A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．sin105°＋sin15°＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 sin105°＋sin15°＝sin(45°＋60°)＋sin(60°－45°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＋sin60°cos45°－cos60°·sin45°＝×＋×＋×－×＝.
2．化简sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα的结果是( )
A．－sinβ B．sinβ
C．sin(2α－β) D．cosβ
答案 A
解析 sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ.
3．函数y＝sinx－cosx的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
答案 C
解析 ∵y＝sinx－cosx＝
＝＝sin，
∴该函数的最小正周期为2π.
4.的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 原式＝
＝＝2sin30°＝1.
5．sinθ＋sin＋sin的值为( )
A．0 B.
C．1 D．2
答案 A
解析 原式＝sinθ＋sinθcos＋cosθsin＋sinθcos＋cosθsin＝sinθ－sinθ＋cosθ－sinθ－cosθ＝0.
6．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则C的大小为( )
A. B.
C.或 D.或
答案 A
解析
由①2＋②2，得9＋16＋24sin(A＋B)＝37，
∴sin(A＋B)＝.
∴在△ABC中，sinC＝，∴C＝或C＝.
若C＝，则A＋B＝.
∵1－3cosA＝4sinB>0，∴cosA<.
又∵<，∴A>.
此时A＋C>π，不符合题意，∴C≠，∴C＝.
二、填空题
7．化简：cos＋sin＝________.
答案 cosα
解析 原式＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα＝cosα.
8．计算：(sin15°＋cos15°)＝________.
答案
解析 (sin15°＋cos15°)＝2
＝2(cos45°sin15°＋sin45°cos15°)＝2×sin60°＝.
三、解答题
9．求证：＝1－.
证明 左边＝
＝＝1－＝右边，
∴原式成立．
10．已知<α<，0<β<，cos＝－，
sin＝，求sin(α＋β)的值．
解 ∵<α<，∴<＋α<π.
又∵cos＝－，
∴sin＝ ＝.
∵0<β<，∴<＋β<π.
又∵sin＝，
∴cos＝－＝－.
∴sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]
＝－sin
＝－
＝－＝.
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)＝(cosx－sinx)sin－2asinx＋b(a>0)有最大值1和最小值－4，求a，b的值．
解 f(x)＝(cosx－sinx)sin－2asinx＋b＝(cos2x－sin2x)－2asinx＋b＝(1－2sin2x)－2asinx＋b＝－(sinx＋a)2＋＋a2＋b.
当a≥1时，f(x)的最小值等于f，最大值等于f，依题意，得解得
当0
解得a＝－1(舍去)或a＝－－1(舍去)．
综上可得a＝，b＝－1.
2．设函数f(x)＝sin－cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
解 (1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx
＝sinx－cosx＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)解法一：在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，它关于直线x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为[g(x)]max＝cos＝.
解法二：因区间关于直线x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f(x)在上的最大值．
由(1)，知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤x－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值为[g(x)]max＝sin＝.
课件20张PPT。课后课时精练本课结束8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦
(教师独具内容)
课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.能运用两角和与差的正弦公式进行简单的恒等变换．
教学重点：两角和与差的正弦公式的推导过程及运用．
教学难点：两角和与差的正弦公式的灵活运用.
【知识导学】
知识点一 两角和与差的正弦公式
Sα＋β：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
Sα－β：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
知识点二 有关点(向量)的一组旋转公式
已知点P(x，y)，与原点的距离保持不变，绕原点逆时针旋转θ角到点P′(x′，y′)，则
知识点三 函数y＝asinx＋bcosx的最值和周期
函数y＝asinx＋bcosx可化为y＝sin(x＋θ)的形式，其中cosθ＝，sinθ＝，最大值是 ，最小值是－，周期是2π.
