A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ为60°.
2．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1 B.
C．4＋ D．2
答案 B
解析 根据题意，得|a＋2b|＝＝.
3．下列说法正确的是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a·b|＝|a||b|
C．a2＝|a|2
D．在边长为2的等边三角形ABC中，在方向上的数量为1
答案 C
解析 A中左边是向量，右边是数，显然不等．B中|a·b|＝|a||b||cosθ|，D中在方向上的数量为－1.
4．若·＋2＝0，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
答案 A
解析 ∵0＝·＋2＝·(＋)＝·，∴⊥，∴∠BAC＝90°.故选A.
5. 如图，O，A，B是平面上的三点，C为线段AB的中点，向量＝a，＝b，设P为线段AB的垂直平分线上任意一点，向量＝p.若|a|＝4，|b|＝2，则p·(a－b)＝( )
A．1 B．3
C．5 D．6
答案 D
解析 由题图知⊥，则·＝0，p＝＝＋＝(＋)＋，则p·(a－b)＝·(a－b)＝(a＋b)·(a－b)＋·(a－b)＝(a2－b2)＋·＝(|a|2－|b|2)＋0＝×(42－22)＝6.
二、填空题
6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝________.
答案
解析 依题意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×＝3，则|a＋2b|＝.
7．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________.
答案 11
解析 展开得，
原式＝|a|2＋4|b|2＋|c|2＋4|a||b|cos90°－2|a||c|·cos60°－4|b||c|cos60°＝11.
8．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|＜|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是________．
答案 ①③④
解析 ①③④正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0.所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直．
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
解 由已知，得a·b＝4×8×＝－16.
(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，
∴|4a－2b|＝16.
(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0.
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
10. 如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足＝λ.
(1)若λ＝，用向量，表示；
(2)若||＝4，||＝3，且∠AOB＝60°，求·的取值范围．
解 (1)∵＝，∴－＝(－)．
∴＝＋，即＝＋.
(2)·＝||||cos60°＝6.
∵＝λ，
∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝＋λ，
∴＝＋.
∵＝－，
∴·＝·(－)
＝－2＋2＋·
＝＝＝3－.
∵λ＞0，∴3－∈(－10,3)．
∴·的取值范围是(－10,3)．
B级：“四能”提升训练
1．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
答案
解析 因为向量与的夹角为120°，
且||＝3，||＝2，
所以·＝||||cos120°
＝3×2×＝－3.
由⊥，得·＝0，
即·＝(λ＋ )·(－)＝0，
所以2－λ2＋(λ－1)·＝0，
即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝.
2．平面四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD 的形状．
解 ∵＋＋＋＝0，
即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，
由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，
即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.
又a·b＝c·d，
故a2＋b2＝c2＋d2.①
同理可得a2＋d2＝b2＋c2②
由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，
即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，
且BC＝DA.
∴四边形ABCD为平行四边形．
故＝－，即a＝－c，
∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，
∴a⊥b，即⊥.
综上知，四边形ABCD为矩形．
课件20张PPT。课后课时精练本课结束8.1.2 向量数量积的运算律
(教师独具内容)
课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用．
教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．
教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.
【知识导学】
知识点 平面向量数量积的运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则
交换律
a·b＝b·a
结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
【新知拓展】
对向量数量积的运算律的几点说明
(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如图所示，＝a，＝b，＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.
(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．( )
(2)若a·b＝a·c，则b＝c，其中a≠0.( )
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．做一做
(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝________.
(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.
(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝________，|a－b|＝________，|a2＋b2|＝________.
答案 (1)8 (2)－7 (3)28 2 100
题型一 求向量的夹角
例1 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
[解] 设a，b的夹角为θ，∵单位向量的夹角为60°，
∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝.
∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e－2e－2e1·e2＝e－2e－e1·e2＝1－2－＝－，
|a|＝＝ ＝
＝＝.
|b|＝＝
＝ ＝ ＝.
∴cosθ＝＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.
金版点睛
求向量a，b夹角θ的思路
(1)解题流程
→→→
(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．
已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．
解 ∵|a＋b|＝7，
∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.
又∵θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.
题型二 求向量的模
例2 已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.
求：(1)向量b的模；(2)向量λb的模．
[解] (1)∵a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.
把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得
1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，
则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，
∴|b|＝3.
(2)由(1)知|b|＝3，
∴|λb|＝|λ||b|＝3|λ|.
金版点睛
极化恒等式求模长
(1)两个结论
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明 ①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.
②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.
说明：下列结论也是成立的：
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.
(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，
即a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
我们把该恒等式称为“极化恒等式”．
(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法
①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．
提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方．
(1)已知|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则〈a，b〉＝( )
A．120° B．150° C．60° D．30°
(2)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a－b|，|a＋b|.
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)cos〈a，b〉＝＝＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝150°，故选B.
(2)解法一：|a＋b|＝＝
＝
＝ ＝5.
|a－b|＝＝
＝
＝ ＝5.
解法二：以a，b为邻边作?ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示．
∵|a|＝|b|且∠DAB＝，
∴△ABD为正三角形，
∴|a－b|＝||＝5，|a＋b|＝||＝2||
＝2 ＝2 ＝5.
题型三 用向量数量积解决垂直问题
例3 已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a－b)⊥c.
[证明] 证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0.
∴(a－b)⊥c.
证法二：如图，
设＝a，＝b，＝c，
连接AB，AC，BC的三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC⊥AB.
又∵＝a－b，∴(a－b)⊥c.
金版点睛
要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．
若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．A，B，C均不是
答案 C
解析 由(－)·(＋－2)＝0，得·(＋)＝0，
又∵＝－，
∴(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0.
∴||＝||.∴△ABC为等腰三角形．
1．若向量a的方向是正北方向，向量b的方向是西偏南30°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 由题意知a与b的夹角为120°，∴a·b＝－.
∴(－3a)·(a＋b)＝－3a2－3a·b＝－.
2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( )
A．2 B．4
C．6 D．12
答案 C
解析 (a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|×4×－6×16＝－72.解得|a|＝6.
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－b|等于( )
A．1 B.
C. D．2
答案 A
解析 |a－b|＝＝
＝＝＝1.
4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
答案 －8或5
解析 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
解 (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4a2－4a·b－3b2＝61，
所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，cosθ＝－，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°.
(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，
所以|a＋b|＝，同样可求得|a－b|＝.
课件34张PPT。8.1.2 向量数量积的运算律本课结束
