2019年数学同步必修一北师大版：第二章 简单的幂函数（二） 学案

§5　简单的幂函数(二)
学习目标　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．
知识点一　函数奇偶性的几何特征
思考　下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
梳理　一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．
知识点二　函数奇偶性的定义
思考1　为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？
答案　因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．
思考2　利用点对称来刻画图像对称有什么好处？
答案　好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然．
(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作．
梳理　函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图像上．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图像上．
(3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
知识点三　奇偶性与单调性
思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？
答案　偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．
梳理　(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量．
1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图像．(　×　)
2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(　√　)
3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(　√　)
4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(　√　)
类型一　判断函数的奇偶性
例1　判断并证明下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(x＋1)(x－1)；
(3)f(x)＝＋.
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断简单函数的奇偶性
证明　(1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝既非奇函数又非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)函数的定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝＋为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．
跟踪训练1　判断并证明下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x－2)；
(2)f(x)＝x|x|；
(3)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断函数的奇偶性
解　(1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．
(3)∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数．
类型二　奇偶性的应用
命题角度1　奇偶函数图像的对称性的应用
例2　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．
(1)画出f(x)的图像；
(2)解不等式xf(x)>0.
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
解　(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像如图．
(2)xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号．结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
引申探究　
把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解　(1)f(x)的图像如图所示：
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思与感悟　鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图像；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
解　(1)如图，在[0,5]上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
命题角度2　应用函数奇偶性求解析式
例3　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
解　设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
反思与感悟　利用函数的奇偶性求函数解析式
已知函数f(x)在区间[a，b]上的解析式，求函数f(x)在区间[－b，－a]上的解析式的一般方法：
(1)设：设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b.
(2)求f(－x)：根据已知条件f(x)在区间[a，b]上的解析式可求得f(－x)的解析式．
(3)求f(x)：根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(－x)之间的相互转化．
跟踪训练3　已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
解　设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
所以f(x)＝
命题角度3　奇偶性对单调性的影响
例4　设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
证明　设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，
且有x1∵－b≤x1∴a≤－x2<－x1≤b.
∵f(x)在[a，b]上是减函数，
∴f(－x2)＞f(－x1)．
∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
反思与感悟　与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间．同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间．
跟踪训练4　已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　(－1,3)
解析　∵f(x)为偶函数，
∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，即f(|x－1|)>f(2)，
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，
且f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1,3).
1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
考点　函数的奇偶性概念
题点　判断函数的奇偶性
答案　D
解析　D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
2．函数f(x)＝x(－1A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断函数的奇偶性
答案　C
3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于(　　)
A．－1
B．1
C．－5
D．5
考点　函数图像的对称性
题点　轴对称问题
答案　D
解析　函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等．
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5，故选D.
4．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时f(x)等于(　　)
A．x＋1
B．x－1
C．－x－1
D．－x＋1
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　A
5．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．aB．a>b
C．|a|<|b|
D．0≤ab≥0
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　C
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数 它的图像关于原点对称；函数为偶函数 它的图像关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．
4．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
5．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.
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