【新知拓展】
1．公式Cα±β与Sα±β的联系
四个公式Cα±β，Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)cos(α＋β) sin(α＋β)sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．
2．注意公式的结构特征和符号规律
(1)对于公式Cα－β，Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”．
(2)对于公式Sα－β，Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”．
3．两角和与差的正弦公式中α，β的特征
α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
4．应用两角和与差的正弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的正弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
5．求形如asinα＋bcosα的最值公式
公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝cos(α－φ))将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式．
6．三角函数化简求值的注意点
在三角函数化简求值时，要注意“三看”，即：(1)看角．把角尽量向特殊角或可计算的角转化，如果条件中的角不是单角．要把它看作一个整体，用它表达目标中的角；(2)看名称．把一道题中出现的三角函数名称尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦；(3)看式子．看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接运用，如果不满足，用诱导公式转化一下角或转换一下名称，然后再运用．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立．( )
(2)对任意实数α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ都成立．( )
(3)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做
(1)sin47°cos43°＋cos47°sin43°等于( )
A．0 B．1
C．－1 D.
(2)已知θ为锐角，且sinθ＝，则sin(θ＋45°)＝( )
A. B．－
C. D．－
(3)函数f(x)＝2sinx－cosx的最大值为________．
答案 (1)B (2)A (3)
题型一 给角求值
例1 计算：
(1)cos285°cos15°－sin255°sin15°；
(2)sin7°cos37°－sin83°cos307°；
(3)sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)．
[解] (1)原式＝cos(270°＋15°)cos15°－sin(270°－15°)sin15°
＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin(15°＋15°)
＝sin30°＝.
(2)原式＝sin7°cos37°－cos7°cos(270°＋37°)
＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin(7°－37°)
＝sin(－30°)＝－.
(3)原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－cos120°cosx－sin120°sinx
＝3sinxcos60°－cosxsin60°＋cos60°cosx－sin60°sinx
＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0.
金版点睛
解决给角求值问题的策略
解决此类问题一般是先用诱导公式把角化小，化切为弦，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特征，选择合适的公式进行求值．
注意角之间的关系，特别是与特殊角之间的关系是解题的关键．
求值：.
解 原式＝
＝
＝＝sin30°＝.
题型二 给值求值
例2 (1)已知sinθ＝，θ∈，求sin；
(2)已知sin＝，θ∈，求sinθ.
[解] (1)∵θ∈，sinθ＝，∴cosθ＝－，
∴sin＝sinθcos＋cosθsin
＝×＋×＝.
(2)∵θ∈，∴θ－∈，
又sin＝，
∴cos＝＝，
∴sinθ＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
金版点睛
给式(值)求值的解题策略
(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
设α∈，β∈，若cosβ＝－，sin(α＋β)＝，则sinα的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由cosβ＝－，sin(α＋β)＝可得sinβ＝，cos(α＋β)＝－.所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝×－×＝.
题型三 利用三角变换研究旋转变换
例3 已知向量＝(3,4)，绕原点逆时针旋转30°到的位置．求点P′(x′，y′)的坐标．
[解] 设∠xOP＝α，|OP|＝r，
则r＝5，cosα＝＝，sinα＝＝.
∴x′＝rcos(α＋30°)＝r(cosαcos30°－sinαsin30°)
＝xcos30°－ysin30°＝3×－4×＝；
y′＝rsin(α＋30°)＝r(sinαcos30°＋cosαsin30°)
＝4×＋3×＝.
∴点P′的坐标为.
金版点睛
对于旋转变换要结合任意角的三角函数的定义求解．
已知向量＝(5,2)，绕原点逆时针旋转30°，－60°到，的位置，求点P1，P2的坐标．
解 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，||＝r，∠xOP＝α，则cosα＝，sinα＝.
由任意角的三角函数的定义，得
x1＝rcos(α＋30°)＝r(cosαcos30°－sinαsin30°)＝5cos30°－2sin30°＝－1.
y1＝rsin(α＋30°)＝r(sinαcos30°＋cosαsin30°)＝2cos30°＋5sin30°＝＋.
