A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于( )
A. B.
C．－ D．－
答案 B
解析 cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)＝cos(39°－9°)＝cos30°＝.
2．cos555°的值是( )
A.＋ B．－
C.－ D.－
答案 B
解析 cos555°＝cos195°＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－×－×＝－.故选B.
3．满足cosαcosβ＝＋sinαsinβ的一组α，β的值为( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
答案 A
解析 原等式可化为cosαcosβ－sinαsinβ＝，即cos(α＋β)＝，经检验，A选项符合．
4．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 原式＝cos(45°－α＋α＋15°)＝cos60°＝.
5．已知点P(－4，－3m)在角α的终边上，且sinα＝，则cos的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案 A
解析 由题意及正弦函数的定义可得x＝－4，
y＝－3m，r＝.
∵sinα＝，∴sinα＝＝＝，
∴y>0，即m<0，
解得m＝－1，
∴cosα＝＝－，
∴cos＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝－.
6．已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β等于( )
A. B.
C.或 D．2kπ＋(k∈Z)
答案 B
解析 ∵α，β为锐角，且sinα＝，cosβ＝，
∴cosα＝＝，sinβ＝ ＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝＝＝.
又0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝.
二、填空题
7．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．
答案 －
解析 原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°·cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝－.
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为________．
答案 0
解析 ∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，②
由①＋②，得2cosαcosβ＝0，∴cosαcosβ＝0.
三、解答题
9．已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β∈，求cos(α－β)．
解 ∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－＝－.
∵cosβ＝－，β∈，∴sinβ＝－ ＝－.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.
10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求证：cos2β＋1＝0.
证明 ∵cos(α－β)＝－，<α－β<π，
∴sin(α－β)＝.
∵sin(α＋β)＝－，<α＋β<2π，∴cos(α＋β)＝.
∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.
∴cos2β＋1＝0.
B级：“四能”提升训练
1．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，且0≤α<β<γ<2π，则β－α＝________.
答案
解析 ∵cosα＋cosβ＋cosγ＝sinα＋sinβ＋sinγ＝0，
∴cosγ＝－cosα－cosβ，sinγ＝－sinα－sinβ.
∵sin2γ＋cos2γ＝1，
∴(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝1，
整理，得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，
即cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
∴cos(β－α)＝－.
∵0≤α<β<2π，∴0<β－α<2π，
∴β－α＝或.①
同理可得cos(γ－β)＝－，解得γ－β＝或.②
cos(γ－α)＝－，解得γ－α＝或.③
∵0≤α<β<γ<2π，
∴β－α＝，γ－β＝，γ－α＝.
故β－α的值为.
2．已知在△ABC中，sinA＝，cosB＝，求cosC的值．
解 ∵cosB＝<，∴B∈且sinB＝.
∵sinA＝<，∴A∈∪.
若A∈，又B∈，则A＋B∈，
这与A＋B＋C＝π矛盾，
∴A?，故A∈.
由sinA＝，得cosA＝.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.
课件18张PPT。课后课时精练本课结束
8.2.1 两角和与差的余弦
(教师独具内容)
课程标准：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能用两角和与差的余弦公式进行简单的恒等变换．
教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用．
教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.
【知识导学】
知识点一 两角和与差的余弦公式
两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.两角α，β的差(或和)的余弦公式右端是两角α，β的余弦之积与正弦之积的和(或差)．
知识点二 角的变换：β＝(α＋β)－α；2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－.
【新知拓展】
1．两角和与差的余弦公式的结构特征
即公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
2．公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角“α”，“”相当于公式中的角“β”．因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．
3．“给角求值”“给值求值”问题
“给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
4．解决“给值求角”问题的注意点
“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于任意的实数α，β，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ都不成立．( )
(2)对任意的α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.( )
(3)coscos－sinsin＝cos2α.( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为( )
A．－ B.
C. D．－
(2)下列式子中，正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②cos＝sinα；
③cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
A．0 B．1
C．2 D．3
(3)①cos165°＝________；
②若α∈，sinα＝，则 cos＝________.
答案 (1)B (2)A (3)①－ ②
题型一 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)cos；(2)cos45°cos15°＋sin45°sin15°；
(3)sin163°sin223°＋sin253°sin313°.
