六年级数学下册教案5 数学广角——鸽巢问题人教新课标
文档属性
| 名称 | 六年级数学下册教案5 数学广角——鸽巢问题人教新课标 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 400.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-16 07:51:32 | ||
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文档简介
鸽巢问题教学设计
教学内容：人教版六年级下册第五单元P68例1
教材分析：通过生活中的实例，向学生介绍“鸽巢问题”的两种形式，使学生在理解“鸽巢问题”这种教学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，并会运用“鸽巢问题”来解决这些问题，促进逻辑思维能力的发展。
学情分析：在数学上有一类问题是与“存在性”有关的问题，比如367个人至少有2个人是在同一天过生日，这类问题它所依据的理论，我们称之“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。
教学目标：1、使学生理解抽屉原理（鸽巢原理）的基本形式，并能初步运用抽屉原理解决相关实际问题或解释相关现象。
2、通过操作、观察、比较、推理等数学活动，使学生经历抽屉原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型，提高学习数学的兴趣。
3、通过对抽屉原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点：经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理。
教学难点：理解“总有”“至少”，构建“抽屉原理”的数学模型，并对一些简单的实际问题加以模型化。
教学准备：PPT课件
教学过程：
（一）游戏切入
师：在上课之前，我们先玩一个猜数字的游戏，请4位同学上黑板从1到3这三个数据任意写下一个数据。
学生上黑板写下自己喜欢的数据。
师预测：至少有一个数据被2位或者2位以上的同学写了。我能预测到这个结论，是因为这个游戏里隐藏了一个数学问题-------鸽巢问题。
板书课题：鸽巢问题。
（二）新知探究
一、呈现问题 初步感知（列举法）
1、师：4只铅笔放进3个笔筒，你们会摆吗？
待学生回答后，提升问题难度。
2、是的，这个问题很简单，那我加大点难度有信心来挑战吗？
（课件出示）
/
①生读题感知问题
②出示关键词并进行理解
板书：总有1个 至少
“总有”什么意思？“至少”呢？谁来说说看？
待学生回答后，提出要求。
师：请同学们独立思考完成这个结论。
③学生汇报
学生甲：我认为总有一个笔筒至少放进2支铅笔
学生乙：我认为总有一个笔筒至少放进1支铅笔
④验证结论
师：你是怎么摆的？
板书学生放的方法。(4 0 0)、（3 1 0）、（2 2 0）、（2 1 1）、（1 2 1）
学生整理汇报
追问：（2 1 1）和（1 2 1）是一种放法还是两种放法？
学生阐述自己的观点
师小结：我们关注的应该是笔筒放笔的数量，与放笔的顺序无关，（2 1 1）和（1 2 1）属于同一种。
师：你认为至少放进1支，说说你的观点。
学生可能会说：放笔最少那的个笔筒里有1支笔。
师小结：这种情况没有研究价值，笔筒出现1支的情况总是会存在的。
师：观察每一种放的放法有没有一个放笔最多的笔筒？放了几支？在放笔最多的笔筒里放得最少的有几支？
（不管怎样放，总有一个放笔最多的笔筒，在放笔最多的笔筒里最少的是2支）
师生交流中进行板书：
总有1个（放得最多的）
至少2支（尽可能少放）
师：至少2支是什么意思？谁再来说说看
学生汇报
小结：是的，至少2支就是最少2支，不能比2支少，但是可以比2支多，3支和4支也是属于至少2支这种情况。在数学上，我们把所有的情况全部列举出来就叫做列举法。（板书：列举法）
【设计意图：到了高年级学生的思维推理能力有一定的提升，丢掉直观的实物演练，借助数字、符合想象推理完成结论，让学生在自主学习过程中勇于表达自己的观点和疑点，在讨论、交流学习中达成认识---不管怎样放总有一个笔筒至少放进2支铅笔。】
