A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若|a|＝2，|b|＝，〈a，b〉＝60°，则a·b等于( )
A. B.
C．1 D．2
答案 A
解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××＝.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
答案 D
解析 解法一：∵·＝||||cosA，△ACB为直角三角形，∴·＝||·||·＝||2＝16.故选D.
解法二：∵△ACB为直角三角形，∴在上的投影为，∴·＝2＝16.
3．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①②③正确，④⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.
4．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影的数量为( )
A．－5 B．5
C．－5 D．5
答案 A
解析 a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos150°＝－5.
5．关于菱形ABCD的下列说法中，不正确的是( )
A.∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D.·＝·
答案 D
解析 ∵四边形ABCD为菱 形，∴AB∥CD，∴∥，A正确；∵对角线AC与BD互相垂直，且＋＝，＋＝，∴⊥，即(＋)⊥(＋)，B正确；∵－＝，－＝，∵⊥，即·＝0，∴(－)·(－)＝0，C正确；易知〈，〉＝180°－〈，〉，且||＝||＝||＝||，∴·＝－·，D错误．故选D.
二、填空题
6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，a＝3，b＝1，∠C＝30°，则·等于________．
答案 －
解析 ·＝||||cos(180°－30°)
＝abcos150°＝－.
7．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝________.
答案 －8
解析 |b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.
∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.
8．给出下列命题：
①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；
②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；
③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；
④若a·b＝0，则a，b至少有一个为0；
⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．
其中真命题为________．
答案 ①
解析 由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．
三、解答题
9．已知正方形ABCD的边长为1，分别求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
解 如图，
(1)〈，〉＝π，∴·＝－1.
(2)〈，〉＝，∴·＝0.
(3)〈，〉＝，
∴·＝×1×cos＝－1.
10．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ.求θ的取值范围．
解 ∵·＝||||cosθ＝6>0，
∴cosθ>0，∴θ为锐角，
如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
则|CD|＝|BC|sinθ.
由题意，
·＝||||cosθ＝6， ①
S＝|AB||CD|
＝||||sinθ. ②
由②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S.
∵≤S≤3，∴≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.
又θ为与的夹角，θ∈[0，π]，
∴θ∈.
B级：“四能”提升训练
1．给出下列命题：
①在△ABC中，若·<0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形；
③△ABC是直角三角形?·＝0.
其中，正确命题的序号是________．
答案 ②
解析 利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角．
①∵·<0，∴·＝－·>0，
∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角．
所以推不出△ABC是锐角三角形．
故命题①是假命题．
②∵·>0，∴·＝－·<0，
∠B是钝角，因而△ABC是钝角三角形．故命题②是真命题．
③若△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B，∠C.
而·＝0仅能保证∠B是直角．故命题③是假命题．
2．已知a，b是两个非零向量．
(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解 (1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|
＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.
又|a|＝3，|b|＝4，
∴|cos〈a，b〉|＝＝＝，
∴cos〈a，b〉＝±.
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为或.
(2)如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b.
由于|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为.
课件19张PPT。课后课时精练
8.1.1 向量数量积的概念
(教师独具内容)
课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．
教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.
【知识导学】
知识点一 两个向量的夹角
(1)定义：给定两个非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)规定0≤〈a，b〉≤π.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(3)垂直：当〈a，b〉＝时，称向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
(4)①当〈a，b〉＝0时，a与b同向；
②当〈a，b〉＝π时，a与b反向；
③当〈a，b〉＝或a与b中至少有一个为零向量时，a⊥b.
知识点二 向量数量积(内积)的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a和b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．
知识点三 平面向量的数量积的性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉．
(2)a⊥b?a·b＝0，且a·b＝0?a⊥b.
(3)a·a＝|a|2，即|a|＝.
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
知识点四 向量的投影
如图1，设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影．
类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．如图2中，向量a在向量b上的投影为.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反．
知识点五 向量数量积的几何意义
如图(1)(2)(3)所示．
当〈a，b〉<时，的方向与b的方向相同，而且||＝|a|cos〈a，b〉；
当〈a，b〉＝时，为零向量，即||＝0；
当〈a，b〉>时，的方向与b的方向相反，而且||＝－|a|cos〈a，b〉．
一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数．
两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
【新知拓展】
1．a在b方向上的投影的数量也可以写成，它的符号取决于角θ的余弦值．
2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.
3．a·b的符号与a与b的夹角θ的关系
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
(1)若a·b>0?θ为锐角或零角．
当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.
(2)a·b＝0?θ＝或a与b中至少有一个为0.
