A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知sinx＝－，x∈，则x＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案 B
解析 在上有sin＝－，∴x＝－.
2．方程cosx＋＝0，x∈[0,2π]的解集是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 在[0,2π]内，cos＝cos＝－cos＝－.
3．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是( )
A．[1－π，1] B．[0,2]
C．(－∞，1] D．[－1,1]
答案 B
解析 要使arcsin(1－x)有意义，应满足－1≤1－x≤1，∴0≤x≤2，故选B.
4．若tanx＝0，则角x等于( )
A．kπ(k∈Z) B.＋kπ(k∈Z)
C.＋2kπ(k∈Z) D．－＋2kπ(k∈Z)
答案 A
解析 选项B，C，D使得tanx无意义，故选A.
5．给出下列等式：①arcsin＝1；②arcsin＝－；③arcsin＝；④sin＝.
其中正确等式的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，由于y＝arcsinx中－1≤x≤1，而>1，故①式无意义；对于②，在上只有sin＝－，所以arcsin＝－，故②正确；对于③④，由反正弦函数的定义知是正确的．
6．若sinx＝，x∈，则x等于( )
A．arcsin B．π－arcsin
C.＋arcsin D．－arcsin
答案 B
解析 ∵arcsin∈，－arcsin∈，排除A，D；π－arcsin∈，且sin＝sinarcsin＝，故B正确；＋arcsin∈，但sin＝cos≠，故C错误．故选B.
二、填空题
7．若α∈(0,2π)，tanα＝1，cosα＝－，则α＝________.
答案
解析 由已知可判断α是第三象限的角，
又α∈(0,2π)，∴只有tan＝1，cos＝－.
8．求值：arccos＋arcsin＋arcsin＝________.
答案
解析 因为cos＝－，所以arccos＝.
因为sin＝－，sin＝－，
所以arcsin＝arcsin＝－.
因为sin＝－，所以arcsin＝－.
故原式＝－－＝.
三、解答题
9．已知tanx＝－.
(1)当x∈时，求角x的值；
(2)当x为三角形的一个内角时，求角x的值；
(3)当x∈R时，求角x的取值集合．
解 令tanα＝，α为锐角，则α＝arctan＝.
(1)∵tanx＝－<0，x∈，
∴x∈，∴x＝－α＝－.
(2)∵tanx＝－<0且x为三角形的一个内角，
∴x∈，∴x＝π－α＝.
(3)∵tanx＝－<0，x∈R，
∴x为第二或第四象限的角，
∴x＝π－α＋2kπ＝π－＋2kπ(k∈Z)或x＝－α＋2kπ＝－＋2kπ(k∈Z)，
∴x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)，
即角x的取值集合为.
10．已知tanα－4sinβ＝3,3tanα＋4sinβ＝1，且α是第三象限角，β是第四象限角，求α，β的值．
解 联立方程组，得
解方程组，得
∵α是第三象限角，β是第四象限角，而tan＝1，
sin＝，
∴α＝＋2kπ(k∈Z)，β＝－＋2kπ(k∈Z)．
B级：“四能”提升训练
1．已知sinx＝－，且x∈，则x可以表示为( )
A．arcsin B．－＋arcsin
C．－π＋arcsin D．－π＋arcsin
答案 D
解析 ∵－π
又sin(π＋x)＝－sinx＝，∴π＋x＝arcsin，
∴x＝－π＋arcsin.
2．已知cosα＝a(－1≤a≤1)，求角α的值．
解 (1)当a＝－1时，角α的终边在x轴的负半轴上，此时α＝(2k＋1)π(k∈Z)．
(2)当a＝1时，角α的终边在x轴的正半轴上，此时α＝2kπ(k∈Z)．
(3)当a＝0时，角α的终边在y轴上，此时α＝kπ＋(k∈Z)．
(4)当－1(5)当0课件18张PPT。课后课时精练本课结束7.3.5 已知三角函数值求角
(教师独具内容)
课程标准：能够借助三角函数线或三角函数的图像解决已知三角函数值求角问题．
教学重点：熟练掌握已知特殊角的三角函数值求角问题．
教学难点：已知非特殊角的三角函数值求角.
