2019年数学同步必修一北师大版：第二章 函数复习 课时对点练（解析版）

章末复习
一、选择题
1．已知f(2x＋1)＝x2－2x－5，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝4x2－6
B．f(x)＝x2－x－
C．f(x)＝x2＋x－
D．f(x)＝x2－2x－5
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－∞，4]
B．(－∞，3)∪(3,4]
C．[－2,2]
D．(－1,2]
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A．1
B．2
C.
D．－
4．若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．0B．0≤a≤
C．0D．a＞
5．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于(　　)
A．－7
B．－2
C．7
D．27
6．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是(　　)
7．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　　)
A．x2
B．2x2
C．2x2＋2
D．x2＋1
二、填空题
8．已知幂函数y＝(a2－2a－2)xa在实数集R上单调，那么实数a＝________.
9．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
10．已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－m2)>f(2m)，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
11．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
12．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4
200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
四、探究与拓展
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________.
15．若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
答案
1．
考点　求解析式
题点　换元法求函数解析式
答案　B
解析　设t＝2x＋1，则x＝，
∴f(t)＝2－2·－5＝t2－t－，
∴f(x)＝x2－x－.
2．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　B
解析　f(x)中的x需满足
解得x≤4且x≠3，
故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3,4]．
3．
考点　函数奇偶性的应用
题点　已知函数奇偶性求参数值
答案　A
解析　由题意得f(－x)＝－f(x)，
则＝
＝－，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以2－2a＝－(2－2a)，
所以a＝1.
4．
考点　函数单调性的应用
题点　已知二次函数单调性求参数范围
答案　B
解析　当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图像开口朝上，a＞0且－≥4，得0当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
综上知，0≤a≤.
5．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，
f(3)＝32＋1＝10，
故f(1)－f(3)＝17－10＝7.
6．
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
答案　A
解析　函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.
7．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　D
解析　∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①
∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②
由①②联立，得f(x)＝x2＋1.
8．
考点　幂函数
题点　幂函数性质应用
答案　3
解析　由题意，a2－2a－2＝1，∴a＝－1或3，
又当a＝－1时，y＝x－1定义域不是R，舍去，
当a＝3时，y＝x3在R上是增函数，符合题意．
9．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　2x＋3
解析　设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.
∵g(x)为奇函数，
∴f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.
10．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　(－3,1)
解析　因为函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数．要使f(3－m2)>f(2m)，只需3－m2>2m，
解得－311．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　f(x)＝42－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0f(x)min＝f＝－2a＋2.
由－2a＋2＝3，得a＝－ (0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
12．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用对勾函数性质求最值
解　(1)设AM＝y，AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4
200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38
000＋4
000x2＋(0(2)令t＝x2，则Q＝38
000＋4
000，且0∵函数u＝t＋在(0,10]上递减，在[10,200)上递增，
∴当t＝10时，umin＝20.
故当x＝时，Qmin＝118
000(元)．
答　当x＝米时，可使总造价最少，最小值为118
000元．
13．
考点　
题点　
解　(1)∵方程f(x)＝2x有两相等实根，
即ax2＋(b－2)x＝0有两相等实根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
∴x＝1是函数图像的对称轴，
而此函数图像的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵函数f(x)＝－x2＋2x的图像的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当0∴f(x)max＝f(t)＝－t2＋2t.
当t>1时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝1.
综上，f(x)max＝
14．
答案　x2－2　x
解析　∵f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，
由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
得f(x)－g(x)＝x2－x－2.
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，
两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性的综合
解　(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3即不等式的解集为(－3,9)．
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