2019-2020学年人教A版广东省普通高中学业水平数学试卷（12月份）word版含 解析

2019-2020学年广东省普通高中学业水平数学试卷
一、选择题
1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，则M∪N＝（　　）
A．M B．N C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2}
2．复数（1+i）i＝（　　）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
3．某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（　　）
A．94 B．93 C．92 D．91
4．直线x﹣2y﹣1＝0的斜率是（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
5．下列函数为偶函数的是（　　）
A．f（x）＝x+3 B．f（x）＝x2﹣2 C．f（x）＝x3 D．
6．若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7．函数的定义域是（　　）
A．（0，4） B．[0，4]
C．（﹣∞，0）∪（4，+∞） D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）
8．在等差数列{an}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，则a20＝（　　）
A．﹣20 B．﹣5 C．0 D．5
9．已知函数，设f（1）＝a，则f（a）＝（　　）
A．2 B． C． D．
10．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣6
11．设a＝log23，b＝log0.32，c＝log32，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
12．直线l：x+y﹣2＝0被圆C：x2+y2＝3截得的弦长为（　　）
A． B．2 C． D．1
13．已知命题p：?x0∈[0，+∞），ln（1+x0）＝x0，则￢p为（　　）
A．?x0?[0，+∞），ln（1+x0）＝x0
B．?x?[0，+∞），ln（1+x）＝x
C．?x0∈[0，+∞），ln（1+x0）≠x0
D．?x∈[0，+∞），ln（1+x）≠x
14．一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（　　）
（参考公式：球的表面积公式为S＝4πR2，其中R是球的半径）
A．3π B．4π C．8π D．12π
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，b＝4，且△ABC的面积为2，则a＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分）
16．设向量，若，则m＝　 　．
17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，S2＝3，则S3＝　 　．
18．从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是　 　．
19．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则该椭圆的离心率为　 　．
三、解答题（每小题12分）
20．已知函数f（x）＝sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若θ满足，求的值
21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1的中点．
（1）证明：DE∥平面ACC1A1；
（2）若BB1＝1，证明：C1D⊥平面ADE．





参考答案
一、选择题（每小题4分）
1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，则M∪N＝（　　）
A．M B．N C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2}
【分析】进行并集的运算即可．
解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，
∴M∪N＝{﹣1，0，1，2，3}．
故选：C．
2．复数（1+i）i＝（　　）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
【分析】直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，求得结果．
解：复数（1+i）i＝i+i2＝﹣1+i，
故选：A．
3．某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（　　）
A．94 B．93 C．92 D．91
【分析】评委打出的最低分为83，最高分为96，去掉最高分和最低分，其余得分为91，91，94，94，95，求出平均数．
解：评委打出的最低分为，83，最高分为96，去掉最高分和最低分，其余得分为91，91，94，94，95，
故平均分为 ＝93．
故选：B．
4．直线x﹣2y﹣1＝0的斜率是（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【分析】若Ax+By+c＝0，B≠0，则斜率为k＝﹣，可解出．
解：直线斜率为斜率为k＝﹣＝．
故选：A．
5．下列函数为偶函数的是（　　）
A．f（x）＝x+3 B．f（x）＝x2﹣2 C．f（x）＝x3 D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
解：根据题意，依次分析选修：
对于A，f（x）＝x+3，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝x2﹣2，为二次函数且其对称轴为y轴，是偶函数，符合题意，
对于C，f（x）＝x3，是奇函数不是偶函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；
故选：B．
6．若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案．
解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；
由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．
∴取交集可得，α是第二象限角．
故选：B．
7．函数的定义域是（　　）
A．（0，4） B．[0，4]
C．（﹣∞，0）∪（4，+∞） D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）
【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足x2﹣4x≥0，解出x的范围即可．
解：要使f（x）有意义，则x2﹣4x≥0，解得x≤0或x≥4，
∴f（x）的定义域是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
故选：D．
8．在等差数列{an}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，则a20＝（　　）
A．﹣20 B．﹣5 C．0 D．5
【分析】由等差数列的性质an﹣am＝（n﹣m）d，得a10﹣a5＝5d，求出公差d，及a20．
解：等差数列{an}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，
a10﹣a5＝5d，d＝＝＝1，
所以a20＝a5+15d＝﹣15+15×1＝0，
故选：C．
9．已知函数，设f（1）＝a，则f（a）＝（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（1）的值，即可得a的值，进而结合函数的解析式分析可得答案．
解：根据题意，函数，
则f（1）＝1﹣2＝﹣1，
又由f（1）＝a，即a＝﹣1，
则f（a）＝f（﹣1）＝（）﹣1＝2；
故选：A．
10．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣6
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求最值即可．
解：由z＝x﹣2y得y＝，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y＝由图象可知当直线y＝过点C（﹣1，2）时，直线的截距最大，此时z最小，
代入目标函数z＝x﹣2y，得z＝﹣1﹣2×2＝﹣5．
∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣6．
故选：C．

