知识系统整合
规律方法收藏
1．向量的数量积运算
(1)求模：|a|＝；
(2)求角度：cosα＝.
(3)判断两直线的关系
①法向量判断；
②方向向量判断．
(4)坐标运算方法
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)；
a∥b?x1y2－x2y1＝0；
a·b＝x1x2＋y1y2；
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
2．三角恒等变换常用的方法
(1)变角(角的变换)；
(2)变名(函数名称的变换)；
(3)变幂(升幂与降幂的变换)；
(4)变数(常数的变换)．
3．三角函数化归的常用方法
(1)化异为同；
(2)弦切互化；
(3)单角化倍角；
(4)单角化复角；
(5)倍角化复角；
(6)复角化复角等．
4．角的常用变换技巧
(1)α＝(α＋β)－β；
(2)α＝β－(β－α)；
(3)α＝(2α－β)－(α－β)；
(4)α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
(5)α＝[(α＋β)－(β－α)]；
(6)＝－等．
学科思想培优
一、向量的数量积运算
数量积的运算是本章的重点，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、夹角以及不等式等，因此它的应用也最为广泛．利用数量积可以求长度，也可以判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知识融合在一起．
例1 (1)在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵＝λ，∴－＝λ(－)，＝λ＋(1－λ)＝(1－λ)a＋λb.又因为OD是AB边上的高，所以·＝0，即·(－)＝0，
∴[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝0，整理可得λ(b－a)2＝(a－b)·a，即λ＝.故选B.
[答案] B
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[解] 由已知条件，得
即
②－①，得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①，得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，
设a与b的夹角为θ，
∴cosθ＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
二、向量数量积的应用
向量的应用是多方位的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面．
例2 (1)已知向量a＝(x，x－1)，b＝(1＋mx,1)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求实数m的取值范围．
[解] f(x)＝a·b＝x(1＋mx)＋(x－1)＝mx2＋2x－1.
当m＝0时，f(x)＝2x－1在区间(－1,1)上是增函数，故m＝0满足要求；
当m>0时，因为f(x)在区间(－1,1)上是增函数，
所以－≤－1，解得0当m<0时，因为f(x)在区间(－1,1)上是增函数，
所以－≥1，解得－1≤m<0.
综上，m的取值范围为[－1,1]．
(2)已知平面向量a＝，b＝.
①证明：a⊥b；
②若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－k)b，y＝－sa＋tb，且x⊥y，试求函数关系式s＝f(t)；
③若s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数，试求k的取值范围．
[解] ①证明：因为a·b＝×－×＝0，
所以a⊥b.
②由题意知|a|＝|b|＝1，由于x⊥y，则x·y＝0，从而－s|a|2＋(t＋sk－st2)a·b＋t(t2－k)|b|2＝0，
故s＝f(t)＝t3－kt.
③设t1>t2≥1，则f(t1)－f(t2)＝t－kt1－(t－kt2)＝(t1－t2)(t＋t1t2＋t－k)．
因为s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数，所以t＋t1t2＋t－k>0，即k3，所以只需k≤3即可．
三、三角函数的化简与证明
三角函数式的化简，需要注意：(1)三角函数的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)三角函数的分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式，最终变为整式或数值；(3)对二次根式，则需要运用半角公式．
例3 化简.
[解] 解法一：原式＝
＝
＝＝1.
解法二：原式＝
＝
＝＝＝1.
四、三角函数的求值
严格来说，三角函数的化简、证明、求值都是三角恒等变形，在变换技巧上都是相通的，但由于是求值，于是它就有了特殊性，因此把它单列开来，作为一个专题．三角函数的求值，主要有三种类型．
(1)“给角求值”．一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公式．解题时，要利用观察得到的关系，结合有关公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到结果．
(2)“给值求值”．即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆角、配角．当然在这个过程中要注意角范围的变化．
(3)“给值求角”．本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求角之前还需要结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
例4 (1)求tan10°＋4sin10°的值；
(2)已知cos＝，求的值．
[解] (1)原式＝
＝＝
＝
＝＝＝1.
(2)＝
＝sin2xtan＝－costan
＝－costan
＝－tan.
由∴sin＝－＝－.
∴tan＝－.
∴＝－×
＝－.
五、三角变换在研究三角函数图像与性质中的应用
借助于三角变换化简给定的三角函数式，将三角函数式化为形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B的形式，然后研究三角函数的性质，这是高考命题的热点题型．
例5 已知向量a＝(1－tanx,1)，b＝(1＋sin2x＋cos2x，－3)，记f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的定义域、值域及最小正周期；
(2)若f－f＝，其中α∈，求α.
[解] (1)∵f(x)＝(1－tanx)(1＋sin2x＋cos2x)－3
＝(2cos2x＋2sinxcosx)－3
＝2(cos2x－sin2x)－3
＝2cos2x－3，
∴f(x)的定义域为，
值域为(－5，－1]，最小正周期T为π.
(2)f－f＝2cosα－2cos
＝2(cosα＋sinα)＝2sin＝，
∴sin＝，∵α∈，
∴α＋∈，∴α＋＝或α＋＝，
∴α＝或α＝.
课件27张PPT。第八章 章末复习
