A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．以下对正弦函数y＝sinx的图像描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图像形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
答案 C
解析 由正弦函数y＝sinx在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图像可知C项不正确．
2．不等式sinx≥，x∈(0,2π)的解集为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵sinx≥，x∈(0,2π)，结合y＝sinx的图像知，≤x≤，故不等式sinx≥的解集为.
3．函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
答案 B
解析 f(x)＝sin＝sin
＝sin＝f(x＋π)，所以函数f(x)的最小正周期为π.故选B.
4．函数y＝的定义域为( )
A．[0，π]
B．{第一或第二象限的角}
C．{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}
D．(0，π)
答案 C
解析 要使函数y＝有意义，则需sinx≥0，由y＝sinx的图像可得{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}．
5．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
答案 D
解析 ∵f＝sin＝sin＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为.
∵f(0)＝sin＝－1，
∴函数y＝f(x)的图像关于y轴对称．
∴f(x)为偶函数．
6．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是( )
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|
答案 C
解析 注意图像所对应的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C.
二、填空题
7．函数y＝－2sinx＋10取最小值时，自变量x的集合是________．
答案
解析 由题意知y＝－2sinx＋10取最小值时，就是sinx取最大值时，即x＝＋2kπ，k∈Z.
8．已知|x|≤，则函数y＝cos2x＋sinx的最小值是________．
答案
解析 y＝－sin2x＋sinx＋1＝－2＋.
∵－≤x≤，∴－≤sinx≤.
∴当sinx＝－时，ymin＝－2＋＝.
三、解答题
9．求下列函数的最小正周期T：
(1)f(x)＝3sinx；
(2)f(x)＝sin2x；
(3)f(x)＝2sin.
解 (1)对任意x∈R，f(x)＝3sinx＝3sin(x＋2π)＝f(x＋2π)，
∴函数的最小正周期为2π.
(2)对任意x∈R，f(x)＝sin2x＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝f(x＋π)，
∴函数的最小正周期为π.
(3)对于任意x∈R，f(x)＝2sin＝2sinx＋＋2π＝2sin＝f(x＋4π)，
∴函数的最小正周期为4π.
10．比较下列各组数的大小：
(1)sin194°与cos160°；
(2)cos，sin，－cos；
(3)sin与sin.
解 (1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°，
∵0°<14°<70°＜90°，
∴sin14°－sin70°，
即sin194°>cos160°.
(2)∵sin＝sin0.1，
－cos＝－sin≈sin0.18，
cos＝sin≈sin0.07.
又y＝sinx在上是增函数，
∴由0<0.07<0.1<0.18<，可得sin0.07(3)∵cos＝sin，∴0而y＝sinx在[0,1]内递增，
∴sinB级：“四能”提升训练
1．求函数f(x)＝log2(sinx)的单调递减区间．
解 要使函数f(x)有意义，则需sinx>0，即sinx>0，得2kπ函数f(x)的单调递减区间即函数y＝sinx的单调递减区间，故＋2kπ≤x<π＋2kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
2．函数y＝cos2x＋2asinx－3，a∈R的最大值．
解 y＝1－sin2x＋2asinx－3＝－sin2x＋2asinx－2＝－(sinx－a)2＋a2－2.
①若a∈[－1,1]，则当sinx＝a时，y取得最大值，ymax＝a2－2；
②若a∈(－∞，－1)，则当sinx＝－1时，y取得最大值，ymax＝－2a－3；
③若a∈(1，＋∞)，则当sinx＝1时，y取得最大值，ymax＝2a－3.
∴ymax＝
课件18张PPT。课后课时精练本课结束
7.3.1 正弦函数的性质与图像
(教师独具内容)
课程标准：1.借助单位圆理解正弦函数的定义以及周期性、奇偶性、单调性等性质.2.能用五点法画出正弦函数的图像．
教学重点：掌握正弦函数的性质．
教学难点：正弦函数性质的综合运用.
【知识导学】
知识点一 正弦函数的性质
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
知识点二 正弦函数的图像
(1)一般地，y＝sinx的函数图像称为正弦曲线．
(2)我们作正弦曲线的简图时，在精确度要求不高的情况下，一般都是先找出确定图像形状的关键的五个点，然后再描点作图，这种作图方法称为五点法．
(3)利用“五点法”作正弦函数y＝sinx在区间[0,2π]上的图像的五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
【新知拓展】
1．作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数．
2．如果y＝sinx的定义域不是全体实数，那么它的值域就可能不是[－1,1]．如y＝sinx，x∈，此时y∈[0,1]．
3．正弦曲线的对称轴一定经过正弦曲线的最高点或最低点，此时，正弦函数取最大值或最小值．
4．正弦曲线的对称中心一定是正弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值为0.
