2019年数学同步必修一北师大版：第二章 函数的单调性（二） 学案

§3　函数的单调性(二)
学习目标　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．
知识点一　函数的最大(小)值
思考　在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？
答案　最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．
梳理　对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．
知识点二　函数的最大(小)值的几何意义
思考　函数y＝x2，x∈[－1,1]的图像如图所示：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．
答案　x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点．
梳理　一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(　×　)
2．f(x)＝(x>0)的最小值为0.(　×　)
3．函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(　√　)
4．如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(　×　)
类型一　借助单调性求最值
例1　已知函数f(x)＝(x>0)，求函数的最大值和最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
解　设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝＝.
当00，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上递增；
当1≤x10，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上递减．
∴f(x)max＝f(1)＝，无最小值．
反思与感悟　(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
解　设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以函数y＝在区间[2,6]上是减函数．
因此，函数y＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即在x＝2时取得最大值，最大值是2，
在x＝6时取得最小值，最小值是.
类型二　求二次函数的最值
例2　(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
解　(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，且f(0)＝f(2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
(2)∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1<，即0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
(3)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.
由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
反思与感悟　(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
(3)求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
解　(1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增．
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(2)∵函数图像的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
(3)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)．
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
综上，g(t)＝
类型三　借助图像求最值
例3　(2017·昌平区检测)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A．2
B．1
C．－1
D．无最大值
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　B
解析　在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图像．
所以当x＝1时，f(x)max＝1.
反思与感悟　借助图像求最值注意两点
(1)作图要准确；
(2)最值的几何意义要理解．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　2
解析　f(x)的图像如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
类型四　函数最值的应用
例4　已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　方法一　令y＝x2－x＋a，
要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝>0，解得a>.
∴实数a的取值范围是.
方法二　x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.
要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
只需a>(－x2＋x)max，
又(－x2＋x)max＝，∴a>.
∴实数a的取值范围是.
引申探究　
把本例中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈”，再求a的取值范围．
解　f(x)＝－x2＋x在上为减函数，
∴f(x)的值域为，
要使a>－x2＋x对任意x∈恒成立，
只需a≥，
∴a的取值范围是.
反思与感悟　恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)跟踪训练4　已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　∵x>0，∴ax2＋x≤1可化为a≤－.
要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，
只需a≤min.
设t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
－＝t2－t＝2－.
当t＝1时，(t2－t)min＝0，即x＝1时，min＝0，
∴a≤0.
∴a的取值范围是(－∞，0].
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是(　　)
A．－
B．－1
C.
D．3
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用一次函数单调性求最值
答案　C
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用分式函数单调性求最值
答案　A
3．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为(　　)
A．4,1
B．4,0
C．1,0
D．以上都不对
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
答案　B
4．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．10,6
B．10,8
C．8,6
D．以上都不对
考点　函数的最值及其几何意义
题点　分段函数的最值
答案　A
5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为(　　)
A．0
B．－2
C．－
D．－
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
答案　D
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
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