2020年人教新版八年级下学期第16章二次根式单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年人教新版八年级下学期第16章二次根式单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-16 10:23:19 | ||
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文档简介
人教新版八年级下学期《第16章 二次根式》2020年单元测试卷
一．选择题（共2小题）
1．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为（ ）
A．2a B．2a+ C． D．﹣
2．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
二．填空题（共15小题）
3．如果是整数，则正整数n的最小值是 ．
4．代数式有意义，则x的取值范围是 ．
5．已知，则的算术平方根为 ．
6．已知实数a满足|2006﹣a|+＝a，则a﹣20062＝ ．
7．若，则x的取值范围为 ．
8．有 个实数x，可以使得为整数．
9．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
10．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个．
11．化简：﹣a化成最简二次根式为 ．
12．若和都是最简二次根式，则m＝ ，n＝ ．
13．若ab＞0，a+b＜0．那么下面各式：①＝?；② ?＝1；③÷＝﹣b；④ ?＝a，其中正确的是 （填序号）
14．若＝m，＝n，则＝ （用含m、n的代数式表示）．
15．若最简根式和是同类二次根式，则a?b的值是 ．
16．已知3＝16，m＝4，则m的取值范围是 ．
17．已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且x﹣﹣+＝2009，则＝ ．
三．解答题（共23小题）
18．观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为： ；
（2）求的值；
（3）诸直接写出的结果．
19．已知a，b，c为实数且c＝，求代数式c2﹣ab的值．
20．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
21．已知：m是的小数部分，求的值．
22．（b＜0）．
23．已知＝，且x为偶数，求（1+x）的值．
24．计算：
（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170
（2）
25．我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：，
问题解决：化简，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，
即（＝7，，
∴
模型应用1：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；（2）；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
26．已知a＝+，b＝﹣．
（1）求a2﹣b2的值；
（2）求+的值．
27．（1）已知x＝﹣，y＝+，求﹣的值；
（2）若a﹣＝，求a+的值．
28．计算
（1）|﹣3|﹣（﹣）﹣2+（2﹣）0﹣．
（2）+÷．
29．已知x＝﹣，y＝+，求x3y+y3x﹣3x+3y．
30．计算：
（1）；
（2）；
（3）解分式方程：；
（4）已知：；
①当x＝+1时，先化简，再求值；
②代数式A的值能不能等于3，并说明理由．
31．计算：
（1）|﹣3|+（﹣1）2018×（π﹣3）0﹣（）﹣2
（2）×
（3）（）﹣（）
（4）解分式方程
32．先化简再求值
（1）已知：y＞+2，求+5﹣3x的值．
（2）已知a＝，求的值．
33．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？
34．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除过修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
35．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
36．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：≈1.7）
37．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是u＝16．其中u表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，测得d＝20m，f＝1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由．（参考数据：≈1.4，≈2.2）
38．（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b＝2，求U＝的最小值．
39．观察图a所示算式，该算式由无数层分数线及相同的加数2循环嵌套而成，由图b我们发现，因为有无数层分数线嵌套，因此方框内的部分与整个算式相同，我们假设算式的结果为x，那么就可以将该算式转化成，从而得到方程＝x．求解出该算式的结果
问题：如果x＝，y＝，请用上面的方法比较x与y的大小．
40．知识迁移：当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而（当时取等号）．记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为．
直接应用：已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当x＝ 时，y1+y2取得最小值为 ．
变形应用：已知函数y1＝x+1（x＞﹣1）与函数，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
人教新版八年级下学期《第16章 二次根式》2020年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为（ ）
A．2a B．2a+ C． D．﹣
【分析】直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴+
＝+
＝+
＝a﹣﹣（a+）
＝﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
二．填空题（共15小题）
3．如果是整数，则正整数n的最小值是 7 ．
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解：因为是整数，可得：正整数n的最小值是7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了对二次根式的定义的应用，能根据二次根式的定义得出关于x的不等式是解此题的关键，形如（a≥0）的式子叫二次根式．
4．代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且x≠1 ．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣1且x≠1，
故答案为：x≥﹣1且x≠1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