(3)a·b<0?θ为钝角或平角，
当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.
特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．
4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用
(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．
(2)利用公式变式cosθ＝求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．
(3)利用a·b＝0证明垂直问题．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b＝0，则a⊥b.( )
(2)两个向量的数量积是一个向量．( )
(3)当a∥b时，|a·b|＝|a|·|b|.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2．做一做
(1)已知向量a与轴l的夹角为30°且|a|＝，则a在轴l上的投影的数量为________．
(2)已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为135°，则a·b＝________.
(3)在直角坐标系xOy内，已知向量与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则在x轴、y轴上的投影的数量分别为________和________．
答案 (1) (2)－8 (3)|| －||
题型一 两个向量的夹角
例1 已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：
(1)－a，b；(2)2a，b.
[解] 如图，由向量夹角的定义可知：
(1)向量－a，b的夹角为120°.
(2)向量2a，b的夹角为60°.
金版点睛
(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．
(2)注意区别向量的夹角和直线的夹角，两者的范围不同，前者是[0°，180°]，后者是[0°，90°]．
(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角，作＝，则∠BAD才是向量与的夹角．
已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝|a|，求a－b与a的夹角．
解 如图，作＝a，＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则＝a－b.
取OA的中点D，连接BD，
∵|b|＝|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA，
∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，
∴∠BAO＝30°.
∴a－b与a的夹角为30°.
题型二 向量的数量积定义
例2 已知|a|＝5，|b|＝2，若：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°.
分别求a·b.
[解] (1)当a∥b时，若a与b同向，
则它们的夹角为0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；
若a与b反向，则它们的夹角为180°，
∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.
(2)当a⊥b时，则它们的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos90°＝5×2×0＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a||b|cos30°＝5×2×＝5.
金版点睛
求平面向量的数量积的一般步骤及注意事项
(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积．
(2)a与b垂直当且仅当a·b＝0.
(3)非零向量a与b共线当且仅当a·b＝±|a||b|.
已知|a|＝4，|b|＝5，向量a与b的夹角θ＝，求a·b.
解 a·b＝|a||b|cosθ＝4×5×＝10.
题型三 向量在直线上的投影
例3 已知直线l，(1)向量||＝4，〈，l〉＝60°，求在l上的投影的数量OA1；
(2)向量||＝4，〈，l〉＝90°，求在l上的投影的数量OB1；
(3)向量||＝4，〈，l〉＝120°，求在l上的投影的数量OC1.
[解] (1)OA1＝4cos60°＝4×＝2；
(2)OB1＝4cos90°＝4×0＝0；
(3)OC1＝4cos120°＝4×＝－2.
金版点睛
对向量在直线上的投影的理解
从定义上看，向量b在直线上的投影是一个向量，其在直线上的投影的数量可正、可负、可为零．
(1)当θ∈时，该数量为正实数．
(2)当θ∈时，该数量为负实数．
(3)当θ＝0时，该数量为|b|.
(4)当θ＝π时，该数量为－|b|.
注意：此处b为非零向量．
(5)当θ＝时，该数量为0.
已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影的数量为( )
A．4 B．4
C．4 D．8＋
答案 B
解析 因为a在e方向上的投影的数量为|a|cos＝4，故选B.
题型四 向量数量积的几何意义
例4 已知|b|＝3，a在b方向上的投影的数量是，则a·b为( )
A．3 B.
C．2 D.
[解析] a·b＝|a||b|cosθ＝|b||a|cosθ＝3×＝.
[答案] B
金版点睛
利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量．代入向量数量积的公式即可．
已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝________.
答案 4
解析 设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16，
∴|a||b|cosθ＝16.又∵a在b方向上的投影的数量为4，
∴|a|cosθ＝4，∴|b|＝4.
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为( )
A. B．3
C．4 D．5
答案 A
解析 设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝＝.
2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为时，a·b＝( )
A．4 B．4
C．8 D．8
答案 B
解析 根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cos＝4.
3．设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是( )
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1
答案 C
解析 当e1，e2同向时，e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝1×1×cos0°＝1，当e1，e2反向时，e1·e2＝|e1||e2|·cos〈e1，e2〉＝1×1×cos180°＝－1.
4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤，∴θ∈.故选B.
5．在△ABC中，已知||＝||＝6，且·＝18，则△ABC的形状是________．
答案 等边三角形
解析 ∵·＝||||cos∠BAC，
∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.
又∵||＝||，∴△ABC为等边三角形．
课件43张PPT。8.1.1 向量数量积的概念本课结束
