2019年数学同步必修一北师大版：第二章 简单的幂函数（一） 学案

§5　简单的幂函数(一)
学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．
知识点一　幂函数的概念
思考　y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？
答案　底数为x，指数为常数．
梳理　如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
知识点二　幂函数的图像与性质
思考　如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图像．
填写下表：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
单调性
增
在[0，＋∞)
上增加，在(－∞，0]
上减少
增
增
在(0，＋∞)
上减少，在(－∞，0)
上减少
梳理　根据上表，可以归纳一般幂函数特征：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点(1,1)；
(2)α>0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸；
(3)α<0时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
1．y＝－是幂函数．(　×　)
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.(　√　)
3．与定义域相同．(　×　)
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)
类型一　幂函数的概念
例1　已知是幂函数，求m，n的值．
考点　
题点　
解　由题意得解得
所以m＝－3或1，n＝.
反思与感悟　只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．
跟踪训练1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
考点　
题点　
答案　B
解析　因为y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1),
所以常函数y＝1不是幂函数．
类型二　幂函数的图像及应用
例2　若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)考点　
题点　
解　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.
同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系内作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像(如图所示)，观察图像可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1反思与感悟　幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．
跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．无法确定
考点　
题点　
答案　A
解析　由条件知，M，N，
∴＝α，＝β，
∴αβ＝α＝α＝，∴αβ＝1.故选A.
类型三　幂函数性质的应用
命题角度1　比较大小
例3　设则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>b>a
考点　比较幂值的大小
题点　利用单调性比较大小
答案　B
解析　∵y＝x在R上为减函数，∴即a∴即a>c.∴b>a>c.故选B.
反思与感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.3与0.3；
(2)－1与－1；
(3)0.3与
考点　比较幂值的大小
题点　利用中间值比较大小
解　(1)∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．
又>，∴0.3>0.3.
(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，
∴由>0.3，可得0.3>0.30.3.①
又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴0.30.3>②
由①②知0.3>
命题角度2　幂函数性质的综合应用
例4　已知幂函数y＝x3m－9
(m∈N＋)的图像关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N＋，所以m＝1,2.
因为函数的图像关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范围是.
反思与感悟　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．
跟踪训练4　已知幂函数
(m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　(1)∵m∈N＋，
∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
(2)∵∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<.
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于(　　)
A.
B．1
C.
D．2
考点　幂函数概念
题点　求幂函数解析式
答案　C
解析　由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
2．已知幂函数f(x)的图像经过点，则f(4)的值等于(　　)
A．16
B.
C．2
D.
考点　幂函数概念
题点　求幂函数解析式
答案　D
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
考点　幂函数性质
题点　幂函数定义域
答案　A
4．下列是的图像的是(　　)
考点　幂函数图像
题点　根据解析式选函数图像
答案　B
5．以下结论正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质
答案　D
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.
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