5．已知，则的算术平方根为 2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
所以，x＝，
y＝8×＝4，
所以，＝＝4，
所以，的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的定义．
6．已知实数a满足|2006﹣a|+＝a，则a﹣20062＝ 2007 ．
【分析】根据被开方数大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解．
【解答】解：根据题意得，a﹣2007≥0，
解得a≥2007，
∴原式可化为：a﹣2006+＝a，
即＝2006，
两边平方得，a﹣2007＝20062，
∴a﹣20062＝2007．
故答案为：2007．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．
7．若，则x的取值范围为 x≤3 ．
【分析】本题为二次根式求解问题，题中被开方部分x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，而开方的结果为x﹣3的相反数，因此可得出x﹣3的取值范围，即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，开方结果为3﹣x，可得x﹣3≤0，
可得x取值范围为：x≤3，
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查二次根式的计算和性质，注意正负号，根据题中条件进行分析即可求出答案．
8．有 11 个实数x，可以使得为整数．
【分析】由二次根式有意义可知x≥0，120﹣≥0，可得≥0．而为整数数只有11个，从而可知对应的x取值个数．
【解答】解：∵有意义，
∴x≥0，
∴120
∴≥0．
∵为整数数，
∴的值为0、1、2、…10，共11个整数．
∴x取值对应有11个．
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
9．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
10．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 2 个．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：，是最简二次根式，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
11．化简：﹣a化成最简二次根式为 ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意a＜0，
﹣a＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
12．若和都是最简二次根式，则m＝ 1 ，n＝ 2 ．
【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．
【解答】解：∵若和都是最简二次根式，
∴，
解得：m＝1，n＝2，
故答案为：1；2
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
13．若ab＞0，a+b＜0．那么下面各式：①＝?；② ?＝1；③÷＝﹣b；④ ?＝a，其中正确的是 ②③ （填序号）
【分析】首先由ab＞0，a+b＜0，判断出a、b的正负，然后分别计算各个的题目并判断．
【解答】解：因为若ab＞0，a+b＜0，
所以a＜0，b＜0．
由于a＜0，b＜0，与无意义，所以①的变形错误；
∵?＝＝1，故②正确；
∵÷＝＝＝|b|，由于b＜0，∴原式＝﹣b，故③正确；
∵?＝＝＝|a|，由于a＜0，∴原式＝﹣a，故④计算错误．
故答案为②③
【点评】本题考查了二次根式的化简二、二次根式的乘除运算．注意：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，即＝|a|．
14．若＝m，＝n，则＝ 10mn （用含m、n的代数式表示）．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则将原式变形计算得出答案．
【解答】解：∵＝m，＝n，
∴＝10?＝10mn．
故答案为：10mn．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
15．若最简根式和是同类二次根式，则a?b的值是 18 ．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．
【解答】解：∵最简根式和是同类二次根式∴，
解得：，
∴a?b＝18，
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
16．已知3＝16，m＝4，则m的取值范围是 ﹣12≤m≤ ．
【分析】根据非负数的性质，可得的取值范围，根据被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大，可得答案．
【解答】解：由3＝16，得＝，
16﹣4≥0，
解得≤4，又≥0，
∴0≤4．
m＝4＝4×﹣3＝，
即m＝，
当＝0时，m最大＝，
当＝4时，m最小＝﹣12，
m的取值范围是﹣12≤m≤，
故答案为：﹣12≤m≤．
【点评】本题考查了二次根式的加减，利用被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大是解题关键，又利用了二次根时的性质：被开方数是非负数．
17．已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且x﹣﹣+＝2009，则＝ ．
【分析】把已知的等式变形分解后，得到xy的值．
【解答】解：∵x﹣﹣+＝2009，
∴（）﹣（+）+﹣＝0，
∴（++）（﹣）＝0，
∵1＜x＜y＜100，
∴﹣＝0，
∴＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，分解因式是解本题的关键．
三．解答题（共23小题）
18．观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为： ；
（2）求的值；
（3）诸直接写出的结果．
【分析】根据题目的规律进行计算即可．不难发现由根号形式转化为积的形式．因此
（1）可以猜想到接下来的第4个算式为：，
（2）题中可以根据题目进行每一项的转化．从而计算出结果；
（3）第（2）题进一步扩展到n项即可．详见解答过程．
【解答】解：
（1）依题意：接下来的第4个算式为：
故答案为
（2）原式＝
＝
＝
＝
（3）
原式＝
＝
＝
＝
【点评】此题考查的是二次根式的化简，要观察到的转化．此类题即可解决
19．已知a，b，c为实数且c＝，求代数式c2﹣ab的值．
【分析】先依据二次根式有意义的条件，求得a、b的值，然后再代入计算即可．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：
，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴c＝2﹣
代入代数式c2﹣ab得：
原式＝，
＝12﹣4．
【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
20．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．已知：m是的小数部分，求的值．
【分析】先估算得到m＝﹣2，则＝＝+2，即＞m，利用完全平方公式得到原式＝，再根据二次根式的性质得到原式＝|m﹣|，去绝对值得原式＝﹣m+，然后把m和的值代入计算即可．
