2x>－可结合图(1)得－＋2kπ<2x<
(1)
＋2kπ(k∈Z)，所以－＋kπ课件21张PPT。课后课时精练7.2.2 单位圆与三角函数线
(教师独具内容)
课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．
教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合．
教学难点：三角函数线的运用.
【知识导学】
知识点一 单位圆
(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．
(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
知识点二 三角函数线
如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，点P在x轴上的正射影为M，点P在y轴上的正射影为N，过A(1,0)作单位圆的切线交α的终边OP或其反向延长线于点T，则
(1)把向量，，分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
(2)其中|cosα|＝||，|sinα|＝||，|tanα|＝||，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝||，的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－||；的方向与y轴的正方向相同时，表示sinα是正数，且sinα＝||，的方向与y轴的正方向相反时，表示sinα是负数；且sinα＝－||；的方向与y轴的正方向相同时，表示tanα是正数，且tanα＝||，的方向与y轴的正方向相反时，表示tanα是负数，且tanα＝－||.
【新知拓展】
1．单位圆中的“单位”
半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm，不是1 m，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．
2．对三角函数线的几点说明
(1)三角函数线是三角函数的图形表示．
(2)在三角函数线中，点M，N，P，A，T都是确定的，一般不可随意调换．
P——角的终边与单位圆的交点，
M——点P在x轴上的正射影，
N——点P在y轴上的正射影，
A——单位圆与x轴正半轴的交点，坐标(1,0)，
T——过A的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数线的长度等于三角函数值．( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )
(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线，正切线
B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线
D．正弦线，正切线
(2)如果MP，OM分别是角α＝的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )
A．MPOM>0
C．OMMP>0
(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
答案 (1)C (2)D (3)C
题型一 画出角的三角函数线
例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sinα＝；
(2)cosα＝－；
(3)tanα＝2.
[解] (1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图①.
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图②.
(3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中A的坐标为(1,0)．设直线OT与单位圆交于C，D两点，则OC与OD为角α的终边，如图③.
金版点睛
1．作三角函数线的四个步骤
(1)确定角的始边，单位圆与x轴交点A(1,0)．
(2)确定角的终边与单位圆的交点P.
(3)过P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为M，N，过A作x轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T(T′)．
(4)得正弦线，余弦线，正切线(或)．
2．单位圆中求作角的终边的方法
应用三角函数线可以求作满足形如f(α)＝m的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y＝m或x＝m与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．
作出的正弦线、余弦线和正切线．
解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x轴的正半轴为始边作的终边，与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线与的终边的反向延长线交于点T，则，，分别为的正弦线、余弦线、正切线.
题型二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)cos与cos；
(3)tan与tan.
[解] 如图，在单位圆中，的终边为OP1，的终边为OP2，过P1，P2分别作x轴的垂线，垂足为M1，M2，延长P1O，P2O交经过A(1,0)的单位圆的切线于T1，T2.
(1)sin＝||，sin＝||，
∵||>||，∴sin>sin.
(2)cos＝－||，cos＝－||，
∵－||>－||，∴cos>cos.
(3)tan＝－||，tan＝－||，
∵－||<－||，∴tan金版点睛
三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．
(1)sinα与sinβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得sinα与sinβ的大小．
(2)cosα与cosβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点横坐标的大小即可得cosα与cosβ的大小．
(3)tanα与tanβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T1，T2，然后比较T1，T2两点的纵坐标的大小即可得tanα与tanβ的大小．
若θ∈，则下列各式错误的是( )
A．sinθ＋cosθ<0 B．sinθ－cosθ>0
C．|sinθ|<|cosθ| D．sinθ＋cosθ>0
答案 D
解析 因为θ∈，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sinθ>0，cosθ<0，且|sinθ|<|cosθ|，
所以sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0.
题型三 利用三角函数线证明不等式
例3 已知α为锐角，求证：1[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
过点P作PQ⊥Ox，PR⊥Oy，Q，R为垂足，连接PA，PB，
∵y＝sinα，x＝cosα，
在△OPQ中，||＋||>||，
∴sinα＋cosα>1.
∵S△OPA＝||·||＝y＝sinα，
S△POB＝||·||＝x＝cosα，
S扇形OAB＝×π×12＝，
又四边形OAPB被扇形所覆盖，
∴S△OPA＋S△POB∴sinα＋cosα<，即sinα＋cosα<.
∴1金版点睛
利用三角函数线证明不等式的策略
一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．
已知α∈，求证：sinα<α证明 在单位圆中设∠AOP＝α，则的长度为α，角α的正弦线为，正切线为，
∵△OPA面积<扇形OPA面积<△OAT面积，
∴||·||<||·α<||·||，
即||<α<||，∴sinα<α1．关于三角函数线，下列说法正确的是( )
A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在
D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
答案 D
解析 正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在．
2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．x轴的正半轴上 D．y轴的正半轴上
答案 B
解析 若正弦线长度为1，则sinα＝±1，所以角α终边为y轴上．
3.在[0,2π]上满足sinx≥的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P2OM2＝，∠P1OM1＝，||＝||＝，则图中阴影部分为所求，即x∈.
4．角的终边与单位圆的交点的坐标是________．
答案
解析 cos＝，sin＝，所以角的终边与单位圆的交点的坐标是.
5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线．
解 如图所示，
＝sin2，＝cos2，＝tan2.
课件42张PPT。7．2.2 单位圆与三角函数线本课结束
