2019年数学同步必修一北师大版：第二章 函数疑难规律方法 学案

1　函数解析式求解的常用方法
一、换元法
例1
已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析　采用整体思想，可把f(＋1)中的“＋1”看作一个整体，然后采用另一参数替代．
解　令t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
评注　将接受对象“＋1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．
二、待定系数法
例2
已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．
解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c
＝2x2－4x.
故有
解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
评注　若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．
三、方程消元法
例3
已知：2f(x)＋f＝x2－2，x≠0，求f(x)．
解　2f(x)＋f＝x2－2，①
用去代换①式中的x得2f＋f(x)＝－2.②
由①×2－②得f(x)＝x2－－，x≠0.
评注　方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.
2　解读分段函数
分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考．
一、分段函数解读
在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应关系)不同而已．
二、常见的题型及其求解策略
1．求分段函数的定义域、值域
例1
求函数f(x)＝的值域．
解　当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴y≥－4；
当x＞－2时，y＝，∴y＞＝－1.
∴函数f(x)的值域是{y|y≥－4}．
解题策略　分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
2．求分段函数的函数值
例2
已知f(x)＝求f(5)的值．
解　∵5<10，∴f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11))，
∵11＞10，∴f(f(11))＝f(9)，
又∵9<10，∴f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.
即f(5)＝11.
解题策略　求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．
3．画出分段函数的图像
例3
已知函数f(x)＝作出此函数的图像．
解　由于分段函数有两段，所以这个函数的图像应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图像如图所示．
解题策略　分段函数有几段，其图像就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图像，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图像每段端点的虚实．
4．求解分段函数的解析式
例4
某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图像如图所示．则：
(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；
(2)求y与x之间的函数关系式．
解　(1)由题意可知当0设函数的解析式y＝kx，
又因过点(100,40)，得解析式为y＝x，
当月通话为50分钟时，0<50<100，
所以应交话费y＝×50＝20元．
(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.
则有解得
所以解析式为y＝x＋20，
故所求函数关系式为y＝
解题策略　以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确的理解题目(或图像)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．
3　函数单调性的应用
一、比较大小
例1
若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小．
解　依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，
∴f(－1)＝f(5)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(2)即f(2)评注　(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
二、解不等式
例2
已知y＝f(x)在定义域(－2,2)上是减函数，且f(t)解　依题意可得解得评注　(1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式．
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围．
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．
三、求参数的值或取值范围
例3
已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围．
解　任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则x2－x1>0.
f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a)．
∵1≤x13.
显然不存在常数a，使(x＋x1x2＋x－a)恒为负值．
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数，
即x＋x1x2＋x>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3，
∴a≤3.此时，
∵x2－x1>0，∴f(x2)－f(x1)>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴a的取值范围是(0,3]．
四、利用函数单调性求函数的最值
例4
已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a＝时，求f(x)的最小值；
(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．
解　(1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6.
(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝.
(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，
在[，＋∞)上是增函数．
当>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f(x)min＝f()＝2＋2.
当≤1，即04　函数奇偶性的应用
函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明．
一、求函数的解析式
例1
已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，求f(x)的解析式．
分析　要求f(x)在R上的解析式，条件已给出f(x)在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x≤0时f(x)对应的解析式．
解　因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)，
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－)，x∈(－∞，0)．
在f(－x)＝－f(x)中，令x＝0，得f(0)＝0.
所以f(x)＝
评注　利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式．
二、求参数的值
例2
已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a<0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.
分析　根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x<0的解析式．
解析　令x<0，则－x＞0.
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(x)为奇函数，
所以当x<0时，有f(x)＝x(1－x)．
令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.
解得a＝－1或a＝2(舍去)．
答案　－1
评注　解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键．
三、求参数的范围
例3
定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)解　因为f(x)是偶函数，
所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
又f(1－m)由f(x)在区间[0,2)上是减函数，
得0≤|m|<|1－m|<2.
