2019年数学同步必修一北师大版：第二章 二次函数性质的再研究 学案

§4　二次函数性质的再研究
学习目标　1.掌握配方法，理解a，b，c(或a，h，k)对二次函数图像的作用.2.理解由y＝x2到y＝a(x＋h)2＋k的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质．
知识点一　二次函数的配方法
思考　y＝4x2－4x－1如何配方？你能由此求出方程4x2－4x－1＝0的根吗？
答案　y＝4(x2－x)－1＝4－1
＝42－2.
令y＝0，即4x2－4x－1＝0，
42－2＝0，
2＝，
x＝±＝.
梳理　对于一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，可类似地配方为y＝a2＋，由此可得二次函数的值域、顶点等性质，y＝x2与y＝ax2＋bx＋c图像间的关系以及二次方程求根公式等．所以配方法是非常重要的数学方法．
知识点二　图像变换
思考　y＝x2和y＝2(x＋1)2＋3的图像之间有什么关系？
答案　y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2x2的图像；再把y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，再上平移3个单位长度，得y＝2(x＋1)2＋3的图像．
梳理　由y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移个单位长度，上移个单位长度，可得y＝a2＋的图像，即y＝ax2＋bx＋c的图像．
知识点三　二次函数的三种形式
思考　我们知道y＝x2－2x＝(x－1)2－1＝(x－2)x，那么点(1，－1)，数0,2是y＝x2－2x的什么？
答案　点(1，－1)是y＝x2－2x的顶点，数0,2是方程x2－2x＝0的两根．
梳理　(1)二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)如果已知二次函数的顶点坐标为(－h，k)，则可将二次函数设为y＝a(x＋h)2＋k.
(3)如果已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为y＝a(x－x1)(x－x2)．
知识点四　二次函数的性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a，b，c是常数，且a≠0)
图像
性质
开口
向上
向下
对称轴方程
x＝－
x＝－
顶点坐标
单调性
在区间上是减函数，在区间上是增函数
在区间上是增函数，在区间上是减函数
最值
当x＝－时，y有最小值，ymin＝
当x＝－时，y有最大值，ymax＝
1．若函数f(x)＝(a－1)x＋b在R上为增函数，则a>1，b∈R.(　√　)
2．若函数y＝x2的图像向上平移1个单位长度，则所得图像对应的函数解析式为y＝(x＋1)2.
(　×　)
3．二次函数y＝x2与y＝3x2的图像的形状相同．(　×　)
类型一　二次函数解析式的求解
例1　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．
考点　二次函数解析式求法
题点　一般式求法
解　方法一　代入A(－3,0)，
有9a－3b＋c＝0，①
由对称轴为x＝－1，得－＝－1，②
顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③
联立①②③解得或
所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
考点　二次函数解析式求法
题点　顶点式求法
方法二　因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，
又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.
因为图像过点A(－3,0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.
考点　二次函数解析式的求法
题点　两根式求法
方法三　因为二次函数图像的对称轴为x＝－1，
又图像过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上，
所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．
由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
分别代入上式，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.
反思与感悟　求二次函数解析式的步骤
跟踪训练1　(1)y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x交于点A(1，m)，求a.
考点　二次函数解析式的求法
题点　一般式求法
解　把A(1，m)代入y＝－3x，得m＝－3，
把(1，－3)代入y＝ax2＋6x－8，得
a＋6－8＝－3，即a＝－1.
(2)f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求f(x)．
考点　二次函数解析式求法
题点　顶点式求法
解　方法一　由f(－4)＝f(0)，知f(x)的对称轴为
x＝＝－2，
又f(－2)＝－2，∴顶点坐标为(－2，－2)，
∴f(x)＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.
考点　二次函数解析式的求法
题点　两根式求法
方法二　由f(－4)＝f(0)，可设f(x)＝x(x＋4)＋c.
代入x＝－2，得－2×(－2＋4)＋c＝－2，∴c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2.
