A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知sin＝，cos＝－，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 由sin＝，cos＝－，知
cosα＝2－2＝>0.
又sinα＝2sincos＝2××＝－<0，
∴α是第四象限角．
2．sin215°＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 sin215°＝2＝.
3.cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于( )
A. B.
C. D．1＋
答案 C
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋＝.
4.－＝( )
A．－2cos5° B．2cos5°
C．－2sin5° D．2sin5°
答案 C
解析 原式＝－＝(cos50°－sin50°)＝2＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.
5.·等于( )
A．tanα B．tan2α
C．1 D.
答案 B
解析 原式＝·＝tan2α.
6．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝( )
A．－ B.
C．2 D．－2
答案 A
解析 解法一：∵cosα＝－，α是第三象限角，
∴sinα＝－，tan＝＝＝－3，
∴＝＝－.
解法二：∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－.
∴＝＝＝＝＝－.
二、填空题
7．若cos2α＝，并且<α<π，则tanα＝________.
答案 －
解析 ∵<α<π，∴tanα＝－＝－
＝－＝－.
8.＝________.
答案 2
解析 ＝＝＝2.
三、解答题
9．求下列各三角函数式的值：
(1)sin10°sin50°sin70°；
(2)cos36°cos72°；
(3)＋.
解 (1)sin10°sin50°sin70°＝
＝＝
＝＝.
(2)cos36°cos72°＝
＝＝＝.
(3)＋＝
＝
＝
＝＝4.
10．已知向量m＝，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈.
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
解 (1)∵m与n为共线向量，
∴×1－(－1)·sinα＝0，
即sinα＋cosα＝.
(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，
∴sin2α＝－.
∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，
∴(sinα－cosα)2＝2－2＝.
又∵α∈，
∴sinα－cosα<0，
∴sinα－cosα＝－.
∴＝.
B级：“四能”提升训练
1．已知sin＋cos＝－，且<α<3π，则tan的值为________．
答案 －
解析 由sin＋cos＝－，得
sinα＝，2＝1－sinα＝1－＝.
∵<α<3π，∴<<，<<.
∴sin∴sin－cos＝－.
再由已知得cos＝－＝－，
∴tan＝－＝－＝－.
2．证明：＝tanθ.
证明 证法一：因为左边＝
＝
＝
＝
＝＝tanθ＝右边，
所以原式成立．
证法二：因为左边＝
＝＝
＝tanθ＝右边，所以原式成立．
课件23张PPT。课后课时精练本课结束8.2.3 倍角公式
8.2.4 三角恒等变换的应用
(教师独具内容)
课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用相关三角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式)．
教学重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.2.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.
【知识导学】
知识点一 二倍角公式
S2α：sin2α＝2sinαcosα.
C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
T2α：tan2α＝.
知识点二 半角公式
sin＝± ；
cos＝± ；
tan＝± ＝＝.
知识点三 积化和差公式
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
知识点四 和差化积公式
cosx＋cosy＝2coscos，
cosx－cosy＝－2sinsin，
sinx＋siny＝2sincos，
sinx－siny＝2cossin.
【新知拓展】
1．倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
前提：所含各三角函数有意义．
2．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则
(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．
(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围选用符号．
(3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号：
α
sin
cos
tan
第一象限
第一、三象限
＋、－
＋、－
＋
第二象限
第一、三象限
＋、－
＋、－
＋
第三象限
第二、四象限
＋、－
－、＋
－
第四象限
第二、四象限
＋、－
－、＋
－
(4)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．( )
(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．( )
(4)若角α是第一象限角，则sin＝.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．做一做
(1)sin15°sin75°的值为( )
A. B.
C. D.
(2)若cosα＝，α∈(0，π)，则cos的值为( )
A. B．－
C．± D．±
(3)已知cosα＝，则cos2α等于________．
(4)tan22.5°＝________.
答案 (1)B (2)A (3)－ (4)－1
题型一 利用倍角公式化简求值
例1 (1)计算：①cos4－sin4＝________；
②－cos2＝________；
(2)化简：＝________；
(3)化简：＝________.
[解析] (1)①cos4－sin4
＝·＝cosα.
②原式＝＝－＝－cos＝－.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝＝＝＝1.
[答案] (1)①cosα ②－ (2) (3)1
金版点睛
倍角公式转化的策略
(1)探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提．
(2)注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化．
(3)分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键．
提醒：在化简求值时要关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
求下列各式的值：
(1)；(2).
解 (1)
＝cos2－sin2＝cos＝.
(2)＝tan30°＝.
题型二 半角公式的应用
例2 已知sinφcosφ＝，且<φ<，求sinφ，cosφ的值．
[解] ∵sinφcosφ＝，∴sin2φ＝，
又∵<φ<，∴<2φ<π，sinφ>0，cosφ>0，
∴cos2φ<0，
∴cos2φ＝－＝－＝－，
∴sinφ＝ ＝ ＝，
cosφ＝ ＝ ＝.
金版点睛
利用半角公式化简的基本思路
(1)降次．一般运用公式cos2＝，sin2＝化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．
(2)统一函数名称．化多种三角函数为单一的三角函数．
(3)统一角．化多角为单一角，减少角的种类．
(4)弦切互化．一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定．
已知cosα＝－，180°<α<270°，求sin，cos，tan.
解 ∵180°<α<270°，
∴90°<<135°，即角是第二象限的角．
∴sin>0，cos<0，tan<0，
∴sin＝ ＝ ＝，
cos＝－ ＝－ ＝－，
tan＝－ ＝－ ＝－2.
题型三 证明三角恒等式
例3 证明下列等式：
cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B.
[证明] 左边＝－
＝
＝(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，
所以原等式成立．
金版点睛
证明的原则及一般步骤
(1)化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
证明：＝tan.
证明 左边
＝
＝
＝
＝
＝
＝tan＝右边，
所以原等式成立.
题型四 运用公式研究函数性质
例4 已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R.求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
(2)函数f(x)的单调递增区间．
[解] (1)f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx＋2cos2x
＝2sinxcosx＋1＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2
＝2＋sin，
∴当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
f(x)取得最大值2＋.
函数f(x)取得最大值时自变量x的集合为.
(2)由(1)，得f(x)＝2＋sin，
由题意，得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，因此函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
金版点睛
利用公式研究三角函数性质的思路
要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B或f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，进而依据y＝sinx或y＝cosx的性质对所求函数进行性质研究．
已知函数f(x)＝sincos－sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
解 (1)因为f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.
所以当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.
1．已知cosα＝－，则cos2α等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 cos2α＝2cos2α－1＝－.
2．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为______．
答案
解析 由角α的终边经过点P(1，－2)，则tanα＝－2，由倍角公式得tan2α＝＝.
3．函数y＝sin2x的最小正周期为__________．
答案 π
解析 因为y＝sin2x＝＝－cos2x＋，
所以T＝＝π.
4．化简＝__________.
答案 cos4°
解析 ＝
＝|sin49°＋cos49°|＝sin49°＋cos49°
＝sin(49°＋45°)＝sin94°＝cos4°.
5．已知cos＝－，8π<α<12π，求sin，cos，tan.
解 ∵8π<α<12π，∴π<<，
∴sin＝－＝－＝－，
∴sin＝2sincos＝2××＝，cos＝2cos2－1＝2×2－1＝，
∴tan＝＝.
课件39张PPT。8.2.3 倍角公式
8.2.4 三角恒等变换的应用本课结束
