A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若sinα＝－，cosα＝，则下列各点在角α终边上的是( )
A．(－4,3) B．(3，－4)
C．(4，－3) D．(－3,4)
答案 B
解析 ∵sinα＝，cosα＝，r＞0，∴点(3，－4)必在角α的终边上．故选B.
2．若角α的终边经过M(0,2)，则下列各式中，无意义的是( )
A．sinα B．cosα
C．tanα D．sinα＋cosα
答案 C
解析 因为M(0,2)在y轴上，所以α＝＋2kπ，k∈Z，此时tanα无意义．
3．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，那么角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 A
解析 ∵tanx>0，∴x在第一或第三象限．若x在第一象限，则sinx>0，cosx>0，∴sinx＋cosx>0.若x在第三象限，则sinx<0，cosx<0，与sinx＋cosx>0矛盾．故x只能在第一象限．
4．若角α终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)为角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
答案 A
解析 ∵角α终边与y＝3x重合，且sinα<0，所以α为第三象限角，∴P(m，n)中m<0且n<0，据题意得
解得∴m－n＝2.故选A.
5．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由任意角的三角函数的定义，得tanθ＝＝＝＝－1.∵sin>0，cos<0，∴点P在第四象限，∴θ＝.故选D.
二、填空题
6．代数式sin2cos3tan4的符号是________．
答案 负号
解析 ∵<2<π，∴sin2>0；∵<3<π，∴cos3<0；∵π<4<，∴tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.
7．若角α的终边经过P(－3，b)，且cosα＝－，则b＝________，sinα＝________.
答案 4或－4 或－
解析 ∵cosα＝，∴＝－，∴b＝4或b＝－4.当b＝4时，sinα＝＝，当b＝－4时，sinα＝＝－.
8．已知角α＝－＋2kπ(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为________．
答案 －1
解析 由α＝－＋2kπ(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.
三、解答题
9．确定下列各式的符号：
(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6.
解 (1)∵105°，230°分别是第二、三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.
(2)∵<6<2π，∴6是第四象限角．
∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.
10．已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
解 直线x＋y＝0，即y＝－x，则直线通过第二和第四象限，于是：
①在第二象限内取直线上的点(－1，)，则
r＝＝2，所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.
②在第四象限内取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
B级：“四能”提升训练
1．已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，f(x)的图像如图所示，求不等式f(x)cosx<0的解集．
解 f(x)cosx<0?或
则由图知
或
∴故不等式的解集为(0,1)∪.
2．已知＝－，且lg (cosα)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．
解 (1)由＝－，可知sinα<0，
由lg (cosα)有意义可知cosα>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sinα＝＝＝＝－.
课件16张PPT。课后课时精练本课结束
7.2.1 三角函数的定义
(教师独具内容)
课程标准：1.借助平面直角坐标系理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号．
教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.
【知识导学】
知识点一 三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝>0)．
三角函数
定义
名称
sinα
正弦
cosα
余弦
tanα
正切
知识点二 三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
【新知拓展】
(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)终边相同的角的同名三角函数值相等．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.( )
(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2．做一做
(1)若sinα<0，且tanα<0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
(3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________.
(4)sin2cos3tan4的值的符号为________．
答案 (1)D (2)－ － (3) (4)负
题型一 三角函数的定义
例1 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．
[解] r＝＝5|a|，
若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，
tanα＝＝＝－；
若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
[条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角α的终边在直线y＝x上，问题不变，怎样求解？
解 因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点．
则r＝ ＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，sinα＝＝，
cosα＝＝，tanα＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝.
金版点睛
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法为：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
(1)设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于( )
A. B．－
C. D．－
(2)已知角α终边上的点P(4,3m)，且sinα＝m，求m的值．
答案 (1)A (2)见解析
解析 (1)∵角α的终边经过点P(－3a,4a)，
则r＝＝5|a|.
∵a<0，∴r＝－5a，
∴sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，
∴sinα＋2cosα＝－＋2×＝.
(2)∵P(4,3m)，∴r＝，
∴sinα＝＝＝m，
两边平方，得＝m2.
∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0或m＝±.
题型二 三角函数值的符号
例2 (1)若sinαtanα<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①tan120°sin269°；②cos4tan.
[解析] (1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，
从而α为第二、三象限角．
由<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三、四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
(2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.
∵269°是第三象限角，∴sin269°<0，
∴tan120°sin269°>0.
②∵π<4<，∴4弧度是第三象限角，∴cos4<0.
∵－＝－6π＋，
∴－是第一象限角，∴tan>0.
∴cos4tan<0.
[答案] (1)C (2)见解析
金版点睛
判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定α的终边所在的象限；
(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．
(1)若三角形的两内角A，B满足sinA·cosB<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都有可能
(2)点P(tanα，cosα)在第三象限，则α是第________象限角．
(3)判断下列各式的符号：
①sin105°cos230°；
②sintan；
③cos6tan6.
答案 (1)B (2)二 (3)见解析
解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故sinA>0.因为sinAcosB<0，所以cosB<0，所以B是钝角，故三角形是钝角三角形．
(2)因为点P(tanα，cosα)在第三象限，所以tanα<0，cosα<0，则角α的终边在第二象限．
(3)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0，∴sin105°cos230°<0.
②∵<<π，∴是第二象限角．
∴sin>0，tan<0.∴sintan<0.
③∵<6<2π，∴6弧度的角为第四象限角，
∴cos6>0，tan6<0，∴cos6tan6<0.
1．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
答案 C
解析 由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，所以sinα＝－.
2．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
答案 C
解析 ∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴－＝－＝2.
3．在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
答案 C
解析 因为三角形内角的取值范围是(0，π)，所以sinA>0，又sinAcosBtanC<0，所以cosB，tanC中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．
4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.
答案
解析 tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝＝，解得a＝.
5．已知α角的终边经过点P(2t，－3t)，其中t≠0，求α角的正弦、余弦、正切．
解 ∵x＝2t，y＝－3t，
∴|OP|＝＝＝|t|.当t>0时，α是第四象限角，∴sinα＝＝＝－＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－.当t<0时，α是第二象限角，同理sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.
课件31张PPT。7.2.1 三角函数的定义
