A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．函数y＝－tanx的定义域是( )
A．R
B.
C.
D．{x|x≠kπ，k∈Z}
答案 C
解析 当x≠＋kπ，k∈Z时，函数y＝－tanx有意义，故选C.
2．与函数y＝tan的图像不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
答案 C
解析 令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，则x＝.
3．函数y＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
答案 A
解析 要使函数y＝有意义，必须使
即x≠＋kπ且x≠(2k＋1)π，k∈Z.
∴函数y＝的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝－f(x)．
∴函数y＝是奇函数．
4．关于函数f(x)＝|tanx|的性质，下列叙述不正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图像关于直线x＝(k∈Z)对称
D．f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增
答案 A
解析 由题意得，f(x)＝|tanx|
＝
根据正切函数的特点作出函数f(x)＝|tanx|的简图，如图所示，
由函数f(x)＝|tanx|的图像知，f(x)的最小正周期为π，故A不正确；函数f(x)的图像关于y轴对称，所以f(x)是偶函数，故B正确；函数f(x)的图像关于直线x＝(k∈Z)对称，故C正确；由f(x)的图像知，f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增，故D正确．
5．下列不等式中，正确的是( )
A．tan>tan
B．tanC．tan>tan
D．tan答案 C
解析 对于A，tan<0对于B，tan>0>tan，错误；
对于C，tan＝tan＝tan，tan＝tan＝tan，>>>0，∴tan>tan，正确；
对于D，tan＝tan＝－tan，
tan＝tan＝－tan，
且tan∴－tan>－tan，错误．
6．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B.
C. D．与a的值有关
答案 C
解析 相邻两交点间的距离恰为该函数的周期，由y＝tanωx(ω>0)，得T＝.
二、填空题
7．函数y＝2tan－5的单调递增区间是________．
答案 (k∈Z)
解析 令－＋kπ<3x＋<＋kπ(k∈Z)，得－＋8．已知f(x)＝a·sin2x＋b·tanx＋1，且f(－2)＝4，那么f(2＋π)＝________.
答案 －2
解析 令g(x)＝f(x)－1，易知g(x)为奇函数并且周期为π，从而f(－2)－1＝3?f(2)－1＝－3，由函数周期为π，所以f(2＋π)－1＝f(2)－1＝－3?f(2＋π)＝－3＋1＝－2.
三、解答题
9．函数y＝tan的周期为π，y＝sin(a－b)x＋的周期为3π，求a，b的值．
解 由题意，得?
解得或或或
10．求函数y＝tan，x∈[0，π]且x≠的值域．
解 因为x∈∪，
所以＋∈∪.
令t＝＋，由y＝tant的图像(如图所示)可得，
函数y＝tan，x∈∪的值域为∪[，＋∞)．
B级：“四能”提升训练
1．在区间范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx 的图像交点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 解法一：在同一直角坐标系中，作出y＝sinx与y＝tanx在内的图像，如图所示．当x∈时，有sinx解法二：由得sinx＝tanx＝，
即sinx＝0，解得sinx＝0或cosx＝1.
在x∈内，x＝－π，0，π满足sinx＝0；x＝0满足cosx＝1，故交点个数为3.
2．若x∈，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．
解 先将原函数化为关于tanx的一元二次函数，再求值．
y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1
＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1.
∵x∈，∴tanx∈[－，1]．
故当tanx＝－1，即x＝－时，y取最小值1；
当tanx＝1，即x＝时，y取最大值5.
课件22张PPT。课后课时精练本课结束7.3.4 正切函数的性质与图像
(教师独具内容)
课程标准：1.利用正切线研究正切型函数的性质.2.类比正、余弦函数的五点法作图作正切函数的图像.3.利用整体代换的思想方法解决与正、余弦函数、正切函数性质相关的问题．
教学重点：正切函数的性质与图像．
教学难点：正切函数的性质与图像.
【知识导学】
知识点一 y＝tanx的性质
对于任意一个角x，只要x≠＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tanx与之对应，因此y＝tanx是一个函数，称为正切函数．
(1)定义域是.
(2)值域是R.
(3)奇偶性：正切函数是奇函数．
(4)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π.
