发现问题 提出问题
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
0：00
5.0
9：00
2.5
18：00
5.0
3：00
7.5
12：00
5.0
21：00
2.5
6：00
5.0
15：00
7.5
24：00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)；
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析问题 建立模型
观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性．根据表中的数据作出图像(这个图像称为散点图)，如图1.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以具体确定A，ω，φ，h的值．
确定参数 计算求解
(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图1)．
根据图像，可以考虑用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图像可以得出：
A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0；
由T＝＝12，得ω＝.
所以，这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sinx＋5近似描述．
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
模型评价 模型应用
(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以当y≥5.5时就可以进港．
令2.5sinx＋5＝5.5，
sinx＝0.2.
由计算器可得
2
0.20.20135792≈0.2014.
如图2，在区间[0,12]内，函数y＝2.5sinx＋5的图像与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此x≈0.2014或π－x≈0.2014.
解得xA≈0.3846，xB＝5.6154.
由函数的周期性易得：
xC≈12＋0.3846＝12.3846，
xD≈12＋5.6154＝17.6154.
因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．
(3)设在时刻x货船的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图像，可以看到在6～7时之间两个函数图像有一个交点(图3)．
通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.35米，此时货船的安全水深约为4.15米；7时的水深约为3.75米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算机或计算器．
课件12张PPT。7．4 数学建模活动：周期现象的描述
