A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
答案 D
解析 a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.
2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A. B.
C．－ D．－
答案 A
解析 ∵a＝(3,4)，b＝(5,12)，∴a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13.
∴a与b夹角的余弦值为＝＝.
3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 ∵＝(1,1)，＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，∴A＝90°，故选A.
4．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线．
解得x>且x≠－，∴x>.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
解析 由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角与c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝＝.
∴〈a＋b，c〉＝60°.∴a与c的夹角是120°.
6．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为( )
A．(3，－2) B．(3,2)
C．(－3，－2) D．(－3,2)
答案 C
解析 设c＝(x，y)，则得
7．与已知向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是( )
A.
B.或
C.
D.或
答案 B
解析 设与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则
解得或故选B.
二、填空题
8．已知向量a＝(x，－1)，b＝(log38,1)，若a⊥b，则8x＋8－x＝________.
答案
解析 ∵a⊥b，∴x·log38－1＝0.∴x＝log83.∴8x＋8－x＝.
9．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，向量b＝(2,0)，则|2a－b|的最大值是________．
答案 2
解析 令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t,1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2.所以|2a－b|＝2|t－1|＝2(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值2.
三、解答题
10．已知平面上三点A，B，C，＝(2－k,3)，＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．
解 (1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，所以4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.
(2)因为＝(2－k,3)，
所以＝(k－2，－3)，
所以＝＋＝(k,1)．
若△ABC为直角三角形，
则当A是直角时，⊥，即·＝0，所以2k＋4＝0，解得k＝－2；
当B是直角时，⊥，即·＝0，
所以k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；
当C是直角时，⊥，即·＝0，
所以16－2k＝0，解得k＝8.
综上得k的值为－2，－1,3,8.
B级：“四能”提升训练
1．设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的射影相同，则a与b满足的关系式为________．
答案 4a－5b＝3
解析 ∵a在b方向上的射影为，∴由题意可得＝，即4a＋5＝8＋5b,4a－5b＝3.
2．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1.
(1)求向量n；
(2)设向量a＝(1,0)，b＝(1＋cosx,2)，其中0解 (1)设n＝(x，y)，
因为m·n＝－1，且m与n的夹角为，m＝(1,1)，
所以
解得或
所以n＝(0，－1)或n＝(－1,0)．
(2)因为n·a＝0且a＝(1,0)，
所以n＝(0，－1)．
又b＝(1＋cosx,2)，故n＋b＝(1＋cosx,1)．
所以|n＋b|2＝(1＋cosx)2＋1.
因为0故<|n＋b|2<5.所以<|n＋b|<.
课件19张PPT。课后课时精练本课结束8.1.3 向量数量积的坐标运算
(教师独具内容)
课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．
教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及推得模、角度、垂直关系的坐标表示．
教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.
【知识导学】
知识点一 向量内积的坐标运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．
知识点二 用坐标表示两向量垂直
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
知识点三 向量的长度
已知a＝(x1，y1)，则|a|＝ ，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
知识点四 两点间的距离
如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝ .
知识点五 两向量夹角的余弦
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos〈a，b〉＝ .
【新知拓展】
1．关于两个向量垂直的条件
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．
如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为＝，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行．
对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．
2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，
|a|＝，|b|＝.
由|a·b|≤|a||b|得|x1x2＋y1y2|≤·，
当且仅当a∥b，即x1y2－x2y1＝0时取等号．
即不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)成立．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(1,1)，b＝(－2,2)，则a·b＝0.( )
(2)若a＝(4,2)，b＝(6，m)且a⊥b，则m＝－12.( )
(3)若a·b＞0(a，b均为非零向量)，则角〈a，b〉为锐角．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做
(1)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．
(2)已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
(3)设a＝(2,0)，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·b＝________.
(4)已知a＝(3,4)，则与a垂直的单位向量有____________，与a共线的单位向量有____________．
答案 (1) (2)2 (3)1 (4)或 或
题型一 向量的坐标与向量数量积的坐标运算
例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
[解] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)b＝0b＝0.
金版点睛
(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．
(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．
已知a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，求向量b的坐标．
解 设b＝(x，y)，则∴
∴向量b的坐标为.
题型二 利用向量坐标运算解决垂直问题
例2 在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求D点坐标．
[解] 设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(x＋3，y＋1)，＝(－6，－3)．∵⊥，且∥，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.①
∵与共线，∴－3(x＋3)＋6(y＋1)＝0.②
由①②联立可得点D(1,1)．
金版点睛
(1)本题利用向量求解时易忽视D在BC上这个条件，从而会感觉条件不够，求点坐标的题在求解过程中需列方程(组)，所以要先设出点D的坐标，再用待定系数法求解．
(2)此题是几何中的一个问题，也可用直线方程的知识求解．
(3)垂直向量与平行向量的坐标关系
①若a⊥b(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行，这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0，当x2y2≠0时，有＝＝k(k为比例系数)．
②对于任意实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．例如，向量(3,4)与向量(－4,3)，(－8,6)，(12，－9)，…垂直．
如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角△AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．
解 设点B(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．
因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，
又||＝||，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，
即解得或
即点B的坐标为或.
