2019年数学同步必修一北师大版：第二章 简单的幂函数（二） 课时对点练（解析版）

§5　简单的幂函数(二)
一、选择题
1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于(　　)
A．－1
B．1
C．0
D．2
2．(2017·葫芦岛检测)下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图像是(　　)
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　　)
A．－3
B．－1
C．1
D．3
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－
B.
C.
D．－
6．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
7．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式>0的解集为(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
二、填空题
8．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
9．函数f(x)＝为________．(填“奇函数”或“偶函数”)
10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上递增，则满足f(2x－1)11．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.
三、解答题
12．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝.
13．已知函数y＝f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图像，根据图像写出它的单调区间．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．
答案
1．
考点　函数的奇偶性概念
题点　函数奇偶性概念的理解
答案　A
解析　因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，
所以a与b有一个等于1，一个等于－2，
所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，
故选A.
2．
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
答案　B
解析　D不是函数；A，C不关于原点对称．
3．
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
答案　A
解析　∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
4．
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断抽象函数的奇偶性
答案　A
解析　由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
5．
考点　函数图像的对称性
题点　对称问题综合
答案　B
解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝，则a＋b＝.
6．
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断函数的奇偶性
答案　A
解析　f(x)的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，
∴f(x)不是偶函数．
7．
考点　函数图像的对称性
题点　对称问题综合
答案　A
解析　∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，
∴f(－3)＝0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数，
∴＝f(x)>0，
①当x>0时，则f(x)>f(3)＝0，∴x>3；
②当x<0时，则f(x)>f(－3)＝0，∴－3综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．
8．
考点　函数图像的对称性
题点　轴对称问题
答案　0
解析　由于偶函数的图像关于y轴对称，所以偶函数的图像与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
9．考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断分段函数的奇偶性
答案　奇函数
解析　定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
10．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　
解析　由于f(x)是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，
∴f(|2x－1|)11．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　－15
解析　当x<0时，－x＞0，又f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
所以f(x)＝－x2＋2x.
即g(x)＝－x2＋2x，
因此，f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.
12．
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断函数的奇偶性
解　(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
13．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
解　(1)因为函数f(x)的图像关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图像，再根据对称性画出y轴左侧的图像，如图．
由图像可知函数f(x)的单调区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，[－1,0)，(0,1]，其中f(x)在前两个区间上是增加的，在后两个区间上是减少的．
14．
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
答案　
解析　根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
15．
考点　函数图像的对称性
题点　对称问题综合
解　(1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，解得m＝2.
经检验m＝2时函数f(x)是奇函数．所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上是增加的，
结合f(x)的图像(图略)知
所以12