【解答】解：∵m是的小数部分，
∴m＝﹣2，
原式＝＝|m﹣|
∵m＝﹣2，
∴＝＝+2，即＞m，
∴原式＝﹣（m﹣）
＝﹣m+
＝﹣（﹣2）++2
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了无理数的估算以及完全平方公式．
22．（b＜0）．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝?（﹣b）?（a）÷3
＝﹣3a2b÷3
＝ab．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
23．已知＝，且x为偶数，求（1+x）的值．
【分析】根据题意，求出x的取值范围，然后化简求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴6＜x≤9，
∵x为偶数，
∴x＝8，
则（1+x）＝（1+x）＝＝＝6．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题意，求出x的取值范围是解答本题的关键．
24．计算：
（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170
（2）
【分析】（1）先计算乘方，后计算加减即可；
（2）除法化为除法，根据二次根式的乘法法则计算即可；
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+1＝3
（2）原式＝﹣×2××2＝﹣．
【点评】本题考查二次根式的乘法法则，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：，
问题解决：化简，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，
即（＝7，，
∴
模型应用1：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；（2）；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（3）根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）这里m＝3，n＝2，由于1+2＝3，1×2＝2，
即，
所以；
（2）首先把化为，这里m＝11，n＝24，由于3+8＝11，3×8＝24，
即，，
所以
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2
所以，
所以，．
【点评】本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
26．已知a＝+，b＝﹣．
（1）求a2﹣b2的值；
（2）求+的值．
【分析】（1）先计算出a+b、a﹣b的值，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算可得；
（2）先计算ab的值，再代入原式＝＝计算可得．
【解答】解：（1）∵a＝+，b＝﹣，
∴a+b＝++﹣＝2，
a﹣b＝+﹣+＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×2＝4；
（2）∵a＝+，b＝﹣，
∴ab＝（+）×（﹣）＝3﹣2＝1，
则原式＝
＝
＝
＝10．
【点评】本题主要考查分式的运算与分母有理化，解题的关键是掌握分式与二次根式的运算法则及完全平方公式、平方差公式．
27．（1）已知x＝﹣，y＝+，求﹣的值；
（2）若a﹣＝，求a+的值．
【分析】（1）先求出xy与y+x与y﹣x的值，再代入计算即可；
（2）先根据完全平方公式求出a2+（）2，进一步得到（a+）2，从而得到a+的值．
【解答】解：（1）∵x＝﹣，y＝+，
∴xy＝1，
y+x＝2，
y﹣x＝2，
∴﹣＝＝＝＝4；
（2）∵a﹣＝，
∴（a﹣）2＝21，
∴a2+（）2＝23，
（a+）2＝25，
∴a+＝±5．
【点评】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简求值，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．
28．计算
（1）|﹣3|﹣（﹣）﹣2+（2﹣）0﹣．
（2）+÷．
【分析】（1）根据绝对值的意义、负整数指数幂的意义以及零指数幂分别进行计算即可得出答案；
（2）先把分母有理化，再把根式化简，最后合并即可．
【解答】解：（1））|﹣3|﹣（﹣）﹣2+（2﹣）0﹣
＝3﹣﹣4+1﹣2
＝﹣3；
（2）+÷＝﹣﹣4×＝2﹣6﹣＝﹣6．
【点评】此题考查了实是的计算，用到的知识点是零指数幂、负整数指数幂的意义、绝对值的意义和实数的计算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
29．已知x＝﹣，y＝+，求x3y+y3x﹣3x+3y．
【分析】根据已知求得x﹣y＝﹣2，x+y＝2，xy＝1，然后把要求的式子进行变形，再代入即可求得．
【解答】解：∵x＝﹣，y＝+，
∴x﹣y＝﹣2，x+y＝2，xy＝1，
∴x3y+y3x﹣3x+3y
＝xy（x2+y2）﹣3（x﹣y）
＝1×（x2+y2）﹣3×（﹣2）
＝（x2+y2）+6
＝（x+y）2﹣2xy+6
＝12﹣2×1+6
＝10+6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握乘法公式和运算顺序是解题的关键．
30．计算：
（1）；
（2）；
（3）解分式方程：；
（4）已知：；
①当x＝+1时，先化简，再求值；
②代数式A的值能不能等于3，并说明理由．
【分析】（1）先化简各二次根式，再计算加减可得；
（2）先利用完全平方公式计算、计算除法，再计算加减可得；
（3）先去分母，解方程求出x的值，再检验即可得；
（4）①先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得；
②假设A＝3，解之求出x的值，再根据分式有意义的条件判断即可得．
【解答】解：（1）原式＝3+﹣1﹣4＝﹣1；
（2）原式＝4﹣2+2＝6﹣2；
（3）两边都乘以x﹣1，得：1﹣x＝x﹣1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
∴x＝1是原分式方程的增根，
则原分式方程无解；
（4）①原式＝[﹣]?
＝?
＝，
当x＝+1时，原式＝＝＝；
②若代数式A的值为3，则＝3，
解得x＝2，
当x＝2时，原式没有意义，
∴代数式A的值不可能为3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．
31．计算：
（1）|﹣3|+（﹣1）2018×（π﹣3）0﹣（）﹣2
（2）×
（3）（）﹣（）
（4）解分式方程
【分析】（1）先计算绝对值、乘方、零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法和加减可得；
（2）先化简二次根式，再依次计算除法和乘法；
（3）先化简各二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可得；
（4）两边都乘以x（x+1），化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．
【解答】解：（1）原式＝3+1×1﹣4
＝3+1﹣4
＝0；
（2）原式＝2÷×
＝2×
＝2；
（3）原式＝3+3﹣2+2
＝5+；
（4）两边都乘以x（x+1），得：2x＝x+1，
解得：x＝1，
检验：x＝1时x（x+1）＝2≠0，