二、回归问题 再次感知（假设法）
1、探究铅笔放笔筒问题一般性
师：通过把4种不同放的情况全部列举出来，发现不管怎样放，总有一个笔筒至少放进2支笔。如果有许多的笔，你还会把所有的情况全部列举出来吗？那你还有其它好的办法吗？
如果我只找这4种情况中的一种情况，你们觉得是找最有利还是最不利的？为什么
学生汇报并说明自己的观点
继续追问：要想每个笔筒的笔尽可能少放，那我应该这样放就可以做到每个笔筒的笔都尽肯能少呢？
学生可能会回答：尽量平均分
继续追问：这个词用得好！那你说说具体怎么放？
学生可能会说：每个笔筒各放1支笔，这时还剩下1支笔，不管我放到哪个笔筒里，都可以出现总有一个笔筒至少放进2支笔
2、把问题“模型化”
师：这个“平均分”的过程可不可以用一个算式来表示呢？
生汇报老师板书
铅笔 笔筒
4 ÷ 3 ＝1……1 1+1＝2
引导学生进一步探究：那如果有5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进几支铅笔？（2支）如果是100支铅笔放进99个笔筒，总有一个笔筒里至少放进几支铅笔？（2支）
组织学生分组议一议，说一说，得出一般性的结论。
学生归纳总结：只要放进的铅笔数量比笔筒数量多1，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。
师：你们可以用简洁的数学语言来描述一下吗？
学生可能会想到用字母来表示比如：a表是铅笔，b表示笔筒（a比b大1）……
小结：笔筒用n表示，铅笔就可以表示成n＋1，也就是把n＋1支笔放进n个笔筒，不管怎样放总有一个笔筒至少放进2支笔。
课件出示：
/
【设计意图：由课本例题4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放得到总有一个笔筒至少放进2支铅笔。这是巧合还是某一类型问题的一般性？让学生根据已有的经验思考5支铅笔放进4个笔筒，100支铅笔放进99个笔筒，甚至是更多的铅笔放进更多的笔筒，得到抽屉原理，从而加深对新知识的认识与理解，提高学生数学思维。】
3、原型问题提升到同一类型问题
课件出示
/
师：这是我们刚才一起研究的3个问题，仔细观察有没有相同点？
学生独立思考，同桌讨论、交流
小结：苹果、铅笔就相当于鸽子，抽屉、笔筒相当于巢，我们可以把这类问题就叫做鸽巢问题，所蕴涵的原理就叫做鸽巢原理也叫抽屉原理，还叫狄利克雷原理。
学生默读狄利克雷原理。
（三）练习巩固
1、变式练习
课件出示
/
组织学生独立完成，并在小组中相互交流，然后指名学生汇报解题思路及过程。
2、提升练习
课件出示
/
师：鸽子数量比巢多2的时候，总有一个鸽笼至少飞进几只鸽子呢？
组织学生讨论、交流、完成填空
学生可能会得出：2只鸽子或者3只鸽子
师生一起验证并对存在的问题进行释疑：当第一进行平均分以后，还要再次尽量“平均分”。
【设计意图：通过设计有梯度的问题，既有基础的抽牌猜花色游戏巩固新知，又有变式的练习找“鸽子”数，还有鸽子数比鸽巢数多2的提升练习，牢固掌握“鸽巢原理”，并培养学生灵活运用“鸽巢原理”解决问题的能力】
（四）课后小结
通过这节课的学习，你觉得鸽巢问题简单吗？说说看
（五）板书设计
鸽巢问题
（4 0 0） 总有一个（分得最多的） 铅笔 笔筒
（3 1 0） 至少2支（尽可能少放） 4 ÷ 3 ＝1……1 1＋1＝2
（2 1 1） 5 ÷ 4 ＝1……1 1＋1＝2
（2 2 0） 100 99
n＋1 n
5÷3＝1……2
1＋1＝2
教学反思
1、本节课主要是让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，掌握“鸽巢原理”基本原型，并能够运用于实际，学会思考数学问题的方法，从而培养学生的数学思维。众所周知，兴趣是最好的老师，上课开始，玩猜数字的游戏。随便学生怎么写，至少有一个数据被2位或者2位以上的同学写了，简单的游戏体现了“鸽巢原理”的本质，同时也为学习例1，把4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放，总有一个笔筒至少放进（2）支铅笔做了铺垫。通过游戏抓住学生的注意力，让学生感觉到本节课要学习的内容有意义。
