2019-2020学年度上海虹口区九年级第一学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷含答案

虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
初三数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟） 2020.1
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．如果 ，那么锐角的度数为
A．30°； B．45°； C．60°； D．90°．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，tanB=2，那么AC长为
A．1； B．4； C．； D．．
3．抛物线的顶点所在象限是
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D. 第四象限．
4．已知抛物线经过 、两点，在下列关系式中，正确的是
A．； B．； C．； D．．
5．已知和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是
A．； B．∥，∥；
C．； D．，．
6．如图1，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD=∠C，AC=2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为
A．；
B．；
C．7.5；
D．5．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．如果，且，那么的值为 ▲ ．
8．如果向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量= ▲ ．
9．如果抛物线的开口向下，那么a的取值范围是 ▲ ．
10．沿着x轴正方向看，抛物线在对称轴 ▲ 侧的部分是下降的（填“左”或“右”）．
11．如果函数是二次函数，那么m的值为 ▲ ．
12．如图2，抛物线的对称轴为直线 ，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为 （4，0），那么点Q的坐标为 ▲ ．







13．如图3，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为 ，如果tan，那么m
的值为 ▲ ．
14．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC=12，A1C1=8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为 ▲ ．
15．如图4，在梯形AEFB中，AB∥EF，AB=6，EF=10，点C、D分别在边AE、BF上且
CD∥AB，如果AC=3CE，那么CD长为 ▲ ．
16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如图5），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角的正切为，那么大正方形的面积是 ▲ ．
17．如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，点D为边AB上一动点，正方形 DEFG
的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB的值为 ▲ ．
18．如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF翻折，使BF的对应线段B’F经过顶点A，B’F交对角线BD于点P，当B’F⊥AB时，AP的长为 ▲ ．









三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．


20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：向左平移2个单位，向下平移3
个单位得到新抛物线C2．
（1）求新抛物线C2的表达式；
（2）如图8，将△OAB 沿x轴向左平移得到△O’A’B’，点A（0，5）的对应点A’ 落在平
移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B’的距离．













21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
如图9，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点G是Rt△ABC的重心，联结BG并延长交AC于点D，过点G作GE⊥BC交边BC于点E．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当AB=12时，求GE的长．







22．（本题满分10分）
某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°
（即∠BAB’ =7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处（如图10所示），测得∠CDA为37°，AD为5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）
（参考数据： ，，）












23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）
如图11，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC的中点，联结AD，过点C作
CE⊥AD于点E，联结BE．
（1）求证：；
（2）如果∠ABC=∠DCE，求证：．






24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）
如图12，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B
两点，与y轴交于点C（0，3），点P在抛物线的对称轴上，且纵坐标为．
（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；
（2） 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．
①点D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；
②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标．












25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF．过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．
（1）当点D在BC的延长线上时（如图13），如果CD=2，求tan∠FBC；
（2）当点D在BC的延长线上时（如图13），设，，求y关于x的函数
关系式（不写函数的定义域）；
（3）如果AG =8，求DE的长．











虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
初三数学试卷评分参考建议
2020.1
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；
5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．4 8． 9．a＞1 10．右 11．2
12．(－2,0) 13．3 14．4 15．9 16．169
17． 18．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式= …………………………………………………………（8分）
=
=………………………………………………………………………（2分）


20．解：（1）=……………………………………………………（3分）
∵抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，
∴新的抛物线C2的表达式为：………………………………（3分）
（2）∵将△OAB沿x轴向左平移得到△O’A’B’
∴设A’（x，5）…………………………………………………………………（1分）
∵点A的对应点A’落在C2上
∴ ………………………………………………………………（1分）
解得 ，…………………………………………………………（1分）
x=2不合题意，舍去
∴点B与其对应点B’的距离为4 ………………………………………………（1分）

21．解：（1）∵点G是Rt△ABC的重心
∴点D为AC的中点…………………………………………………………（1分）
∴……………………………………………………………（1分）
∴……………………………………………………（2分）
∵点G是Rt△ABC的重心 ∴…………………………………（1分）
∵ 与同向
∴………………………………………………………（1分）
（2）在Rt△ABC中，点D为AC的中点
∴CD=DB ∴∠C=∠DBC
∵GE⊥BC ∠ABC=90°
∴∠ABC=∠GEB=90°
∴△GEB∽△ABC…………………………………………………………………（1分）
∴ ………………………………………………………………………（1分）
∵ ∴……………………………………（1分）
∴
∴GE=4 ……………………………………………………………………………（1分）