所以原分式方程的解为x＝1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、解分式方程．
32．先化简再求值
（1）已知：y＞+2，求+5﹣3x的值．
（2）已知a＝，求的值．
【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性，可得x的值，从而得y的范围，从而可将要求的式子化简求解；
（2）先对已知条件利用分母有理化进行化简，再对要求的式子进行化简，最后将a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得，≥0，≥0，3x﹣2≥0，2﹣3x≥0
∴x＝
∵y＞+2
∴y＞2
∴+5﹣3x
＝+5﹣3×
＝﹣1+5﹣2
＝2，
∴+5﹣3x的值为2．
（2）
∵a＝
＝
＝2﹣＜1，
∴
＝﹣
＝a+3﹣
＝a+3+
＝2﹣+3+2+
＝7，
∴的值为7．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值和分式的化简求值，熟练掌握因式分解及分母有理化的方法，是解题的关键．
33．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？
【分析】从题意可知，剩余部分的长方形的长边为bm，短边为﹣＝dm，由估算，的大小，做出判断即可．
【解答】解：剩余部分的长为dm，宽为﹣＝dm，
∵＜1.5，
∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，
∵4.2＜＜4.3，
4.2÷1.5≈2，
因此只能截出2块，
答：最多能截出2块．
【点评】考查二次根式的意义和性质，二次根式估算是正确解答的关键、
34．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除过修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（9+8）＝18+16（cm），
答：长方形ABCD的周长是18+16（cm），
（2）购买地砖需要花费＝5[]
＝5[72﹣（14﹣1）]
＝5（72﹣13）
＝360﹣65；
答：购买地砖需要花费（360﹣65）元；
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
35．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：第1个数，当n＝1时，，
第2个数，当n＝2时，．
【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
36．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：≈1.7）
【分析】首先在AB之间找一点F，且BF＝2.5，过点F作GF⊥AB交CD于点G，只要求得GF的数值，进一步与货车高相比较得出答案即可．
【解答】解：如图，
在AB之间找一点F，使BF＝2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，
∵AB＝3.2m，CA＝0.7m，BF＝2.5m，
∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.4m，
∵∠ECA＝60°，
∴tan60°＝，
∴GF＝CAtan60°＝1.4≈2.38m，
∵2.38＜3
∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．
【点评】此题考查二次根式的运用以及锐角三角函数的实际运用，理解题意，结合图形，选用适当的方法解决问题．
37．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是u＝16．其中u表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，测得d＝20m，f＝1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由．（参考数据：≈1.4，≈2.2）
【分析】先把d＝20m，f＝1.44，分别代入u＝16，求出当时汽车的速度再和80km/h比较即可解答．
【解答】解：肇事汽车超速行驶．
理由如下：
把d＝20，f＝1.44代入u＝16，
u＝16＝16×2.4×≈38.4×2.2＝84.48km/h＞80km/h，
所以肇事汽车超速行驶．
【点评】本题考查了二次根式的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
38．（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b＝2，求U＝的最小值．
【分析】（1）显然不能用面积公式求三角形面积，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；
（2）用代数的方法求U的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U的最小值．
【解答】解：如图1，作长方形ABCD，使AB＝b﹣a，AD＝c，
延长DA至E，使DE＝d，延长DC至F，使DF＝b，连接EF、FB，
则BF＝，EF＝，BE＝，
从而可知△BEF就是题设的三角形；
而S△BEF＝S长方形ABCD+S△BCF+S△ABE﹣S△DEF
＝（b﹣a）c+ac+（d﹣c）（b﹣a）﹣bd
＝（bc﹣ad）；
（2）将b＝2﹣a代入U＝中，得U＝+，
构造图形（如图2），
可得U的最小值为A′B＝＝．
【点评】本题考查了二次根式在计算图形面积，勾股定理中的运用．关键是根据题意，构造图形求解．
39．观察图a所示算式，该算式由无数层分数线及相同的加数2循环嵌套而成，由图b我们发现，因为有无数层分数线嵌套，因此方框内的部分与整个算式相同，我们假设算式的结果为x，那么就可以将该算式转化成，从而得到方程＝x．求解出该算式的结果
问题：如果x＝，y＝，请用上面的方法比较x与y的大小．
【分析】首先把x＝，y＝，两边平方，进一步整理得出方程，求得方程的根，进一步比较得出答案即可．
【解答】解：∵x＝，y＝，
∴x2＝（）2，y2＝（）2，
∴x2﹣x﹣2＝0，y2＝2y，
解得：x＝2 （x＞＞0），y＝2 （y＞0），
∴x＝y．
【点评】此题考查二次根式的实际运用，理解题意，转化为一元二次方程的实际运用，建立方程解决问题．
40．知识迁移：当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而（当时取等号）．记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为．
直接应用：已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当x＝ 1 时，y1+y2取得最小值为 2 ．
变形应用：已知函数y1＝x+1（x＞﹣1）与函数，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
【分析】直接应用：根据知识迁移的方法解答即可；
变形应用：把（x+1）看作一个整体求解即可；
实际应用：根据运输成本的组成列式表示出汽车平均每千米的运输成本，然后根据知识迁移的方法解答即可．
【解答】解：直接应用：y1+y2＝x+≥2＝2，
当x＝＝1时，取等号，
所以，当x＝1时，y1+y2取得最小值为2；
故答案为：1；2．
变形应用：＝＝（x+1）+≥2＝4，
当x+1＝＝2，即x＝1时，取等号，
所以，x＝1时，的最小值4；
实际应用：汽车平均每千米的运输成本＝＝+0.001x+1.6，
∵+0.001x≥2＝1.2，