[解] (1)cos＝cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.
(2)cos45°cos15°＋sin45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.
(3)sin163°sin223°＋sin253°sin313°
＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)
＝－sin17°sin43°＋sin73°sin47°
＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°
＝cos(17°＋43°)＝cos60°＝.
金版点睛
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
(1)非特殊角型：把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°＝45°－30°或15°＝60°－45°)，直接应用公式求值．
(2)逆用结构型：把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体，借助诱导公式等工具，构造两角和与差的余弦公式的展开式，然后逆用公式求值．
求值：
(1)cos105°＋sin195°；
(2)cos(x＋27°)·cos(18°－x)－sin(x＋27°)·sin(18°－x)．
解 (1)cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)
＝2cos105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos135°·cos30°＋sin135°·sin30°)
＝2×＝.
(2)cos(x＋27°)·cos(18°－x)－sin(x＋27°)·sin(18°－x)
＝cos[(x＋27°)＋(18°－x)]
＝cos45°＝.
题型二 给值求值
例2 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，
sin＝，求cos的值．
[解] 由条件，得<α＋β<2π，<β－<，
∴cos(α＋β)＝，cos＝－，
∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.
金版点睛
给值求值的解题步骤
(1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异．
(2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
(3)求解．结合公式Cα±β求解便可．
已知sin＝，<α<，则cosα的值是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵<α<，∴<＋α<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
题型三 给值求角
例3 已知α，β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，求cosβ的值及β的大小．
[解] ∵α为锐角，且sinα＝，
∴cosα＝＝＝.
又∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．
∵sin(α＋β)＝
即cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα
＝×＋×＝.
又∵β为锐角，∴β＝.
金版点睛
解答给值求角问题的步骤
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角所在的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
已知A，B均为钝角且sinA＝，sinB＝，则A＋B的大小为________．
答案
解析 ∵A，B均为钝角且sinA＝，sinB＝，
∴cosA＝－＝－，
cosB＝－＝－.
∵∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－×－×＝.
∴A＋B＝.
题型四 证明三角恒等式
例4 证明：cos(α＋β＋γ)＋cos(α＋β－γ)＋cos(γ＋α－β)＋cos(γ－α＋β)＝4cosαcosβcosγ.
[证明] 原式左边＝cos[(α＋β)＋γ]＋cos[(α＋β)－γ]＋cos[γ＋(α－β)]＋cos[γ－(α－β)]
＝cos(α＋β)cosγ－sin(α＋β)sinγ＋cos(α＋β)cosγ＋sin(α＋β)sinγ＋cosγcos(α－β)－sinγsin(α－β)＋cosγcos(α－β)＋sinγsin(α－β)
＝2cos(α＋β)cosγ＋2cos(α－β)cosγ
＝2cosγ[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
＝2cosγ·2cosαcosβ
＝4cosαcosβcosγ＝右边，
所以等式成立．
金版点睛
证明三角恒等式遵循的原则
由繁到简，化异为同．常用的方法有：由一边到另一边(即由等式的一边开始逐步化简到与另一边相同为止)；左右归一(左右两边同时化简为一个相同的式子)等．
证明：cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.
证明 原式左边＝(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)
＝cos2αcos2β－sin2αsin2β
＝cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β
＝cos2α－cos2αsin2β－sin2β＋cos2αsin2β
＝cos2α－sin2β＝右边，所以等式成立．
1．coscos－sinsin的值为( )
A. B.
C. D．1
答案 B
解析 原式＝cos＝cos＝.
2．计算cos70°cos335°＋sin110°sin25°的结果是( )
A．1 B.
C. D.
答案 B
解析 原式＝cos70°cos25°＋sin70°sin25°＝cos(70°－25°)＝cos45°＝.
3．计算：cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
答案
解析 原式＝cos40°cos20°－sin40°sin20°＝cos60°＝.
4．若cos＝，α∈，则cosα的值为______．
答案
解析 ∵α∈，cos＝，∴sin＝，∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
5．已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β∈，求cos(α－β)的值．
解 ∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－.
又∵cosβ＝－，β∈，∴sinβ＝－.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝·＋·
＝.
课件36张PPT。8.2.1 两角和与差的余弦本课结束 