5．正弦函数在其定义域上不是单调的．
6．奇偶性的判断步骤是：(1)求定义域；(2)观察f(－x)与±f(x)的关系；(3)下结论．
7．周期性除用定义外还要重视图像法．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于sin＝sin，则是函数y＝sinx的一个周期．( )
(2)画正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制．( )
(3)正弦函数在定义域上不是单调函数．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2.做一做
(1)下列区间中，是函数y＝sinx的单调增区间的是( )
A．[0，π] B.
C. D．[π，2π]
(2)函数y＝2－sinx的最大值为________，取最大值时x的值为________．
(3)函数y＝sinx，x∈[0，π]时，值域为________．
答案 (1)C (2)3 －＋2kπ，k∈Z (3)[0,1]
题型一 判断正弦函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝.
[解] (1)因为函数的定义域为R，
f(x)＝sin＝－cosx.
所以f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin为偶函数．
(2)函数应满足1＋sinx≠0，
所以函数的定义域为.
因为函数的定义域不关于原点对称，
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
金版点睛
函数奇偶性的判断方法
(1)看函数的定义域是否关于原点对称．
(2)看f(x)与f(－x)的关系．
判断函数f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．
解 函数的定义域为R，关于原点对称．
f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx.
f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数.
题型二 正弦函数的单调性及应用
例2 (1)比较下列各组数的大小：
①sin与sin；②sin与cos.
(2)求函数y＝－2sinx－1的单调递增区间．
[解] (1)①因为－<－<－<0，正弦函数y＝sinx在区间上是增函数，
所以sin>sin.
②因为cos＝sin，又<<＋<，而y＝sinx在上是减函数，
所以sin>sin，即sin>cos.
(2)因为y＝－2sinx－1，
所以函数y＝－2sinx－1的递增区间就是函数y＝sinx的递减区间．
所以＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数y＝－2sinx－1的递增区间为(k∈Z)．
金版点睛
利用正弦函数单调性比较大小的步骤
(1)一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上．
(2)二比较：利用函数的单调性比较大小．
(1)下列关系式中正确的是( )
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°(2)函数y＝2sinx＋(x∈[0，π])为增函数的区间是________．
答案 (1)C (2)
解析 (1)∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，且y＝sinx在是增函数，
∴sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°.
(2)y＝2sinx＋在x∈[0，π]上的单调递增区间与y＝sinx在[0，π]上的单调递增区间相同，为.
题型三 求正弦函数的值域或最值
例3 求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：
(1)y＝2sinx－1；
(2)y＝－sin2x＋sinx＋.
[解] (1)由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1；
当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3.
(2)y＝－sin2x＋sinx＋＝－2＋，因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝；
当sinx＝－1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－.
金版点睛
与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法
(1)求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
(2)求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性．
设f(x)＝asinx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝b2sinx＋a2的最大值．
解 由题意，a≠0，
当a>0时，所以
此时g(x)＝sinx＋4的最大值为5.
当a<0时，所以
此时g(x)＝sinx＋4的最大值为5.
综上知，g(x)的最大值为5.
题型四 用“五点法”作正弦函数的图像
例4 作函数y＝sinx，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系．
[解] 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
－1＋sinx
－1
0
－1
－2
－1
利用正弦函数的性质描点作图，如图：
由图像可以发现，把y＝sinx，x∈[0,2π]的图像向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的图像．
金版点睛
用五点法作函数y＝sinx的图像的步骤
(1)列表，由x＝0，，π，，2π求出y的值，得到“五点”坐标．
(2)在同一坐标系中描出各点．
(3)用光滑曲线连接这些点，所成图像即为所求．
用五点法作出函数y＝sinx＋5在[0,2π]上的图像，并写出它的最值．
解 列表如下：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
y
5
6
5
4
5
描点连线，如图所示．得到函数y＝sinx＋5的图像，其最大值为6，最小值为4.
1．函数y＝(sinx－2)2在R上的最大值为( )
A．4 B．9
C．1 D．3
答案 B
解析 由y＝sinx在R上的最小值为－1，最大值为1，结合二次函数的图像，可得当sinx＝－1时，y＝(sinx－2)2取得最大值9.
2．函数y＝sinx，x∈，则y的范围是( )
A．[－1,1] B.
C. D.
答案 C
解析 当x＝时，y取最小值，当x＝时，y取最大值1.
3．函数y＝3sinx＋5的最小正周期是________．
答案 2π
解析 ∵y＝3sinx＋5和y＝sinx周期相同，∴最小正周期为2π.
4．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
答案 0
解析 定义域x∈R，∵f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－sinx－|a|，又f(x)＝－f(－x)，∴sinx－|a|＝sinx＋|a|，∴|a|＝0，即a＝0.
5．画出函数y＝－sinx，x∈[0,2π]的图像．
解 列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
－sinx
0
－1
0
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图，得到y＝－sinx，x∈[0，2π]的图像．
课件38张PPT。7.3.1 正弦函数的性质与图像本课结束