∴汽车平均每千米的运输成本最低是1.2+1.6＝2.8元，
当＝0.001x，即x＝600千米时，取等号，
答：当x为600千米时，该汽车平均每千米的运输成本最低为2.8元．
【点评】本题考查了二次根式的应用，读懂题目信息，理解知识迁移中的最小值的求法是解题的关键．
一．选择题（共2小题）
1．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为（ ）
A．2a B．2a+ C． D．﹣
2．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
二．填空题（共15小题）
3．如果是整数，则正整数n的最小值是 ．
4．代数式有意义，则x的取值范围是 ．
5．已知，则的算术平方根为 ．
6．已知实数a满足|2006﹣a|+＝a，则a﹣20062＝ ．
7．若，则x的取值范围为 ．
8．有 个实数x，可以使得为整数．
9．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
10．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个．
11．化简：﹣a化成最简二次根式为 ．
12．若和都是最简二次根式，则m＝ ，n＝ ．
13．若ab＞0，a+b＜0．那么下面各式：①＝?；② ?＝1；③÷＝﹣b；④ ?＝a，其中正确的是 （填序号）
14．若＝m，＝n，则＝ （用含m、n的代数式表示）．
15．若最简根式和是同类二次根式，则a?b的值是 ．
16．已知3＝16，m＝4，则m的取值范围是 ．
17．已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且x﹣﹣+＝2009，则＝ ．
三．解答题（共23小题）
18．观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为： ；
（2）求的值；
（3）诸直接写出的结果．
19．已知a，b，c为实数且c＝，求代数式c2﹣ab的值．
20．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
21．已知：m是的小数部分，求的值．
22．（b＜0）．
23．已知＝，且x为偶数，求（1+x）的值．
24．计算：
（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170
（2）
25．我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：，
问题解决：化简，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，
即（＝7，，
∴
模型应用1：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；（2）；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
26．已知a＝+，b＝﹣．
（1）求a2﹣b2的值；
（2）求+的值．
27．（1）已知x＝﹣，y＝+，求﹣的值；
（2）若a﹣＝，求a+的值．
28．计算
（1）|﹣3|﹣（﹣）﹣2+（2﹣）0﹣．
（2）+÷．
29．已知x＝﹣，y＝+，求x3y+y3x﹣3x+3y．
30．计算：
（1）；
（2）；
（3）解分式方程：；
（4）已知：；
①当x＝+1时，先化简，再求值；
②代数式A的值能不能等于3，并说明理由．
31．计算：
（1）|﹣3|+（﹣1）2018×（π﹣3）0﹣（）﹣2
（2）×
（3）（）﹣（）
（4）解分式方程
32．先化简再求值
（1）已知：y＞+2，求+5﹣3x的值．
（2）已知a＝，求的值．
33．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？
34．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除过修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
35．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
36．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：≈1.7）
37．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是u＝16．其中u表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，测得d＝20m，f＝1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由．（参考数据：≈1.4，≈2.2）
38．（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b＝2，求U＝的最小值．
39．观察图a所示算式，该算式由无数层分数线及相同的加数2循环嵌套而成，由图b我们发现，因为有无数层分数线嵌套，因此方框内的部分与整个算式相同，我们假设算式的结果为x，那么就可以将该算式转化成，从而得到方程＝x．求解出该算式的结果
问题：如果x＝，y＝，请用上面的方法比较x与y的大小．
40．知识迁移：当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而（当时取等号）．记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为．
直接应用：已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当x＝ 时，y1+y2取得最小值为 ．
变形应用：已知函数y1＝x+1（x＞﹣1）与函数，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
人教新版八年级下学期《第16章 二次根式》2020年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为（ ）
A．2a B．2a+ C． D．﹣
【分析】直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴+
＝+
＝+
＝a﹣﹣（a+）
＝﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
二．填空题（共15小题）
3．如果是整数，则正整数n的最小值是 7 ．
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解：因为是整数，可得：正整数n的最小值是7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了对二次根式的定义的应用，能根据二次根式的定义得出关于x的不等式是解此题的关键，形如（a≥0）的式子叫二次根式．
4．代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且x≠1 ．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣1且x≠1，
故答案为：x≥﹣1且x≠1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
5．已知，则的算术平方根为 2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
所以，x＝，
y＝8×＝4，
所以，＝＝4，
所以，的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的定义．