解得－1故实数m的取值范围是.
评注　本题利用了奇偶性的性质：若函数f(x)是偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)，从而达到简捷求解的目的.
5　函数单调性、奇偶性联袂解题
单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下面的密切联系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题．下面分类举例说明．
一、比较大小
例1
已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0,1]上是减函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)
A．f(－0.5)B．f(－1)C．f(0)D．f(－1)解析　因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
又因为f(x)在区间[0,1]上是减函数，
所以f(－1)答案　B
评注　比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．
二、求函数最值
例2
若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上(　　)
A．最小值是9
B．最小值是－9
C．最大值是－9
D．最大值是9
解析　因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，
所以f(x)在区间[－6，－3]上是减函数．
因此，f(x)在区间[－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9.
答案　D
评注　应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值．
三、解不等式
例3
若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)<0的解集是(　　)
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析　因为函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图像，如图所示．
因为x·f(x)<0，
所以或
结合图像，得到答案为A.
答案　A
评注　本题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性．只要抓住其对称性，分析图像的特点，画出符合条件的图像，就不难使问题得到解决．
四、求参数的取值范围
例4
设定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递增，且有f(1－m)＋f<0，求实数m的取值范围．
解　由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，
则有
解得0又f(1－m)＋f<0，
所以f(1－m)<－f.
而函数f(x)为奇函数，
则有f(1－m)因为函数f(x)是奇函数，且在[0,1)上单调递增，所以函数f(x)在定义域(－1,1)上单调递增，
则有1－m<2m－，
解得m＞，
故实数m的取值范围为.
评注　本题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比较常见的题型之一．
6　函数图像的三种变换
函数的图像变换是高考中的考查热点，常见变换有以下3种：
一、平移变换
例1
设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：
(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图像，并观察三个函数图像的关系；
(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图像，并观察三个函数图像的关系．
解　(1)如图　　　　　　　　　　　(2)如图
　
观察图像得：y＝f(x＋1)的图像可由y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图像可由y＝f(x)的图像向右平移1个单位长度得到；y＝f(x)＋1的图像可由y＝f(x)的图像向上平移1个单位长度得到；y＝f(x)－1的图像可由y＝f(x)的图像向下平移1个单位长度得到．
二、对称变换
例2
设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图像，并观察两个函数图像的关系．
解　画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图像如图所示．
由图像可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图像关于y轴对称．
评注　函数y＝f(x)的图像与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；函数y＝f(x)的图像与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；函数y＝f(x)的图像与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
三、翻折变换
例3
设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图像，并观察两个函数图像的关系．
解　y＝f(x)的图像如图1所示，y＝|f(x)|的图像如图2所示．
通过观察两个函数图像可知：要得到y＝|f(x)|的图像，把y＝f(x)的图像中x轴下方图像翻折到x轴上方，其余部分不变．
例4
设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图像，并观察两个函数图像的关系．
解　如下图所示．
通过观察两个函数图像可知：要得到y＝f(|x|)的图像，先把y＝f(x)图像在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图像补到左方即可.
7　三种数学思想在幂函数中的应用
1．分类讨论的思想
例1
若(a＋1)<(3－2a)，试求a的取值范围．
分析　利用函数y＝x的图像及单调性解题，注意根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．
解　分类讨论
或或
解得a<－1或评注　考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．
2．数形结合的思想
例2
已知x2>x，求x的取值范围．
解　x2与x有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα，所以同一坐标系内作出它们的图像比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<0或x>1.
评注　数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．
3．转化的数学思想
例3
指出函数f(x)＝的单调区间，并比较f(－π)与f的大小．
解　因为f(x)＝
＝1＋＝1＋(x＋2)－2，
所以其图像可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．
所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图像关于直线x＝－2对称．
又因为－2－(－π)＝π－2，－－(－2)＝2－，
所以π－2<2－，
故－π距离对称轴更近，
所以f(－π)>f.
评注　通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题．
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