所以点P1的坐标为.
x2＝rcos(α－60°)＝r(cosαcos60°＋sinαsin60°)＝5cos60°＋2sin60°＝＋；
y2＝rsin(α－60°)＝r(sinαcos60°－cosαsin60°)＝2cos60°－5sin60°＝1－.
所以点P2的坐标为.
题型四 “asinα＋bcosα”型函数的最值问题
例4 已知Rt△ACB中，两垂直边AC＝b，BC＝a，斜边AB＝c，周长为定值l，求斜边c的最小值．
[解] 在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c.
则a＝csinA，b＝ccosA，
∴l＝a＋b＋c＝c(1＋sinA＋cosA)，
∴c＝＝.
∵sin≤1，
∴c＝≥＝l(－1)，
即当sin＝1，A＝时，斜边c最小，最小值为l(－1)．
金版点睛
辅助角公式及其运用
(1)应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式(三角形式)，再求最值．
(2)型如f(x)＝acosx＋bsinx的函数均可化为f(x)＝sin(x＋θ)(θ为确定数值)，或化为f(x)＝cos(x－θ)(θ为确定数值)，再利用三角函数的值域求最值．
求函数f(x)＝sinx＋cosx的最值、周期．
解 f(x)＝sinx＋cosx＝2
＝2(sinxcos60°＋cosxsin60°)
＝2sin(x＋60°)．
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2，
周期T＝2π.
题型五 证明三角恒等式
例5 已知sin(2α＋β)＝5sinβ，
求证：2tan(α＋β)＝3tanα.
[证明] sin(2α＋β)＝5sinβ?sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]?sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα?2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα?2tan(α＋β)＝3tanα.
金版点睛
证明三角恒等式的常用方法
(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻“盯”着目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”；
(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子；
(3)把要证的等式进行等价变形；
(4)作差法，证明其差为0.
求证：－2cos(α＋β)＝.
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，
∴－2cos(α＋β)＝.
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2.cosx－sinx等于( )
A．2cos B．2cos
C．2sin D．2sin
答案 D
解析 cosx－sinx＝2
＝2＝2sin.
3．下面各式中，不正确的是( )
A．sin＝sincos＋cos
B．cos＝sin－coscos
C．cos＝coscos＋
D．cos＝cos－cos
答案 D
解析 ∵sin＝，∴A正确；∵cos＝－cos＝－cos，∴B正确；∵cos＝cos，∴C正确；∵cos＝cos≠cos－cos，∴D不正确．
4．若cosα＝－，α是第三象限角，则sin＝________.
答案 －
解析 由题意，知sinα＝－，∴sin＝sinα·cos＋cosαsin＝－×－×＝－.
5．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．
解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－.
课件42张PPT。8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦本课结束
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知cosα＝－，且α∈，则tan等于( )
A．－ B．－7
C. D．7
答案 C
解析 由cosα＝－，且α∈，得tanα＝－，
∴tan＝＝.
2．tan15°＋tan75°＝( )
A．2 B．2＋
C．4 D.
答案 C
解析 tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)
＝＋＝4.
3.等于( )
A．－ B.
C. D．－
答案 A
解析 ＝＝tan(32°＋88°)＝tan120°＝－.
4.tan12°＋tan18°＋tan12°tan18°的值是( )
A. B.
C．0 D．1
答案 D
解析 由tan30°＝tan(12°＋18°)＝＝，得tan12°＋tan18°＝1－tan12°tan18°，
则tan12°＋tan18°＋tan12°tan18°＝1.
5．设tanα＝，tan(β－α)＝－2，则tanβ等于( )
A．－7 B．－5
C．－ D．－1
答案 D
解析 ∵tanα＝，tan(β－α)＝－2，
∴tanβ＝tan[(β－α)＋α]＝＝－1.