6．已知实数a满足|2006﹣a|+＝a，则a﹣20062＝ 2007 ．
【分析】根据被开方数大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解．
【解答】解：根据题意得，a﹣2007≥0，
解得a≥2007，
∴原式可化为：a﹣2006+＝a，
即＝2006，
两边平方得，a﹣2007＝20062，
∴a﹣20062＝2007．
故答案为：2007．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．
7．若，则x的取值范围为 x≤3 ．
【分析】本题为二次根式求解问题，题中被开方部分x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，而开方的结果为x﹣3的相反数，因此可得出x﹣3的取值范围，即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，开方结果为3﹣x，可得x﹣3≤0，
可得x取值范围为：x≤3，
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查二次根式的计算和性质，注意正负号，根据题中条件进行分析即可求出答案．
8．有 11 个实数x，可以使得为整数．
【分析】由二次根式有意义可知x≥0，120﹣≥0，可得≥0．而为整数数只有11个，从而可知对应的x取值个数．
【解答】解：∵有意义，
∴x≥0，
∴120
∴≥0．
∵为整数数，
∴的值为0、1、2、…10，共11个整数．
∴x取值对应有11个．
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
9．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
10．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 2 个．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：，是最简二次根式，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
11．化简：﹣a化成最简二次根式为 ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意a＜0，
﹣a＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
12．若和都是最简二次根式，则m＝ 1 ，n＝ 2 ．
【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．
【解答】解：∵若和都是最简二次根式，
∴，
解得：m＝1，n＝2，
故答案为：1；2
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
13．若ab＞0，a+b＜0．那么下面各式：①＝?；② ?＝1；③÷＝﹣b；④ ?＝a，其中正确的是 ②③ （填序号）
【分析】首先由ab＞0，a+b＜0，判断出a、b的正负，然后分别计算各个的题目并判断．
【解答】解：因为若ab＞0，a+b＜0，
所以a＜0，b＜0．
由于a＜0，b＜0，与无意义，所以①的变形错误；
∵?＝＝1，故②正确；
∵÷＝＝＝|b|，由于b＜0，∴原式＝﹣b，故③正确；
∵?＝＝＝|a|，由于a＜0，∴原式＝﹣a，故④计算错误．
故答案为②③
【点评】本题考查了二次根式的化简二、二次根式的乘除运算．注意：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，即＝|a|．
14．若＝m，＝n，则＝ 10mn （用含m、n的代数式表示）．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则将原式变形计算得出答案．
【解答】解：∵＝m，＝n，
∴＝10?＝10mn．
故答案为：10mn．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
15．若最简根式和是同类二次根式，则a?b的值是 18 ．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．
【解答】解：∵最简根式和是同类二次根式∴，
解得：，
∴a?b＝18，
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
16．已知3＝16，m＝4，则m的取值范围是 ﹣12≤m≤ ．
【分析】根据非负数的性质，可得的取值范围，根据被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大，可得答案．
【解答】解：由3＝16，得＝，
16﹣4≥0，
解得≤4，又≥0，
∴0≤4．
m＝4＝4×﹣3＝，
即m＝，
当＝0时，m最大＝，
当＝4时，m最小＝﹣12，
m的取值范围是﹣12≤m≤，
故答案为：﹣12≤m≤．
【点评】本题考查了二次根式的加减，利用被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大是解题关键，又利用了二次根时的性质：被开方数是非负数．
17．已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且x﹣﹣+＝2009，则＝ ．
【分析】把已知的等式变形分解后，得到xy的值．
【解答】解：∵x﹣﹣+＝2009，
∴（）﹣（+）+﹣＝0，
∴（++）（﹣）＝0，
∵1＜x＜y＜100，
∴﹣＝0，
∴＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，分解因式是解本题的关键．
三．解答题（共23小题）
18．观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为： ；
（2）求的值；
（3）诸直接写出的结果．
【分析】根据题目的规律进行计算即可．不难发现由根号形式转化为积的形式．因此
（1）可以猜想到接下来的第4个算式为：，
（2）题中可以根据题目进行每一项的转化．从而计算出结果；
（3）第（2）题进一步扩展到n项即可．详见解答过程．
【解答】解：
（1）依题意：接下来的第4个算式为：
故答案为
（2）原式＝
＝
＝
＝
（3）
原式＝
＝
＝
＝
【点评】此题考查的是二次根式的化简，要观察到的转化．此类题即可解决
19．已知a，b，c为实数且c＝，求代数式c2﹣ab的值．
【分析】先依据二次根式有意义的条件，求得a、b的值，然后再代入计算即可．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：
，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴c＝2﹣
代入代数式c2﹣ab得：
原式＝，
＝12﹣4．
【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
20．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．已知：m是的小数部分，求的值．
【分析】先估算得到m＝﹣2，则＝＝+2，即＞m，利用完全平方公式得到原式＝，再根据二次根式的性质得到原式＝|m﹣|，去绝对值得原式＝﹣m+，然后把m和的值代入计算即可．
【解答】解：∵m是的小数部分，
∴m＝﹣2，
原式＝＝|m﹣|
∵m＝﹣2，
∴＝＝+2，即＞m，
∴原式＝﹣（m﹣）
＝﹣m+
＝﹣（﹣2）++2
