2019年数学同步必修一北师大版：第二章 生活中的变量关系 学案

§1　生活中的变量关系
学习目标　1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象.3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．
知识点一　依赖关系
思考　某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
答案　该人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．
梳理　在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．
知识点二　函数关系
思考　某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
答案　每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
梳理　当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数．
知识点三　依赖关系与函数关系
思考　在知识点二的思考中，h是t的函数吗？t是h的函数吗？h，t有依赖关系吗？
答案　h是t的函数；t不是h的函数；h，t有依赖关系．
梳理　函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量.
类型一　依赖关系与函数关系的辨析
例1　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①圆的面积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
考点　
题点　
解　①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；
②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；
④中，正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系．
综上，①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．
反思与感悟　判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
跟踪训练1　下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
考点　
题点　
解　(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．
综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
类型二　变量关系的表示
例2　声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y(米/秒)
331
334
337
340
343
(1)根据表内数据作图，由图可看出变量__________随________的变化．
(2)用x表示y的关系式为________．
(3)气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米．
考点　
题点　
答案　(1)音速　气温　(2)y＝x＋331　(3)1
721
解析　(1)
此图反映的是变量音速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)，
故所求函数关系式为y＝x＋331.
(3)由(2)可知气温为22℃时音速y＝×22＋331，
故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×＝66＋1
655＝1
721(米)．
反思与感悟　借助图表可以直观地显现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律．
跟踪训练2　心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
提出概念所用时间(x)
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力(y)
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
考点　
题点　
解　(1)画出图如下：
反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低.
1．下列说法不正确的是(　　)
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
考点　
题点　
答案　D
解析　A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．
2．下列各变量间不存在依赖关系的是(　　)
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
考点　
题点　
答案　D
3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)(　　)
考点　
题点　
答案　A
解析　开始一段时间路程逐渐增大，速度相同，图像是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图像与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图像知选A.
4．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________．(填序号)
考点　
题点　
答案　①③④
解析　由已知关系判断得，①③④中关系不确定故不是函数关系，只有②是函数关系．
5．自变量x与因变量y之间的关系如下表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
4
6
8
…
(1)写出x与y的关系式：________.
(2)当x＝2.5时，y＝________.
考点　
题点　
答案　(1)y＝2x　(2)5
1．依赖关系和非依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
2．函数关系
如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．
3．借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
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