11．设a＝log23，b＝log0.32，c＝log32，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：a＝log23∈（1，2），b＝log0.32＜0，c＝log32∈（0，1），
故b＜c＜a，
故选：D．
12．直线l：x+y﹣2＝0被圆C：x2+y2＝3截得的弦长为（　　）
A． B．2 C． D．1
【分析】求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．
解：∵圆C：x2+y2＝3的圆心（0，0）到直线l：x+y﹣2＝0的距离d＝，
圆C的半径r＝，
∴直线l：x+y﹣2＝0被圆C：x2+y2＝3截得的弦长为．
故选：B．
13．已知命题p：?x0∈[0，+∞），ln（1+x0）＝x0，则￢p为（　　）
A．?x0?[0，+∞），ln（1+x0）＝x0
B．?x?[0，+∞），ln（1+x）＝x
C．?x0∈[0，+∞），ln（1+x0）≠x0
D．?x∈[0，+∞），ln（1+x）≠x
【分析】否定：否定两次，否定结论．
解：否定：否定两次，否定结论．
故命题p：?x0∈[0，+∞），ln（1+x0）＝x0，则￢p为?x∈[0，+∞），ln（1+x）≠x．
故选：D．
14．一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（　　）
（参考公式：球的表面积公式为S＝4πR2，其中R是球的半径）
A．3π B．4π C．8π D．12π
【分析】利用球的直径为其内接正方体的体对角线，即可求解．
解：由于正方体的顶点均在同一球的球面上，即其体对角线为球的直径：2R＝；
∴；
∴球的表面积公式为S＝4πR2＝12π；
故选：D．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，b＝4，且△ABC的面积为2，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用面积公式求出c，再利用余弦定理求出a．
解：由，
c＝，
a2＝16+2﹣2×＝18﹣8＝10，
故a＝，
故选：B．
二、填空题（每小题4分）
16．设向量，若，则m＝　﹣6　．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得1×m＝3×（﹣2），变形可得m的值，即可得答案．
解：根据题意，向量，
若，则有1×m＝3×（﹣2），即m＝﹣6；
故答案为：﹣6．
17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，S2＝3，则S3＝　7　．
【分析】根据题意，分析可得a2＝S2﹣S1＝S2﹣a1＝2，进而可得等比数列的公比，求出a3的值，又由S3＝a1+a3+a3，计算可得答案．
解：根据题意，等比数列中a1＝1，S2＝3，则a2＝S2﹣S1＝S2﹣a1＝3﹣1＝2，
则其公比q＝＝2，
故a3＝a2q＝4，
则S3＝a1+a2+a3＝1+2+4＝7；
故答案为：7．
18．从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是　　．
【分析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率．
解：从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张共有6种情况，
则所取2张卡片上的数字之积为奇数共有（1，3），1种情况，
故从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率为．
故答案为．
19．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则该椭圆的离心率为　　．
【分析】设点P在x轴上方，坐标为（c，），根据题意可知|PF2|＝，△AF1B为等边三角形，求得a和c的关系，求得离心率．
解：设点P在x轴上方，坐标为（c，），∵△AF1B为等边三角形，
∴2a＝3，即2a2＝3（a2﹣c2）
故椭圆的离心率e＝＝．
故答案为：．
三、解答题（每小题12分）
20．已知函数f（x）＝sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若θ满足，求的值
【分析】（1）利用三角函数的性质直接求解即可；
（2）依题意，，再利用二倍角公式即可得解．
解：（1）函数f（x）＝sin2x，则f（x）的最小正周期是，f（x）的最大值是1；
（2）由，得，
所以．
21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1的中点．
（1）证明：DE∥平面ACC1A1；
（2）若BB1＝1，证明：C1D⊥平面ADE．

【分析】（1）由线面平行的判定定理，只要证明DE∥A1C，就可证明DE∥平面ACC1A1．
（2）因为BB1⊥平面ABC，由线面垂直的性质定理得，BB1⊥AD，因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，所以BC⊥AD，所以AD⊥平面B1BCC1，所以AD⊥C1D，有勾股定理得C1D⊥DB1，结合线面垂直的判定定理得C1D⊥平面ADE．
【解答】证明：（1）连接A1B，A1C，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，
因为点E是AB1的中点，所以点E是A1B的中点，
又因为点D是BC的中点，所以DE∥A1C，
因为DE?平面ACC1A1，A1C?平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1．
（2）连接B1D，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
因为BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以 BB1⊥AD，
又因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，
所以BC⊥AD，又BC∩BB1＝B，
所以AD⊥平面B1BCC1，又C1D?平面B1BCC1，
所以AD⊥C1D，
由BC＝2，得BD＝1，又BB1＝CC1＝1，
所以，
所以，所以C1D⊥DB1，DB1∩AD＝D，所以C1D⊥平面ADB1，
即C1D⊥平面ADE．