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了无理数的估算以及完全平方公式．
22．（b＜0）．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝?（﹣b）?（a）÷3
＝﹣3a2b÷3
＝ab．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
23．已知＝，且x为偶数，求（1+x）的值．
【分析】根据题意，求出x的取值范围，然后化简求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴6＜x≤9，
∵x为偶数，
∴x＝8，
则（1+x）＝（1+x）＝＝＝6．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题意，求出x的取值范围是解答本题的关键．
24．计算：
（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170
（2）
【分析】（1）先计算乘方，后计算加减即可；
（2）除法化为除法，根据二次根式的乘法法则计算即可；
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+1＝3
（2）原式＝﹣×2××2＝﹣．
【点评】本题考查二次根式的乘法法则，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：，
问题解决：化简，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，
即（＝7，，
∴
模型应用1：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；（2）；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（3）根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）这里m＝3，n＝2，由于1+2＝3，1×2＝2，
即，
所以；
（2）首先把化为，这里m＝11，n＝24，由于3+8＝11，3×8＝24，
即，，
所以
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2
所以，
所以，．
【点评】本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
26．已知a＝+，b＝﹣．
（1）求a2﹣b2的值；
（2）求+的值．
【分析】（1）先计算出a+b、a﹣b的值，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算可得；
（2）先计算ab的值，再代入原式＝＝计算可得．
【解答】解：（1）∵a＝+，b＝﹣，
∴a+b＝++﹣＝2，
a﹣b＝+﹣+＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×2＝4；
（2）∵a＝+，b＝﹣，
∴ab＝（+）×（﹣）＝3﹣2＝1，
则原式＝
＝
＝
＝10．
【点评】本题主要考查分式的运算与分母有理化，解题的关键是掌握分式与二次根式的运算法则及完全平方公式、平方差公式．
27．（1）已知x＝﹣，y＝+，求﹣的值；
（2）若a﹣＝，求a+的值．
【分析】（1）先求出xy与y+x与y﹣x的值，再代入计算即可；
（2）先根据完全平方公式求出a2+（）2，进一步得到（a+）2，从而得到a+的值．
【解答】解：（1）∵x＝﹣，y＝+，
∴xy＝1，
y+x＝2，
y﹣x＝2，
∴﹣＝＝＝＝4；
（2）∵a﹣＝，
∴（a﹣）2＝21，
∴a2+（）2＝23，
（a+）2＝25，
∴a+＝±5．
【点评】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简求值，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．
28．计算
（1）|﹣3|﹣（﹣）﹣2+（2﹣）0﹣．
（2）+÷．
【分析】（1）根据绝对值的意义、负整数指数幂的意义以及零指数幂分别进行计算即可得出答案；
（2）先把分母有理化，再把根式化简，最后合并即可．
【解答】解：（1））|﹣3|﹣（﹣）﹣2+（2﹣）0﹣
＝3﹣﹣4+1﹣2
＝﹣3；
（2）+÷＝﹣﹣4×＝2﹣6﹣＝﹣6．
【点评】此题考查了实是的计算，用到的知识点是零指数幂、负整数指数幂的意义、绝对值的意义和实数的计算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
29．已知x＝﹣，y＝+，求x3y+y3x﹣3x+3y．
【分析】根据已知求得x﹣y＝﹣2，x+y＝2，xy＝1，然后把要求的式子进行变形，再代入即可求得．
【解答】解：∵x＝﹣，y＝+，
∴x﹣y＝﹣2，x+y＝2，xy＝1，
∴x3y+y3x﹣3x+3y
＝xy（x2+y2）﹣3（x﹣y）
＝1×（x2+y2）﹣3×（﹣2）
＝（x2+y2）+6
＝（x+y）2﹣2xy+6
＝12﹣2×1+6
＝10+6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握乘法公式和运算顺序是解题的关键．
30．计算：
（1）；
（2）；
（3）解分式方程：；
（4）已知：；
①当x＝+1时，先化简，再求值；
②代数式A的值能不能等于3，并说明理由．
【分析】（1）先化简各二次根式，再计算加减可得；
（2）先利用完全平方公式计算、计算除法，再计算加减可得；
（3）先去分母，解方程求出x的值，再检验即可得；
（4）①先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得；
②假设A＝3，解之求出x的值，再根据分式有意义的条件判断即可得．
【解答】解：（1）原式＝3+﹣1﹣4＝﹣1；
（2）原式＝4﹣2+2＝6﹣2；
（3）两边都乘以x﹣1，得：1﹣x＝x﹣1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
∴x＝1是原分式方程的增根，
则原分式方程无解；
（4）①原式＝[﹣]?
＝?
＝，
当x＝+1时，原式＝＝＝；
②若代数式A的值为3，则＝3，
解得x＝2，
当x＝2时，原式没有意义，
∴代数式A的值不可能为3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．
31．计算：
（1）|﹣3|+（﹣1）2018×（π﹣3）0﹣（）﹣2
（2）×
（3）（）﹣（）
（4）解分式方程
【分析】（1）先计算绝对值、乘方、零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法和加减可得；
（2）先化简二次根式，再依次计算除法和乘法；
（3）先化简各二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可得；
（4）两边都乘以x（x+1），化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．
【解答】解：（1）原式＝3+1×1﹣4
＝3+1﹣4
＝0；
（2）原式＝2÷×
＝2×
＝2；
（3）原式＝3+3﹣2+2
＝5+；
（4）两边都乘以x（x+1），得：2x＝x+1，
解得：x＝1，
检验：x＝1时x（x+1）＝2≠0，
所以原分式方程的解为x＝1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、解分式方程．
32．先化简再求值
（1）已知：y＞+2，求+5﹣3x的值．
（2）已知a＝，求的值．
