A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos2x的图像( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
答案 C
解析 因为函数y＝cos(2x＋1)＝cos，所以要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos2x的图像向左平移个单位即可．
2．从函数y＝cosx，x∈[0,2π)的图像来看，对于cosx＝－的x有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 C
解析 画出函数y＝cosx，x∈[0,2π)的简图，作直线y＝－，可得有两个交点．
3．函数f(x)＝cos4x，x∈Z是( )
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
答案 C
解析 周期T＝＝，f(－x)＝cos(－4x)＝cos4x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
4．函数y＝4cos2x＋4cosx－2的值域是( )
A．[－2,6] B．[－3,6]
C．[－2,4] D．[－3,8]
答案 B
解析 令cosx＝t，t∈[－1,1]，转化成闭区间[－1,1]上二次函数y＝4t2＋4t－2求最值即可得．
5．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图像为( )
答案 D
解析 y＝cosx＋|cosx|
＝故选D.
6．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 函数图像关于点成中心对称，
则有3cos＝0，即cos＝0，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以当k＝0时，|φ|＝，此时|φ|最小．
二、填空题
7．y＝cos(x＋1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．
答案
解析 y＝cos(x＋1)的周期是2π，最大值为1，最小值为－1，故图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是＝.
8．已知函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是________(填序号)．
①；②；③π；④；⑤.
答案 ①⑤
解析 结合已知条件和余弦函数的图像(图略)可知，y取－和1的最近的x值相差－0＝，所以b－a的值应不小于，y取－和1的最远的x值相差－＝，所以b－a的值应不大于.故b－a的值不可能是和.
三、解答题
9．求满足不等式cosx<－的角x的集合．
解 作出函数y＝cosx在[0,2π]上的图像，如图所示．因为cos＝cos＝－，所以当10．已知函数f(x)＝2cosωx(ω>0)，且函数y＝f(x)的图像的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像，求y＝g(x)的单调递减区间．
解 (1)由题意可知＝π，故ω＝2，则f(x)＝2cos2x，故f＝2cos＝.
(2)将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到y＝f的图像，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到y＝f的图像，故g(x)＝f＝2cos2＝2cos.
当2kπ≤－≤π＋2kπ(k∈Z)，即＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)时，y＝g(x)单调递减，故y＝g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
B级：“四能”提升训练
1．设有函数f(x)＝asin和函数g(x)＝bcos2kx－，a>0，b>0，k>0，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．
解 由＋＝，得k＝2.又由f＝g和f＝－g－1，得
由①和②解得a＝b＝1，所以f(x)＝sin，g(x)＝cos.
2．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．
解 由5cos＝，得cos＝.
函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×≤3，且4×≥3.
解得≤k≤.又∵k∈N，∴k＝2,3.
课件17张PPT。课后课时精练本课结束7.3.3 余弦函数的性质与图像
(教师独具内容)
课程标准：1.借助单位圆理解余弦函数的定义以及周期性、奇偶性、单调性等性质.2.能用五点法画出余弦函数的图像，利用诱导公式和正弦函数图像的平移得到余弦函数的图像，利用图像研究余弦函数的性质．
教学重点：掌握余弦函数的性质．
教学难点：余弦函数性质的综合运用.
【知识导学】
知识点一 余弦函数的图像
(1)对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以y＝cosx是一个函数，一般称为余弦函数，函数y＝cosx的图像称为余弦曲线．
(2)余弦曲线
知识点二 余弦函数的性质
函数
y＝cosx
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ(k∈Z，k≠0)为周期，2π为最小正周期
单调性
当x∈[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)时，递增；当x∈[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)时，递减
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，最小值为－1
【新知拓展】
1．用“五点法”和变换法作函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像，求这个函数的最大值、最小值、周期以及单调区间等，方法与y＝Asin(ωx＋φ)是类似的．
2．余弦曲线y＝cosx是把正弦曲线向左平移个单位长度而得到的，相应地，对称中心、对称轴、单调区间都是向左平移个单位长度，可以结合正弦曲线来掌握余弦曲线的特性．由于是曲线向左平移，周期性不改变，最值不改变．
3．(1)函数y＝sin(x＋φ)
当φ＝kπ时是奇函数；
当φ＝＋kπ时是偶函数．
(2)函数y＝cos(x＋φ)
当φ＝kπ时是偶函数；
当φ＝kπ＋时是奇函数．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数是偶函数，且与y轴只有一个交点．( )
(2)将余弦曲线向左平移个单位得到正弦曲线．( )
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx当且仅当x＝0时取得最大值1.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做
(1)下列区间中，使函数y＝cosx为增函数的是( )
A．[0，π] B.
