A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．将函数y＝sinx的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin的图像，则φ等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵φ∈[0,2π)，∴把y＝sinx的图像向左平移φ个单位长度得到y＝sin(x＋φ)的图像，而sin＝sin＝sin，故选D.
2．将函数y＝f(x)的图像沿x轴向右平移个单位，再保持图像的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图像相同，则y＝f(x)是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案 C
解析 这是三角函数图像变换问题的一类逆向型题，解题的思路是逆推法．y＝f(x)可由y＝sinx，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的，得y＝sin2x；再沿x轴向左平移个单位得y＝sin，即f(x)＝sin.也可以先设f(x)＝Asin(ωx＋φ)，变换后用待定系数法求出．
3．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
答案 C
解析 由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，故ymax＝3＋5＝8.
4．函数y＝－sin的图像与x轴各个交点中离原点最近的一点是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 y＝－sin＝0，y＝－sin4×＋＝0，但<.
5．设ω>0，函数y＝sin＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D．3
答案 C
解析 y＝sin＋2
y1＝sin＋2，
即y1＝sin＋2，
又y与y1的图像重合．
则－ω＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝－k，又ω>0，k∈Z，
∴k＝－1时ω取最小值为.故选C.
6．已知函数f(x)＝sin是奇函数，当φ∈时，φ的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 B
解析 由已知得＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝－＋kπ(k∈Z)．又∵φ∈，∴当k＝0时，φ＝－符合条件．
二、填空题
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是，初相是，则这个函数的解析式是__________．
答案 y＝3sin
解析 由函数的最大值是3，得A＝3.由函数的最小正周期是，得＝.解得ω＝7.由初相是，得φ＝.
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则f(2)＝________.
答案 －
解析 由三角函数的图像可得T＝3－1＝2，所以最小正周期T＝＝，解得ω＝.又因为f(1)＝sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z.解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin，k∈Z.
则f(2)＝sin＝sin＝－.
三、解答题
9．图中所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一段，试确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
解 解法一：由图可知A＝3，M，N，则
?ω＝2，φ＝.所以y＝3sin.
解法二：由振幅情况知A＝3，＝－＝，
所以T＝π＝?ω＝2.
由M，令×2＋φ＝π，得φ＝.
所以y＝3sin.
解法三：由T＝π，P知，所求函数的图像是由y＝3sin2x的图像向左平移而得到的，所以y＝3sin2＝3sin.
10．已知函数f(x)＝2sin，
(1)求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T；
(2)由y＝sinx的图像经过怎样的变换得到y＝f(x)的图像；
(3)写出函数的对称轴和对称中心．
解 (1)M＝2，N＝－2，T＝＝π.
(2)变换步骤是：
①把y＝sinx的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得函数y＝sin的图像；
②把函数y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图像；
③把函数y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得函数f(x)＝
2sin的图像．
(3)令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)，
即对称中心是(k∈Z)．
B级：“四能”提升训练
1．(1)为了使函数y＝sinωx＋1(ω>0)在区间[0,2]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．49π B.
C. D．100π
(2)已知ω>0，函数f(x)＝sinωx在区间上恰有9个零点，则ω的取值范围是________．
答案 (1)B (2)[16,20)
解析 (1)要使函数y＝sinωx＋1(ω>0)在区间[0,2]上至少出现50次最大值，则[0,2]至少包含49个周期．
∵49T＝·≤2，∴ω≥，
故ω的最小值为.
(2)f(x)＝sinωx在区间上恰有9个零点，等价于f(x)在上恰有4个零点，设f(x)的周期为T，
则即所以则
故ω的取值范围为16≤ω<20.
2．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg称为标准值．
设某人的血压满足函数式p(t)＝125＋25sin(170πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试解答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)用“五点法”在给定的坐标系中作出p(t)在一个周期上的简图；
(4)写出此人的血压在血压计上的读数．
解 (1)函数p(t)的周期T＝＝.
(2)此人每分钟心跳的次数为85.
(3)列表：
t
0
170πt
0
π
2π
p(t)
125
150
125
100
125
描点作图：
(4)此人的血压在血压计上的读数为150/100 mmHg.