2、在教学时，为学生提供主动参与的机会，比如4支铅笔放进3个笔筒你是怎么摆的？让学生说摆的方法以及为什么这么摆？延伸到5支铅笔放进4个笔筒；100支铅笔放进99个笔筒等等，让学生在学习中经历猜想、验证、推理、应用中掌握“鸽巢原理”，即n＋1个物体放进n个抽屉，不管怎样放，总有一个抽屉至少放进2个物体。通过对一些实际问题“模型化”，从而是在用“鸽巢原理”解决问题时，促进逻辑思维推理能力。
3、整节课下来，感觉思路还是清晰的，学生也有所获，但在语言组织、问题启发上还有待加强。
案例研讨：
本节课经过多次反复试教、打磨一轮轮修改得以成型。回顾最开始的初稿和现在有明显的区别。
1、实物操作舍弃。最开始试教时给每位同学准备铅笔和纸杯，通过实际操作来感知4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放总有一个笔筒至少放进2支铅笔，在效果上也很一般。磨课组老师提出，是不是让学生用图形或者符合来表示铅笔、笔筒，用“心”感受放的过程。抽象思维经过低、中年级的培养已经有了一定的提高，在课堂实践中发现，学生确实具备了这样的能力。
2、至少2支的推理验证。对关键词的解读“总有”、“至少”让学生体会，通过学生自己的思考，学生自己回答，感受总有就是说总有一个是放得最多的，至少就是在放的时候又要做到尽可能少放，做到到位且不越位。磨课组老师提出，让学生去说放的过程感受到“平均分”，继续延伸到除法算式的表达，掌握鸽巢原理的一般性。
3、练习设计。最开始的设计是基本的练习，只要套用鸽巢原理即可解题，过于单一。后门修改成了基本练习、变式练习、提升练习，比如扑克牌摸花色是基本题型，再就是隐藏“鸽巢数”，要满足至少2人在同一天过生日，来寻找“鸽子数”，另外，通过隐藏“鸽巢”任意写3个人的名字可以得出什么结论进行变式巩固。前面始终出现都是鸽子数比鸽巢数多1的情况，转换到多2那么结论还是这样的吗？给了学生在认知上的又一个新的碰撞，感受鸽巢问题在第一课时的魅力。待分物体第一次进行平均分，还有剩余再次“平均分”。
教学内容：人教版六年级下册第五单元P68例1
教材分析：通过生活中的实例，向学生介绍“鸽巢问题”的两种形式，使学生在理解“鸽巢问题”这种教学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，并会运用“鸽巢问题”来解决这些问题，促进逻辑思维能力的发展。
学情分析：在数学上有一类问题是与“存在性”有关的问题，比如367个人至少有2个人是在同一天过生日，这类问题它所依据的理论，我们称之“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。
教学目标：1、使学生理解抽屉原理（鸽巢原理）的基本形式，并能初步运用抽屉原理解决相关实际问题或解释相关现象。
2、通过操作、观察、比较、推理等数学活动，使学生经历抽屉原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型，提高学习数学的兴趣。
3、通过对抽屉原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点：经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理。
教学难点：理解“总有”“至少”，构建“抽屉原理”的数学模型，并对一些简单的实际问题加以模型化。
教学准备：PPT课件
教学过程：
（一）游戏切入
师：在上课之前，我们先玩一个猜数字的游戏，请4位同学上黑板从1到3这三个数据任意写下一个数据。
学生上黑板写下自己喜欢的数据。
师预测：至少有一个数据被2位或者2位以上的同学写了。我能预测到这个结论，是因为这个游戏里隐藏了一个数学问题-------鸽巢问题。
板书课题：鸽巢问题。
（二）新知探究
一、呈现问题 初步感知（列举法）
1、师：4只铅笔放进3个笔筒，你们会摆吗？
待学生回答后，提升问题难度。
2、是的，这个问题很简单，那我加大点难度有信心来挑战吗？
（课件出示）