22．解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E…………………………………………………（1分）
在Rt△ADE中， ……………………………（2分）
…………………………………（1分）
在Rt△ADE中，∠DAE+∠ADC=90° ∴∠DAE =90°-37°=53°
∴∠CAE=90°-7°-53°=30°………………………………………………………（1分）
在Rt△ACE中， ………………………………（2分）
……………………………………………………（1分） 由题得 …………（1分）
答：这棵大树AB原来的高度是（）米． ……………………………………（1分）

23．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACB=90°∴∠ACB=∠CED=90°
∵∠EDC=∠CDA
∴△EDC∽△CDA …………………………………………………………………（3分）
∴
∴CD2=DE·AD………………………………………………………………………（2分）
∵点D是边BC的中点 ∴CD=BD
∴BD2=DE·AD………………………………………………………………………（1分）
（2）由（1）得且∠EDB=∠BDA
∴△BDE∽△ADB……………………………………………………………………（2分）
∴∠ABC=∠BED……………………………………………………………………（1分）
∵∠ABC=∠DCE， ∴∠BED=∠DCE
∵∠EBD=∠CBE
∴△EBD∽△CBE……………………………………………………………………（2分）
∴ 即………………………………………………（1分）

24．解：（1） ∵过A(－1， 0)，C(0，3)
∴ 解得：……………………………………………（2分）
∴………………………………………………………………（1分）

对称轴为直线x=1
∵点P在对称轴上，且纵坐标为，
∴点P的坐标为（1，）……………………………………………………（1分）
（2）设直线x=1交x轴于点Q
∵A(－1，0)，P（1，）
∴AQ=2 PQ= ∴
∴∠PAQ=60° 即∠DAB=60°……………………………………………………（1分）
∵点D在射线AP上，且∠DAB为△ABD的特征角，
∴∠ABD=30°或∠ADB=30°，…………………………………………………（1分）
∴点D的坐标为（0，）或（3， ）…………………………………（2分）
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥GE的延长线于点H.
∵CE⊥EF且∠CEF为△ECF的特征角，
∴∠ECF=∠CFE=45°……………………………………………………………（1分）
∴CE=EF
在Rt△CHE中，∠HCE+∠CEH=90°
∵∠CEH+∠FEG=90°∴∠HCE=∠FEG
∵∠H=∠EGF=90°∴△CHE≌△EGF
∴CH=EG…………………………………………………………………………（1分）
∵点E为第一象限内抛物线上一点 ∴设E（a，）
∴ ……………………………………………………………（1分）
解得（舍负）
∴E………………………………………………………………（1分）

（1）在Rt△BED中，∠EDB+∠EBD=90°
同理∠ADC+∠DAC=90°
∴∠DAC=∠EBD即∠DAC=∠FBC，…………………………………………（1分）
由sin∠ABC=可得tan∠ABC=
在Rt△ABC中，AC=………………………………………（1分）
又∵CD=2
在Rt△ACD中，
∴………………………………………………（2分）
（2）∵AG∥BD ∴
∴ ∴ ………………………………………（2分）
∴ ……………………………………………………………………（1分）
∵ ∴
∴ ∴
∴ ……………………………………………………………（1分）
由sin∠ABC=可得tan∠ABC=
∴ …………………………………………（1分）
∴
即 …………………………………………………………（1分）
（3）①当点D在BC的延长线上时，
∵AG∥CB，∴，
∴FC=1， ∴
∴，
∴…………………………………（2分）
②当点D在边BC上时，
∵AG∥CB， ∴ ∴，
∴FC=3 ∴,
∴，……………………（2分）
综上，或.




BA

1A

第5题图

2A

AA

3A

4A

CA

A

B

D

图1

B

CA

D

图4

E

F

A

图3

x

A

O

y

C

图2

x

P

O

y

Q

C

图7

A

B

D

图6

D

A

B

E

C

F

G

图5

A

C

O

A

图8

x

B

O’

A’

B’

C2

y

图9

A

B

E

C

G

D

图10


C

A

D

B

B’

37°

D

图11

A

E

C

B

O

A

y

图12

x

B

C

图13

E

A

B

C

F

D

G

备用图

A

B

C





PAGE