(5)单调性：正切函数在每一个开区间(k∈Z)内都是增函数．
知识点二 y＝tanx的图像
y＝tanx的函数图像称为正切曲线．
【新知拓展】
1．类似于正、余弦函数的“五点法”作图，作正切函数图像采用的是“三点两线法”，即由(kπ，0)，，－＋kπ，－1(k∈Z)这三点及x＝＋kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)这两条直线作出正切函数的图像．
2．正、余弦曲线在整个定义域内是连续的，而正切曲线是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．因此，需注意以下几点：
(1)正切函数在定义域上不具有单调性．
(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在，，…上都是增函数．
(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在∪∪…上是增函数．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在整个定义域上是增函数．( )
(2)正切函数无最大值和最小值．( )
(3)点是正切函数的一个对称中心．( )
(4)正切函数无对称轴．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．做一做
(1)f(x)＝tan的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
(2)f(x)＝tan(x＋π)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
(3)函数y＝tanx的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
(4)函数y＝tan的单调增区间是________．
答案 (1)B (2)A (3)B (4)(k∈Z)
题型一 正切函数的图像问题
例1 作出函数y＝tanx＋2，x∈的简图．
[解] 解法一：本题考查正切函数图像的作法，可以先作出函数y＝tanx，x∈的图像，再将函数y＝tanx，x∈的图像中所有的点向上平移2个单位长度，所得图像即函数y＝tanx＋2，x∈的图像，如图所示．
解法二：(三点两线法)
①列表：
x
－
0
tanx
－1
0
1
tanx＋2
1
2
3
②画x＝－，x＝两条虚线，描点．
③用光滑曲线连接，如图所示．
金版点睛
(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凹凸性．
(2)正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．这些平行直线也称为正切曲线的渐近线．
画出函数y＝2tan在x∈[0,2π]上的简图．
解 令x－＝＋kπ，k∈Z，可得x＝＋2kπ，k∈Z，又x∈[0,2π]，所以x＝是该函数图像的一条渐近线方程．
当x＝0时，y＝2tan＝－2；
当x＝π时，y＝2tan＝2；
当x＝2π时，y＝2tan＝－2.
令x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，
由于x∈[0,2π]，故当x＝时，y＝0.
描点(0，－2)，(π，2)，，(2π，－2)，画虚线x＝，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示.
题型二 与正切函数有关的定义域问题
例2 求函数y＝＋lg (1－tanx)的定义域．
[解] 函数y＝＋lg (1－tanx)有意义，等价于
解得0≤tanx<1.
由正切曲线可得kπ≤x<＋kπ，k∈Z.
所以原函数的定义域为.
金版点睛
解正切不等式的步骤
(1)作出正切函数y＝tanx在上的图像；
(2)求出在内使tanx＝a成立的x的值；
(3)利用图像确定不等式在内的解集；
(4)结合函数的周期性把(3)中的解集扩展到整个定义域内．
求下列函数的定义域．
(1)y＝tan；(2)y＝ .
解 (1)由x＋≠＋kπ(k∈Z)得x≠＋kπ，k∈Z，所以y＝tan的定义域为.
(2)由－tanx≥0，得tanx≤，
结合y＝tanx的图像可知在上，
满足tanx≤的角x满足－所以定义域为.
题型三 正切函数的奇偶性问题
例3 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan＋tan.
[解] (1)由得f(x)的定义域为，
不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)函数定义域为，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
金版点睛
判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
试判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|；
(2)f(x)＝x2tanx－sin2x.
解 (1)因为该函数的定义域是，关于原点对称，且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．
(2)因为函数f(x)的定义域是，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
题型四 正切函数的单调性问题
例4 (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan1，tan2，tan3的大小．
[解] (1)y＝tan＝－tan，则由－＋kπ∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tanx在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan2金版点睛
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ(k∈Z)，解得x的范围即可．
(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
函数y＝lg tanx的单调递增区间是________．
答案 (k∈Z)
解析 由tanx>0，得kπ又∵y＝tanx在上是增函数，
∴函数y＝lg tanx的单调递增区间是(k∈Z)．
1．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由y＝－tan，x－≠＋kπ得x≠＋kπ，k∈Z.
2．下列函数中，在上单调递增，且以2π为最小正周期的奇函数是( )
A．y＝cosx B．y＝－tanx
C．y＝tanx D．y＝tanx
答案 D
解析 由最小正周期为2π，排除B，C，而A项在上单调递减，故选D.
3．函数y＝3tan2x的对称中心为________．
答案 (k∈Z)
解析 令2x＝(k∈Z)得x＝(k∈Z)，故函数y＝3tan2x的对称中心为(k∈Z)．
4．函数y＝的定义域为________．
答案
解析 ∵1＋tanx≠0，∴tanx≠－1，
∴x≠－＋kπ且x≠＋kπ(k∈Z)，
∴定义域为.
5．求函数y＝3tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解 定义域为；值域为R；周期T＝；函数为非奇非偶函数；在(k∈Z)上为增函数．
课件39张PPT。7.3.4 正切函数的性质与图像本课结束
