2019年数学同步必修一北师大版：第二章 映射 学案

2．2　函数的表示法(二)
2．3　映　射
学习目标　1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念．
知识点一　分段函数
思考　设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x<0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对是不是函数？
答案　是函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应．
梳理　(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像．
知识点二　映射
思考　设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？
答案　因为A不是非空数集，故该对应不是函数．但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”．
梳理　映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
函数一定是映射，映射不一定是函数．
1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(　×　)
2．分段函数各段上的函数值集合的交集为 .(　×　)
3．分段函数的图像一定是不连续的．(　×　)
4．如果把“函数”和“映射”当成两个集合A，B，则AB.(　√　)
类型一　建立分段函数模型
例1　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2
cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
解　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2
cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm，
又BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2×2＋2(x－2)＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图像如图所示：
反思与感悟　当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画．
跟踪训练1　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
解　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝
函数图像如图所示：
类型二　研究分段函数的性质
命题角度1　给x求y
例2　已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f的值．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－∈(－2,2)，
∴f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2，
∵－∈(－∞，－2]，
∴f＝－＋1＝－∈(－2,2)，
∴f＝f＝2＋2＝－.
引申探究　
本例中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．
解　当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；
当－2当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
反思与感悟　分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图像．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图像如下：
命题角度2　给y求x
例3　已知函数f(x)＝
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝.
(2)f(x)>8等价于①
或②
解①，x∈ ，解②得x>.
综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>}．
反思与感悟　已知函数值求x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出x的解．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练3　已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图像；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
解　(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．
(2)由于f＝，结合此函数图像可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1]．
类型三　映射的概念
例4　以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
考点　映射的概念
题点　判断对应是否为映射
解　(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．
反思与感悟　映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
跟踪训练4　设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是(　　)
A．f：x→y＝x2
B．f：x→y＝3x－2
C．f：x→y＝－x＋4
D．f：x→y＝4－x2
考点　映射的概念
题点　判断对应是否为映射
答案　D
解析　对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.
1．如图中所示的对应：
其中构成映射的个数为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
考点　映射的概念
题点　判断对应是否为映射
答案　A
2．f(x)的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
答案　D
3．设f(x)＝则f(f(0))等于(　　)
A．1
B．0
C．2
D．－1
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
4．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是(　　)
A．－2或2
B．2或－
C．－2
D．2或－2或－
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
5．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　)
A．1
B．0
C．－1
D．π
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
1．对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
2．函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A，B是两个非空的集合；而函数y＝f(x)，x∈A，A为非空的数集，其值域也是数集．于是，函数是数集到数集的映射．
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.
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