6．已知M＝sin100°－cos100°，N＝(cos46°cos78°＋cos44°cos12°)，P＝，Q＝，那么M，N，P，Q之间的大小顺序是( )
A．MC．N答案 B
解析 M＝sin100°－cos100°＝sin(100°－45°)＝sin55°>1，
N＝(cos46°cos78°＋cos44°cos12°)
＝(sin44°cos78°＋cos44°sin78°)
＝sin122°＝sin58°>M，
P＝＝tan(45°－10°)＝tan35°<1，
Q＝＝tan(22°＋23°)＝tan45°＝1，
所以P二、填空题
7．已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为________．
答案
解析 由sinα＝且α是第二象限角可得tanα＝－ .
于是tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝.
8．tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝________.
答案
解析 tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝tan(50°－20°)·(1＋tan50°tan20°)－tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°·tan20°)－tan50°tan20°＝＋tan50°tan20°－tan50°tan20°＝.
三、解答题
9．已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β.
解 ∵tanα＝<1，且α为锐角，∴0<α<，
又∵sinβ＝<，且β为锐角，∴0<β<，
∴0<α＋2β<.
由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，
∴tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝1，
故α＋2β＝.
10．在下列各条件下，判断三角形ABC的形状：
(1)tanAtanB＝1；(2)tanAtanB>1.
解 (1)由tanAtanB＝1可得·＝1.
∴sinAsinB＝cosAcosB.
∴cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝0.
∵∠A，∠B是△ABC的内角，即0∴A＋B＝.∴C＝.
∴△ABC为直角三角形．
(2)∵tanAtanB>1，
∴tanA>0，tanB>0且1－tanAtanB<0.
∴tan(A＋B)＝<0.
又tanC＝－tan(A＋B)>0，
∴A，B，C全为锐角，△ABC为锐角三角形．
B级：“四能”提升训练
1．是否存在锐角α和β，使得下列两式：
(1)α＋2β＝；(2)tantanβ＝2－同时成立？
解 假设存在符合题意的锐角α，β.
由(1)得＋β＝，
∴tan＝＝tan＝.
由(2)tantanβ＝2－，得tan＋tanβ＝3－.
∴tan，tanβ是方程x2－(3－)x＋(2－)＝0的两根．
∴x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，0<<，∴0∴tan＝2－，tanβ＝1，
又∵0<β<，∴β＝，代入(1)中，得α＝.
∴存在锐角α＝，β＝，使(1)(2)同时成立．
2．A，B，C为△ABC的内角，且△ABC不为直角三角形．
(1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；
(2)当tanC－1＝时，求B.
解 (1)证明：在△ABC中，由A＋B＋C＝π，得A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)，
∴＝－tanC，
∴tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC，
∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(2)由tanC－1＝，得
tanAtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，
∴tanB＝.
∵B为△ABC的内角，∴B＝.
课件20张PPT。课后课时精练本课结束第2课时 两角和与差的正切
(教师独具内容)
课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的恒等变换．
教学重点：两角和与差的正切公式的推导过程及运用．
教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用.
【知识导学】
知识点一 两角和的正切公式为tan(α＋β)＝
，记作Tα＋β.它成立的条件是α＋β≠kπ＋，α≠kπ＋，β≠kπ＋(k∈Z)．
知识点二 两角差的正切公式为tan(α－β)＝
，记作Tα－β.它成立的条件是α≠kπ＋，β≠kπ＋，α－β≠kπ＋(k∈Z)．
知识点三 公式的变形，由tan(α＋β)＝可变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
同理tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
【新知拓展】
1．公式Tα±β的结构特征和符号规律
(1)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．公式Tα±β的角的范围
(1)公式中的α，β，α＋β，α－β都不能等于kπ＋，k∈Z.
(2)当tanα，tanβ，tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式处理有关问题，但可以改用诱导公式或其他方法．
3．公式灵活变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．
(2)tanαtanβ＝1－＝－1.
(3)在Tα±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan；＝tan.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.( )
(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝.( )
(3)＝.( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做
(1)＝( )
A．－ B.
