2019年数学同步必修一北师大版：第二章 映射 课时对点练（解析版）

2．2　函数的表示法(二)
2．3　映　射
一、选择题
1．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于(　　)
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
2．已知函数f(n)＝则f(5)的值是(　　)
A．4
B．48
C．240
D．1
440
3．已知f(x)＝则f(f(f(－2)))等于(　　)
A．π
B．0
C．2
D．π＋1
4．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是(　　)
A．
B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．{2}∪[－1,1]
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)
A．13立方米
B．14立方米
C．18立方米
D．26立方米
6．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0
B．1
C.
D.
7．若集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为(　　)
A．5
B．6
C．8
D．9
二、填空题
8．函数f(x)＝的定义域是________．
9．函数f(x)的图像如图，则函数f(x)的解析式为__________________．
10．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
11．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
三、解答题
12．设函数f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x的解．
13．已知函数f(x)＝
(1)求f，f，f(4.5)，f；
(2)若f(a)＝6，求a的值．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{1,2,3，a}，B＝{4,7，b4，b2＋3b}，其中a∈N＋，b∈N＋.若x∈A，y∈B，映射f：A→B使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，则a和b的值分别为________．
15．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图像无交点，求实数a的取值范围．
答案
1．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
解析　当α≤0时，由f(α)＝－α＝4，得α＝－4；
当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.
2．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　因为f(n)＝
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.
3．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　D
解析　f(－2)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1
4．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　D
解析　若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符合题意；若x>1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x<－1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，此时没有x符合题意．
5．
考点　分段函数
题点　分段函数应用问题
答案　A
解析　该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．
6．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
解析　∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))＝1.
7．
答案　C
解析　用树状图写出所有的映射为：
a→d　a→e共8个．
8．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
答案　[0，＋∞)
解析　定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
9．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
答案　f(x)＝
解析　当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，代入(1,2)，得k＝2，
∴f(x)＝2x.
当1当x≥2时，f(x)＝3，
∴f(x)＝
10．
考点　分段函数
题点　分段函数与不等式结合
答案　{x|x≤1}
解析　当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.综上可知x≤1.
11．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
答案　(－∞，1]
解析　由题意知f(x)＝
画出图像为
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
12．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　∵当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，
∴f(－2)＝(－2)2－2b＋c，
f(0)＝c，
f(－1)＝(－1)2－b＋c.
∵f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
∴
解得
则f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，
得x＝－2或x＝1.
由于x＝1>0，故舍去．
当x>0时，由f(x)＝x得x＝2，
∴方程f(x)＝x的解为－2,2.
13．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)∵－∈(－∞，－1)，
∴f＝－2×＝3.
∵∈[－1,1]，∴f＝2.
又2∈(1，＋∞)，∴f＝f(2)＝2×2＝4.
∵4.5∈(1，＋∞)，∴f(4.5)＝2×4.5＝9.
(2)经观察可知a [－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
∴a的值为－3或3.
14．
考点　映射的概念
题点　映射中的参数问题
答案　5,2
解析　∵A中元素x对应B中元素y＝3x＋1，∴A中元素1的像是4,2的像是7,3的像是10，∴b4＝10或b2＋3b＝10.又b∈N＋，∴b2＋3b＝10，解得b＝2.∵a的像b4＝16，∴3a＋1＝16，解得a＝5.
15．
考点　分段函数
题点　分段函数的综合应用
解　若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)当－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
(2)f(x)>0，即①
或②
或③
解①得x≤－1，解②得－1∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪ ＝(－∞，1)．
(3)f(x)的图像如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图像无交点．
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