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①生读题感知问题
②出示关键词并进行理解
板书：总有1个 至少
“总有”什么意思？“至少”呢？谁来说说看？
待学生回答后，提出要求。
师：请同学们独立思考完成这个结论。
③学生汇报
学生甲：我认为总有一个笔筒至少放进2支铅笔
学生乙：我认为总有一个笔筒至少放进1支铅笔
④验证结论
师：你是怎么摆的？
板书学生放的方法。(4 0 0)、（3 1 0）、（2 2 0）、（2 1 1）、（1 2 1）
学生整理汇报
追问：（2 1 1）和（1 2 1）是一种放法还是两种放法？
学生阐述自己的观点
师小结：我们关注的应该是笔筒放笔的数量，与放笔的顺序无关，（2 1 1）和（1 2 1）属于同一种。
师：你认为至少放进1支，说说你的观点。
学生可能会说：放笔最少那的个笔筒里有1支笔。
师小结：这种情况没有研究价值，笔筒出现1支的情况总是会存在的。
师：观察每一种放的放法有没有一个放笔最多的笔筒？放了几支？在放笔最多的笔筒里放得最少的有几支？
（不管怎样放，总有一个放笔最多的笔筒，在放笔最多的笔筒里最少的是2支）
师生交流中进行板书：
总有1个（放得最多的）
至少2支（尽可能少放）
师：至少2支是什么意思？谁再来说说看
学生汇报
小结：是的，至少2支就是最少2支，不能比2支少，但是可以比2支多，3支和4支也是属于至少2支这种情况。在数学上，我们把所有的情况全部列举出来就叫做列举法。（板书：列举法）
【设计意图：到了高年级学生的思维推理能力有一定的提升，丢掉直观的实物演练，借助数字、符合想象推理完成结论，让学生在自主学习过程中勇于表达自己的观点和疑点，在讨论、交流学习中达成认识---不管怎样放总有一个笔筒至少放进2支铅笔。】
二、回归问题 再次感知（假设法）
1、探究铅笔放笔筒问题一般性
师：通过把4种不同放的情况全部列举出来，发现不管怎样放，总有一个笔筒至少放进2支笔。如果有许多的笔，你还会把所有的情况全部列举出来吗？那你还有其它好的办法吗？
如果我只找这4种情况中的一种情况，你们觉得是找最有利还是最不利的？为什么
学生汇报并说明自己的观点
继续追问：要想每个笔筒的笔尽可能少放，那我应该这样放就可以做到每个笔筒的笔都尽肯能少呢？
学生可能会回答：尽量平均分
继续追问：这个词用得好！那你说说具体怎么放？
学生可能会说：每个笔筒各放1支笔，这时还剩下1支笔，不管我放到哪个笔筒里，都可以出现总有一个笔筒至少放进2支笔
2、把问题“模型化”
师：这个“平均分”的过程可不可以用一个算式来表示呢？
生汇报老师板书
铅笔 笔筒
4 ÷ 3 ＝1……1 1+1＝2
引导学生进一步探究：那如果有5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进几支铅笔？（2支）如果是100支铅笔放进99个笔筒，总有一个笔筒里至少放进几支铅笔？（2支）
组织学生分组议一议，说一说，得出一般性的结论。
学生归纳总结：只要放进的铅笔数量比笔筒数量多1，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。
师：你们可以用简洁的数学语言来描述一下吗？
学生可能会想到用字母来表示比如：a表是铅笔，b表示笔筒（a比b大1）……
小结：笔筒用n表示，铅笔就可以表示成n＋1，也就是把n＋1支笔放进n个笔筒，不管怎样放总有一个笔筒至少放进2支笔。
课件出示：
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【设计意图：由课本例题4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放得到总有一个笔筒至少放进2支铅笔。这是巧合还是某一类型问题的一般性？让学生根据已有的经验思考5支铅笔放进4个笔筒，100支铅笔放进99个笔筒，甚至是更多的铅笔放进更多的笔筒，得到抽屉原理，从而加深对新知识的认识与理解，提高学生数学思维。】
3、原型问题提升到同一类型问题
课件出示
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师：这是我们刚才一起研究的3个问题，仔细观察有没有相同点？