【知识导学】
知识点一 利用三角函数线求角
(1)已知正弦值求角
对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么由正弦线可得，在上有唯一的x值和它对应．记为x＝arcsiny.
(2)已知余弦值求角
对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么由余弦线可得，在[0，π]上有唯一的x值和它对应．记为x＝arccosy(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．
(3)已知正切值求角
如果正切函数y＝tanx(y∈R)且x∈，那么由正切线可得，对每一个正切值y，在开区间内有且只有一个角x，使tanx＝y.记为x＝arctany.
知识点二 用信息技术求角
借助计算器或者计算机软件，给定三角函数值可以求出特定范围内的角．
【新知拓展】
1．已知三角函数值求角的步骤
(1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限；
(2)若函数值为正数，先求出对应锐角α；若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α；
(3)根据角的终边所在象限，由三角函数线或诱导公式得出[0,2π)内的角．如果适合已知条件的角是第二象限的角，则它等于π－α；如果适合已知条件的角是第三或第四象限的角，则它等于π＋α或2π－α；
(4)如果要在整个实数集上求适合条件的角的集合，则利用终边相同的角的表达式来写出．
2．(1)arcsiny的含义及性质
①arcsiny表示上正弦等于y的那个角．
②－1≤y≤1.
③sinarcsin(－y)＝－y.
(2)arccosy的含义及性质
①arccosy表示一个角．
②－1≤y≤1且0≤arccosy≤π.
③cos(arccosy)＝y.
(3)arctany的含义及性质
①arctany表示一个角．
②y∈R且－③tan(arctany)＝y.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sinα＝，则α＝arcsin.( )
(2)arctan1＝.( )
(3)arccos＝－.( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)设cosα＝－，α∈(0，π)，则α＝( )
A．arccos B．－arccos
C．π－arccos D．π＋arccos
(2)下列式子中错误的是( )
A．arcsin＝－ B．arcsin0＝0
C．arcsin(－1)＝ D．arcsin1＝
(3)arctan＝________.
答案 (1)C (2)C (3)－
题型一 已知正弦值求角
例1 已知sinα＝－，若满足：
(1)α∈；(2)α∈[0,2π]；(3)α为第三象限角；(4)α∈R.
试分别求α.
[解] (1)因为正弦函数在闭区间上是增函数，所以符合sinα＝－条件的角只有一个．
又因为sin＝－，由正弦线可得，α＝－.
(2)因为sinα＝－<0，所以α是第三或第四象限角，符合sinα＝－的角有两个．根据三角函数式sin＝－sin＝－和sin＝sin＝－，得α＝或α＝.
(3)因为α是第三象限角，在闭区间[0,2π]内有α＝，所以符合条件sinα＝－的第三象限角的集合是.
(4)由正弦函数的周期性可知：当α＝－＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z)时，sinα＝－，即所求的角α的集合是.
金版点睛
已知正弦值求角的方法
(1)若为特殊角的正弦值，根据角的范围，确定角的大小；
(2)若为非特殊角的正弦值，对应关系如下表：
已知sinx＝，根据下列条件求角x，并用计算器或计算机软件得出其近似值．(精确到0.001)
(1)x∈；(2)x∈[0,2π]．
解 (1)∵x∈，∴x＝arcsin.
用计算器计算，得arcsin≈35.264°，即角x的近似值为35.264°.
(2)∵x∈[0,2π]，sinx＝>0，∴x∈[0，π]．
当0≤x≤时，x＝arcsin，
当≤x≤π时，0≤π－x≤，且sin(π－x)＝sinx＝，
∴π－x＝arcsin，则x＝π－arcsin，
∴x＝arcsin或x＝π－arcsin.
用计算器计算，得arcsin≈35.264°，π－arcsin≈144.736°，即角x的近似值为35.264°或144.736°.