【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性，可得x的值，从而得y的范围，从而可将要求的式子化简求解；
（2）先对已知条件利用分母有理化进行化简，再对要求的式子进行化简，最后将a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得，≥0，≥0，3x﹣2≥0，2﹣3x≥0
∴x＝
∵y＞+2
∴y＞2
∴+5﹣3x
＝+5﹣3×
＝﹣1+5﹣2
＝2，
∴+5﹣3x的值为2．
（2）
∵a＝
＝
＝2﹣＜1，
∴
＝﹣
＝a+3﹣
＝a+3+
＝2﹣+3+2+
＝7，
∴的值为7．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值和分式的化简求值，熟练掌握因式分解及分母有理化的方法，是解题的关键．
33．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？
【分析】从题意可知，剩余部分的长方形的长边为bm，短边为﹣＝dm，由估算，的大小，做出判断即可．
【解答】解：剩余部分的长为dm，宽为﹣＝dm，
∵＜1.5，
∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，
∵4.2＜＜4.3，
4.2÷1.5≈2，
因此只能截出2块，
答：最多能截出2块．
【点评】考查二次根式的意义和性质，二次根式估算是正确解答的关键、
34．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除过修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（9+8）＝18+16（cm），
答：长方形ABCD的周长是18+16（cm），
（2）购买地砖需要花费＝5[]
＝5[72﹣（14﹣1）]
＝5（72﹣13）
＝360﹣65；
答：购买地砖需要花费（360﹣65）元；
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
35．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：第1个数，当n＝1时，，
第2个数，当n＝2时，．
【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
36．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：≈1.7）
【分析】首先在AB之间找一点F，且BF＝2.5，过点F作GF⊥AB交CD于点G，只要求得GF的数值，进一步与货车高相比较得出答案即可．
【解答】解：如图，
在AB之间找一点F，使BF＝2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，
∵AB＝3.2m，CA＝0.7m，BF＝2.5m，
∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.4m，
∵∠ECA＝60°，
∴tan60°＝，
∴GF＝CAtan60°＝1.4≈2.38m，
∵2.38＜3
∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．
【点评】此题考查二次根式的运用以及锐角三角函数的实际运用，理解题意，结合图形，选用适当的方法解决问题．
37．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是u＝16．其中u表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，测得d＝20m，f＝1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由．（参考数据：≈1.4，≈2.2）
【分析】先把d＝20m，f＝1.44，分别代入u＝16，求出当时汽车的速度再和80km/h比较即可解答．
【解答】解：肇事汽车超速行驶．
理由如下：
把d＝20，f＝1.44代入u＝16，
u＝16＝16×2.4×≈38.4×2.2＝84.48km/h＞80km/h，
所以肇事汽车超速行驶．
【点评】本题考查了二次根式的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
38．（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b＝2，求U＝的最小值．
【分析】（1）显然不能用面积公式求三角形面积，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；
（2）用代数的方法求U的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U的最小值．
【解答】解：如图1，作长方形ABCD，使AB＝b﹣a，AD＝c，
延长DA至E，使DE＝d，延长DC至F，使DF＝b，连接EF、FB，
则BF＝，EF＝，BE＝，
从而可知△BEF就是题设的三角形；
而S△BEF＝S长方形ABCD+S△BCF+S△ABE﹣S△DEF
＝（b﹣a）c+ac+（d﹣c）（b﹣a）﹣bd
＝（bc﹣ad）；
（2）将b＝2﹣a代入U＝中，得U＝+，
构造图形（如图2），
可得U的最小值为A′B＝＝．
【点评】本题考查了二次根式在计算图形面积，勾股定理中的运用．关键是根据题意，构造图形求解．
39．观察图a所示算式，该算式由无数层分数线及相同的加数2循环嵌套而成，由图b我们发现，因为有无数层分数线嵌套，因此方框内的部分与整个算式相同，我们假设算式的结果为x，那么就可以将该算式转化成，从而得到方程＝x．求解出该算式的结果
问题：如果x＝，y＝，请用上面的方法比较x与y的大小．
【分析】首先把x＝，y＝，两边平方，进一步整理得出方程，求得方程的根，进一步比较得出答案即可．
【解答】解：∵x＝，y＝，
∴x2＝（）2，y2＝（）2，
∴x2﹣x﹣2＝0，y2＝2y，
解得：x＝2 （x＞＞0），y＝2 （y＞0），
∴x＝y．
【点评】此题考查二次根式的实际运用，理解题意，转化为一元二次方程的实际运用，建立方程解决问题．
40．知识迁移：当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而（当时取等号）．记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为．
直接应用：已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当x＝ 1 时，y1+y2取得最小值为 2 ．
变形应用：已知函数y1＝x+1（x＞﹣1）与函数，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
【分析】直接应用：根据知识迁移的方法解答即可；
变形应用：把（x+1）看作一个整体求解即可；
实际应用：根据运输成本的组成列式表示出汽车平均每千米的运输成本，然后根据知识迁移的方法解答即可．
【解答】解：直接应用：y1+y2＝x+≥2＝2，
当x＝＝1时，取等号，
所以，当x＝1时，y1+y2取得最小值为2；
故答案为：1；2．
变形应用：＝＝（x+1）+≥2＝4，
当x+1＝＝2，即x＝1时，取等号，
所以，x＝1时，的最小值4；
实际应用：汽车平均每千米的运输成本＝＝+0.001x+1.6，
∵+0.001x≥2＝1.2，
∴汽车平均每千米的运输成本最低是1.2+1.6＝2.8元，
当＝0.001x，即x＝600千米时，取等号，
答：当x为600千米时，该汽车平均每千米的运输成本最低为2.8元．
【点评】本题考查了二次根式的应用，读懂题目信息，理解知识迁移中的最小值的求法是解题的关键．