C. D．[π，2π]
(2)下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin2x
C．y＝cos D．y＝cos4x
(3)函数y＝cosx图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝ D．x＝
(4)余弦函数y＝cosx取最大值时，x的取值的集合为________．
答案 (1)D (2)D (3)A (4){x|x＝2kπ，k∈Z}
题型一 余弦函数的图像
例1 用“五点法”画出函数y＝2cos2x的简图．
[解] 因为y＝2cos2x的周期T＝＝π，
所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表，描点，并用光滑的曲线将它们连接起来．
如图．
x
0
π
2x
0
π
2π
cos2x
1
0
－1
0
1
2cos2x
2
0
－2
0
2
然后把y＝2cos2x在[0，π]上的图像向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得y＝2cos2x在R上的图像．
金版点睛
函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的画法
(1)五点法
列表如下：
x
－
－
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Acos(ωx＋φ)
A
0
－A
0
A
(2)图像变换法
由y＝sinx→y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换过程，可以得到y＝cosx→y＝Acos(ωx＋φ)的图像变换也有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种途径．
用五点法画出函数y＝cos，x∈[0，π]的图像．
解 ①列表：
x
0
π
2x－
－
0
π
cos
1
0
－1
0
②描点画图，如图．
题型二 与余弦函数有关的值域(最值)问题
例2 (1)求函数y＝的值域；
(2)求函数y＝sin2x＋4cosx的值域．
[解] (1)解法一：∵y＝＝＝1－，当cosx＝－1时，ymin＝1＋＝，
∴函数的值域为.
解法二：由y＝，得cosx＝.
又∵－1≤cosx<1，∴∴
∴y≥，即函数的值域为.
(2)y＝1－cos2x＋4cosx＝－(cosx－2)2＋5，当cosx＝－1，x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－4，当cosx＝1，x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝4.
∴f(x)的值域为[－4,4]．
金版点睛
与余弦函数相关的值域(最值)问题的求法
(1)对于y＝acosx＋b的形式，借助余弦函数的有界性|cosx|≤1求解．
(2)对于y＝Acos(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的形式，采用整体代换法求解，令ωx＋φ＝t，借助y＝cost的图像及性质求解，注意x的取值范围对t的影响．
(3)对于y＝的形式，采用分离常数法或反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求解．
(4)对于y＝acos2x＋bcosx＋c的形式，利用二次函数的有关知识求解．
(1)y＝2cos，x∈，求y的值域；
(2)y＝acosx＋b的最大值是3，最小值是－1，求a和b.
解 (1)∵－∴－故y＝2cos，x∈的值域为(－1,2)．
(2)①a>0时，?a＝2，b＝1；
②a<0时，?a＝－2，b＝1.
综合①②得，a＝2，b＝1或a＝－2，b＝1.
题型三 余弦函数的周期性与奇偶性
例3 判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期：
(1)y＝3cos2x，x∈R；(2)y＝cos.
[解] (1)求周期：解法一：把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期为2π，这就是说，当u增加到u＋2π且必须至少增加到u＋2π时，函数cosu的值重复出现．而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x增加到x＋π且必须至少增加到x＋π时，函数值重复出现，因此，y＝3cos2x的周期为π.
解法二：y＝3cos2x的周期T＝＝π.
判断奇偶性：∵x∈R且有3cos[2(－x)]＝3cos2x，
∴y＝3cos2x，x∈R为偶函数．
(2)函数y＝cos的周期T＝＝.