题型三 向量的夹角问题
例3 已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值．
[解] 由得
∴a·b＝(－3,4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.
cos〈a，b〉＝＝
＝＝－.
∴a与b的夹角的余弦值为－.
金版点睛
利用数量积求两向量夹角的步骤
特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题．
设向量a＝(－2sinα，2cosα)(0≤α≤π)，b＝(－2，0)，则a与b的夹角为________．
答案
解析 设a与b的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝sinα，
∵α∈[0，π]，∴θ＝.
题型四 向量的长度、距离问题
例4 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3.求|3a＋b|的值．
[解] 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝1，x＋y＝1，
3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∵|3a－2b|＝＝3，
∴9x－12x1x2＋4x＋9y－12y1y2＋4y＝9，
∴13－12(x1x2＋y1y2)＝9.∴x1x2＋y1y2＝.
∵3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2,3y1＋y2)，
∴|3a＋b|＝
＝
＝
＝ ＝2.
金版点睛
(1)如果我们在上述解题过程中，根据|a|＝|b|＝1，设a＝(cosβ，sinβ)，则上述运算过程可以简化．
(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|＝|b|＝r1，及|λ1a＋μ1b|＝r2求|λ2a＋μ2b|的值．
(3)注意区别m＝n与|m|＝|n|其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即＝.
已知△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，试判定△ABC的形状，并证明你的结论．
解 由题意有＝(4，－1)，＝(3，－5)，
＝(－1，－4)，
∴·＝(4，－1)·(－1，－4)＝0，
且||＝||＝，故△ABC为等腰直角三角形.
题型五 向量数量积的综合应用
例5 已知点A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，O为坐标原点，动点P满足 ·＝2||2，求向量与的夹角的取值范围．
[解] 设点P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(x，y＋1)，＝(1－x，－y)．
∴·＝x2＋(y－1)(y＋1)＝x2＋y2－1，
||2＝(1－x)2＋(－y)2＝x2＋y2－2x＋1.
∵·＝2||2，
∴x2＋y2－1＝2(x2＋y2－2x＋1)．
即x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1.
∴动点P的轨迹是以点M(2,0)为圆心且半径为1的圆，如图所示．过原点作圆M的切线，切点为E，则ME＝1，∠OEM＝，又OM＝2，
∴sin∠MOE＝＝，∴∠MOE＝.
∵与x轴同向，由图知，向量与的夹角的最大值为，最小值为0，故这两个向量的夹角的取值范围是.
金版点睛
(1)用点的坐标表示条件中的向量等式，使得条件变得明朗，易于下一步的转化，得到点P的轨迹是一个圆后，利用数形结合的思想求角的取值范围，是本例求解的基本思路，如果利用cosθ＝求角的取值范围，求解过程较为繁琐．
(2)a·b＜0?〈a，b〉为钝角或平角；
a·b＞0?〈a，b〉为锐角或零角．
(3)注意：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导．若题目给出的是两向量的模与夹角，则利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则利用a·b＝x1x2＋y1y2求解．
设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ.若·≥·，则实数λ的取值范围是( )
A.≤λ≤1 B．1－≤λ≤1
C.≤λ≤1＋ D．1－≤λ≤1＋
答案 B
解析 设P(x，y)，则由＝λ，得
(x－1，y)＝λ(－1,1)，
∴∴x－1＋y＝0.①
又·≥·，
∴(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)．
整理，得x2＋y2－2y≤0，即x2＋(y－1)2≤1.②
将①整理，得x＝1－y，代入②中，得(y－1)2≤.
即－≤y－1≤.∴1－≤y≤1＋.
结合题意，得1－≤y≤1，即1－≤λ≤1.故选B.
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于( )
A．3 B.
C．－ D．－3
答案 C
解析 ∵3a·b＝(6，－9)·(x,2x)＝－12x＝4，
∴x＝－.
2．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案 B
解析 ∵＝(3，－2)，＝(3，－2)，∴＝，
又＝(4,6)，∴·＝0，∴⊥.
∵||≠||，∴选B.
3．正三角形ABC的边长为1，设＝c，＝a，＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是________．
答案 －
解析 解法一：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则
A(0,0)，B(1,0)，C，
∴a＝，b＝，c＝(1,0)，
∴a·b＝×＋×＝－，
同理b·c＝c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
解法二：a·b＋b·c＋c·a
＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝3×＝－.
4．设向量a与b的夹角为α，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosα＝________.
答案
解析 ∵a＝(3,3)，由2b－a＝(－1,1)可得b＝(1,2)，
∴cosα＝＝＝.
5．若△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是________．
答案 5
解析 ＝(k,1)，＝(2,3)，＝(2－k,2)，
∵·＝0，∴k＝5.
课件42张PPT。8.1.3 向量数量积的坐标运算本课结束