题型二 已知余弦值求角
例2 已知cosα＝－，若满足：
(1)α∈[0，π]；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R.
试分别求角α.
[解] (1)因为余弦函数在[0，π]上单调递减，所以符合cosα＝－的角α只有一个．
又cos＝－，所以α＝.
(2)因为cosα＝－，所以α是第二或第三象限角，符合cosα＝－的角有两个，根据cos＝，cos＝cos＝－cos＝－，cos＝－cos＝－，得α＝或α＝.
(3)由余弦函数的周期性知：
当α＝＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z)时，cosα＝－，即所求的角α的集合为
.
金版点睛
已知余弦值求角的方法
(1)若为特殊角的余弦值，根据角的范围，确定角的大小；
(2)若为非特殊角的余弦值，对应关系如下表：
若cosx＝－，x∈[0，π]，则x的值为________．
答案 π－arccos
解析 ∵x∈[0，π]，且cosx＝－，∴x∈，
∴x＝arccos＝π－arccos.
题型三 已知正切值求角
例3 已知tanα＝－1，若(1)α∈，(2)α∈[0,2π]，(3)α∈R.试分别求角α.
[解] (1)由正切函数在开区间上是增函数，可知符合tanα＝－1的角只有一个，α＝－.
(2)∵tanα＝－1<0，∴α是第二或第四象限的角．
又α∈[0,2π]，由正切函数在区间、上是增函数知，符合tanα＝－1的角有两个．
∵tan(α＋π)＝tan(α＋2π)＝tanα＝－1，∴α＝或.
(3)α＝－＋kπ(k∈Z)．
金版点睛
已知正切值求角的方法
(1)若为特殊角的正切值，根据角的范围确定角的大小和角的个数．
(2)若为非特殊角，对应关系如下表：
已知tanα＝－2，α∈，则α＝____________.
答案 π－arctan2
解析 因为tanα＝－2<0，α∈，所以π－α∈且tan(π－α)＝2>0，所以α＝π－arctan2.
题型四 综合应用
例4 (1)已知cos＝－，x∈，求角x；
(2)已知tan＝－，且x∈，求角x.
[解] (1)因为cos＝－，x∈，所以0<2x＋<π.
所以2x＋＝，则x＝.
(2)因为tan＝－，所以tan＝.
又因为x∈，所以x－∈.
所以x－＝.所以x＝.
金版点睛
已知ωx＋φ的某三角函数值求角的方法
已知ωx＋φ的一个三角函数值及x的范围求角x，可以先由x的范围确定ωx＋φ的范围，然后判断角的个数求出角；也可以把ωx＋φ看成任意角，分类求出所有角，再根据x的范围确定整数k的值后得到所求角．
若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.
答案
解析 由条件可知2cos＝1，即cos＝，所以α＋＝±＋2kπ(k∈Z)．因为α∈(0,2π)，所以α＝.
1．已知α是三角形的内角，sinα＝，则角α等于( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 在(0，π)内，正弦值是的有两个，分别是和，故选D.
2．以下各式中错误的是( )
A．arcsin1＝ B．arccos(－1)＝π
C．arctan0＝0 D．arccos1＝2π
答案 D
解析 arcsinx∈，arccosx∈[0，π]，arctanx∈，arccos1＝0.故选D.
3．已知cosα＝，α∈，则( )
A．α＝ B．α＝－
C．α＝± D．α＝±
答案 C
解析 验证：cos＝，cos＝，故选C.
4．sinx＝且x∈[4π，6π]，则x＝________.
答案 或
解析 ∵sinx＝，∴x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝＋2kπ(k∈Z)，当x∈[4π，6π]时，令k＝2，x＝或.
5．已知cos(－4π＋α)＝－.若0≤α≤2π，求角α.
解 ∵cos(－4π＋α)＝cosα＝－，0≤α≤2π，
∴α∈或α∈，∴α＝或.
课件39张PPT。7.3.5 已知三角函数值求角本课结束 