∵f(x)＝y＝cos＝sinx，
∴f(－x)＝sin＝－sinx＝－f(x)，
∴y＝cos为奇函数．
金版点睛
1．求函数的最小正周期的基本方法
(1)定义法：应用周期函数的定义来确定最小正周期．
(2)公式法：对于余弦型函数可应用T＝求得．
(3)图像法：画出函数图像，观察可得．
2．判断函数奇偶性的方法
按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(－x)之间关系时的应用．
(1)函数y＝cos的最小正周期为，则ω＝( )
A．10 B．5
C．10 D．±10
(2)函数y＝|cosx|的最小正周期为( )
A．2π B．π
C. D.
(3)函数f(x)＝cos2x＋1的图像关于________(选填“原点”或“y轴”)对称．
答案 (1)D (2)B (3)y轴
解析 (1)由T＝，可知＝，得|ω|＝10，即ω＝±10.
(2)∵|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|，
∴y＝|cosx|的最小正周期为π.
(3)∵f(－x)＝cos(－2x)＋1＝cos2x＋1＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数，图像关于y轴对称.
题型四 余弦函数的单调性及应用
例4 (1)求下列函数的单调区间：
①y＝1－cosx；②y＝3cos.
(2)比较大小：cos与cos.
[解] (1)①∵y＝cosx在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上单调递减，
∴y＝1－cosx的单调递减区间是[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)，
单调递增区间是[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)．
②y＝3cos＝3cos，
∴μ＝－为增函数．
又y＝cosμ在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上为增函数，
在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上为减函数，
∴由－π＋2kπ≤－≤2kπ(k∈Z)，得
－＋8kπ≤x≤＋8kπ(k∈Z)，
由2kπ≤－≤π＋2kπ(k∈Z)，得
＋8kπ≤x≤＋8kπ(k∈Z)，
∴所求函数的单调递增区间是
(k∈Z)，
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
因为函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0<<<π，所以cos>cos，即cos>cos.
金版点睛
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求函数单调区间，应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意定义域及复合函数单调性的规律．
求函数y＝Acos(ωx＋φ)单调区间时，可以利用诱导公式将ω变为正值，再把ωx＋φ视为一个整体．由A的符号来确定单调性，若A>0，则其单调区间与余弦函数的单调性一致；若A<0，则单调性相反．
(2)比较大小的一般步骤
①把异名三角函数化为同名三角函数；
②利用诱导公式把同名三角函数转化到同一单调区间上；
③利用三角函数的单调性比较大小．
求下列函数的单调增区间：
(1)y＝cos；
(2)y＝2cos.
解 (1)由于y＝cosx，x∈R的增区间为[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．所以－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，
即－＋2kπ≤x≤－＋2kπ(k∈Z)．
故所求函数y＝cos的单调增区间为
(k∈Z)．
(2)因为y＝2cos＝2cos，所以即求函数y＝2cos的单调递增区间．由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．故函数y＝2cos的单调递增区间是(k∈Z)．
1．函数y＝－cosx(x>0)的图像中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A. B．(π，1)
C．(0,1) D．(2π，1)
答案 B
解析 用五点作图法作出函数y＝－cosx(x>0)的图像如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．
2．下列区间中满足函数y＝cos为减函数的是( )
A. B．[－π，0]
C. D.
答案 C
解析 在上，x＋∈，余弦函数y＝cos在上没有单调性，故排除A；
在[－π，0]上，x＋∈，余弦函数y＝cos在[－π，0]上没有单调性，故排除B；
在上，x＋∈[0，π]，余弦函数y＝cos在上单调递减，故C满足条件；
在上，x＋∈，余弦函数y＝cos在上没有单调性，故排除D.
还可直接求出函数的单调递减区间，从而求得答案．
3．函数y＝2cosx－1的单调递减区间是________．
答案 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
解析 函数y＝2cosx－1的单调递减区间与函数y＝cosx的单调递减区间相同．
4．函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图像与直线y＝4的交点坐标为________．
答案 ，
解析 作出函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图像(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.
5．判断函数y＝＋的奇偶性．
解 由?cosx＝1?x＝2kπ(k∈Z)．
∴y＝0且定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}关于原点对称，
故所求函数既是奇函数又是偶函数．
课件47张PPT。7.3.3 余弦函数的性质与图像本课结束