C．－ D.
(2)已知tanα＝1，tanβ＝2，则tan(α＋β)＝________.
(3)若tan＝2，则tanα＝________.
答案 (1)D (2)－3 (3)－3
题型一 给角化简求值
例1 求值：(1)tan105°；(2).
[解] (1)原式＝tan(60°＋45°)
＝＝＝－(2＋)．
(2)原式＝
＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)
＝－tan30°＝－.
金版点睛
给角化简求值的策略
(1)分析式子的结构，正确选用公式形式．
Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一．因此在应用时先从所化简(求值)的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用．
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时．要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换．
求值：(1)tan2°＋tan43°＋tan2°·tan43°；
(2)(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)·(1＋tan45°)．
解 (1)原式＝tan(2°＋43°)·(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝tan45°(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝1.
(2)∵(1＋tan1°)·(1＋tan44°)
＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°·tan44°
＝1＋tan45°(1－tan1°·tan44°)＋tan1°·tan44°
＝1＋1＝2，
同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…
依次类推，得原式＝222·(1＋tan45°)＝223.
题型二 给值求值或求角
例2 已知tanα＝，tanβ＝－2.
求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β.
[解] (1)∵tanα＝，tanβ＝－2，
∴tan(α－β)＝＝＝7.
(2)tan(α＋β)＝＝＝－1.
∵0<α<，<β<π，∴<α＋β<，
∴α＋β＝.
金版点睛
给值求值或求角问题的解题策略
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
(3)在给值求角的过程中把握好两点：
①限定角的范围．
②求角的某一个三角函数值．二者缺一不可．
已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求α＋β的值．
解 因为tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，
所以tanα＋tanβ＝，
tanαtanβ＝，tan(α＋β)＝＝＝1，
因为0<α<，π<β<，
所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
题型三 公式的综合应用
例3 已知在△ABC中，满足tanA＋tanB＋＝tanAtanB，且sinAcosA＝，判断△ABC的形状．
[解] 由tanA＋tanB＋＝tanAtanB，得
＝－，即tan(A＋B)＝－.
∴tanC＝－tan(A＋B)＝，从而C＝60°.
由sinAcosA＝，得sin2Acos2A＝化为16cos4A－16cos2A＋3＝0，
解得cos2A＝或cos2A＝，
∴cosA＝±或cosA＝±.
又A∈(0，π)，∴A＝30°或150°或60°或120°.
当A＝150°或120°时，A＋C≥180°，舍去．
当A＝30°时，C＝60°，
∴B＝90°，与tanB有意义矛盾，舍去．
∴A＝60°，B＝60°，C＝60°，
即△ABC为正三角形．
金版点睛
在三角形中，应用和、差角公式解题需注意以下几点：
(1)三角形的内角和等于180°；
(2)创造条件使之能运用两角和与差的三角函数公式；
(3)记住常用结论：在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos等．
证明：在△ABC中，tantan＋tan·tan＋tantan＝1.
证明 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，得＋＝－，且，，，＋都不等于，
∴tan＝tan，
∴＝，
∴tan·＝1－tantan，
∴tantan＋tantan＝1－tantan，
∴tantan＋tantan＋tantan＝1.
1.的值为( )
A. B．1
C. D.
答案 A
解析 上式化为＝tan60°＝.
2．已知tan1°＝a，则tan44°等于( )
A．1－a B．1＋a
C. D.
答案 D
解析 利用1°＋44°＝45°可得tan45°＝.将tan1°＝a代入上式，解得tan44°＝.故选D.
3．已知tan＝，则tan＝________.
答案 2
解析 tan＝＝，
∴tan＝＝＝2.
4．计算tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝________.
答案
解析 利用tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)进行计算可得．
5．求值：.
解 原式＝
＝＝tan(55°－25°)＝tan30°＝.
课件31张PPT。8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第2课时 两角和与差的正切本课结束 