学生独立思考，同桌讨论、交流
小结：苹果、铅笔就相当于鸽子，抽屉、笔筒相当于巢，我们可以把这类问题就叫做鸽巢问题，所蕴涵的原理就叫做鸽巢原理也叫抽屉原理，还叫狄利克雷原理。
学生默读狄利克雷原理。
（三）练习巩固
1、变式练习
课件出示
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组织学生独立完成，并在小组中相互交流，然后指名学生汇报解题思路及过程。
2、提升练习
课件出示
/
师：鸽子数量比巢多2的时候，总有一个鸽笼至少飞进几只鸽子呢？
组织学生讨论、交流、完成填空
学生可能会得出：2只鸽子或者3只鸽子
师生一起验证并对存在的问题进行释疑：当第一进行平均分以后，还要再次尽量“平均分”。
【设计意图：通过设计有梯度的问题，既有基础的抽牌猜花色游戏巩固新知，又有变式的练习找“鸽子”数，还有鸽子数比鸽巢数多2的提升练习，牢固掌握“鸽巢原理”，并培养学生灵活运用“鸽巢原理”解决问题的能力】
（四）课后小结
通过这节课的学习，你觉得鸽巢问题简单吗？说说看
（五）板书设计
鸽巢问题
（4 0 0） 总有一个（分得最多的） 铅笔 笔筒
（3 1 0） 至少2支（尽可能少放） 4 ÷ 3 ＝1……1 1＋1＝2
（2 1 1） 5 ÷ 4 ＝1……1 1＋1＝2
（2 2 0） 100 99
n＋1 n
5÷3＝1……2
1＋1＝2
教学反思
1、本节课主要是让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，掌握“鸽巢原理”基本原型，并能够运用于实际，学会思考数学问题的方法，从而培养学生的数学思维。众所周知，兴趣是最好的老师，上课开始，玩猜数字的游戏。随便学生怎么写，至少有一个数据被2位或者2位以上的同学写了，简单的游戏体现了“鸽巢原理”的本质，同时也为学习例1，把4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放，总有一个笔筒至少放进（2）支铅笔做了铺垫。通过游戏抓住学生的注意力，让学生感觉到本节课要学习的内容有意义。
2、在教学时，为学生提供主动参与的机会，比如4支铅笔放进3个笔筒你是怎么摆的？让学生说摆的方法以及为什么这么摆？延伸到5支铅笔放进4个笔筒；100支铅笔放进99个笔筒等等，让学生在学习中经历猜想、验证、推理、应用中掌握“鸽巢原理”，即n＋1个物体放进n个抽屉，不管怎样放，总有一个抽屉至少放进2个物体。通过对一些实际问题“模型化”，从而是在用“鸽巢原理”解决问题时，促进逻辑思维推理能力。
3、整节课下来，感觉思路还是清晰的，学生也有所获，但在语言组织、问题启发上还有待加强。
案例研讨：
本节课经过多次反复试教、打磨一轮轮修改得以成型。回顾最开始的初稿和现在有明显的区别。
1、实物操作舍弃。最开始试教时给每位同学准备铅笔和纸杯，通过实际操作来感知4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放总有一个笔筒至少放进2支铅笔，在效果上也很一般。磨课组老师提出，是不是让学生用图形或者符合来表示铅笔、笔筒，用“心”感受放的过程。抽象思维经过低、中年级的培养已经有了一定的提高，在课堂实践中发现，学生确实具备了这样的能力。
2、至少2支的推理验证。对关键词的解读“总有”、“至少”让学生体会，通过学生自己的思考，学生自己回答，感受总有就是说总有一个是放得最多的，至少就是在放的时候又要做到尽可能少放，做到到位且不越位。磨课组老师提出，让学生去说放的过程感受到“平均分”，继续延伸到除法算式的表达，掌握鸽巢原理的一般性。
3、练习设计。最开始的设计是基本的练习，只要套用鸽巢原理即可解题，过于单一。后门修改成了基本练习、变式练习、提升练习，比如扑克牌摸花色是基本题型，再就是隐藏“鸽巢数”，要满足至少2人在同一天过生日，来寻找“鸽子数”，另外，通过隐藏“鸽巢”任意写3个人的名字可以得出什么结论进行变式巩固。前面始终出现都是鸽子数比鸽巢数多1的情况，转换到多2那么结论还是这样的吗？给了学生在认知上的又一个新的碰撞，感受鸽巢问题在第一课时的魅力。待分物体第一次进行平均分，还有剩余再次“平均分”。