类型二　二次函数的图像及变换
例2　由函数y＝x2的图像如何得到f(x)＝－x2＋2x＋3的图像．
考点　二次函数图像
题点　二次函数图像变换
解　f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3
＝－(x2－2x＋1－1)＋3＝－(x－1)2＋4，
∴由y＝－x2的图象与y＝x2的图像关于x轴对称，
可得y＝－x2的图像．
由y＝－x2的图像向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，可得y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3的图像．
引申探究　
利用f(x)＝－x2＋2x＋3的图像比较f(－1)，f(2)的大小．
解　f(x)图像如图．
由图知越接近对称轴，函数值越大．
由|－1－1|＝2>|2－1|＝1，
即f(2)比f(－1)更接近对称轴，∴f(2)>f(－1)．
反思与感悟　处理二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系．
在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”．
跟踪训练2　将二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图像，则b＝______，c＝______.
考点　二次函数图像
题点　二次函数图像变换
答案　－6　6
解析　f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图像顶点为(1,0)．
将二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，－3)，得到的抛物线为y＝(x－3)2－3，即f(x)＝x2＋bx＋c，
∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，
∴b＝－6，c＝6.
类型三　二次函数的性质
例3　已知函数f(x)＝x2－3x－：
(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；
(2)若x∈[1,4]，求函数值域．
考点　二次函数性质
题点　由解析式研究二次函数性质
解　(1)对函数右端的表达式配方，得
f(x)＝(x－3)2－，
所以函数图像的顶点坐标为，
对称轴方程为x＝3，最小值为－，无最大值．
(2)由于3∈[1,4]，所以函数在区间[1,3]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数，
所以当x＝3时，ymin＝－，
当x＝1时，ymax＝×4－＝－，
所以函数的值域为.
反思与感悟　解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
考点　二次函数性质
题点　由性质求参数范围
解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；
当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上，a的值为－3或.
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与g(x)＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图像可能是下图中的(　　)
考点　二次函数图像
题点　图像与a，b，c的关系
答案　D
解析　由于f(x)，g(x)的图像的对称轴方程分别是x＝－，x＝－，则－与－同号，即f(x)，g(x)的图像的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；由C，D中给出的图像，可判定f(x)，g(x)的图像的开口方向相反，故ab<0，于是－>0，－>0，即f(x)，g(x)的图像的对称轴都位于y轴右侧，排除C，故选D.
2．设二次函数y＝f(x)满足f(4＋x)＝f(4－x)，又f(x)在[4，＋∞)上是减函数，且f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥4
B．0≤a≤8
C．a<0
D．a<0或a≥8
考点　二次函数性质
题点　二次函数性质综合应用
答案　B
解析　由题意知二次函数f(x)的图像关于直线x＝4对称，则有f(0)＝f(8)．因为f(x)在[4，
＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，4]上是增函数．当a∈(－∞，4]时，由f(a)≥f(0)，得0≤a≤4；当a∈[4，＋∞)时，由f(a)≥f(0)，即f(a)≥f(8)，得4≤a≤8.综上可知0≤a≤8.
3．已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则(　　)
A．f(1)>c>f(－1)
B．f(1)C．c>f(－1)>f(1)
D．c考点　二次函数性质
题点　二次函数的单调性
答案　B
解析　因为f(－1)＝f(3)，所以f(x)图像的对称轴为x＝1，因此函数在区间(－∞，1]上是减函数，又c＝f(0)，所以f(1)4．根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．
(1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
考点　二次函数解析式求法
题点　(1)两根式求法
(2)顶点式求法
(3)一般式求法
解　(1)由题意可设二次函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，
将(0,3)代入得a＝.
∴所求二次函数解析式为y＝(x－2)(x－4)．
(2)由题意可设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋2，
将(0,4)代入得a＝2，
∴所求二次函数解析式为y＝2(x－1)2＋2.
(3)由题意可设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
将(1,1)，(0,2)，(3,5)代入得
解得
∴所求二次函数解析式为y＝x2－2x＋2.
1．配方法是重要的数学方法，在处理二次函数图像变换，研究二次函数性质时使用频繁．
2．二次函数图像变换规律可以推广到一般函数，即：
(1)y＝f(x)y＝f(x＋a)；
(2)y＝f(x)y＝f(x)＋b；
(3)y＝f(x)y＝af(x)(a>0)；
(4)y＝f(x)y＝－f(x)；
(5)y＝f(x)y＝f(－x).
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