2019年数学同步必修一北师大版：第二章 对函数的进一步认识 课时对点练（解析版）

§2　对函数的进一步认识
一、选择题
1．下列各式中是函数的个数为(　　)
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4
B．3
C．2
D．1
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．[1，＋∞)
4．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是(　　)
A．π2
B．π
C.
D．不确定
5．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图像的只可能是(　　)
6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　)
A．75,25
B．75,16
C．60,25
D．60,16
7．下列函数中，值域为[1，＋∞)的是(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
二、填空题
8．函数y＝＋的定义域为________．
9．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为__________________．
10．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
11．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
13．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．
四、探究与拓展
14．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于(　　)
A．p＋q
B．3p＋2q
C．2p＋3q
D．p3＋q2
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…
＋f(2
017)＋f＋f(2
018)＋f的值．
答案
1．
考点　函数的概念
题点　判断代数式或对应关系是否为函数
答案　B
解析　根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则∴∴x无解，∴④不是函数．
2．
考点　相等函数
题点　判断函数是否为相等函数
答案　D
解析　A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
3．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　B
解析　要使函数有意义，需
解得x≤1且x≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
4．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　B
解析　由函数解析式可知该函数为常函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
5．
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　D
解析　A，B中值域为[0,2]，不合题意；C不是函数．
6．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　D
解析　组装第A件产品用时15分钟，即f(A)＝15.
∵A≥A，∴f(A)＝＝15，①
∴必有4联立①②解得c＝60，A＝16.
7．
考点　函数的值域
题点　求函数的值域方法综合
答案　C
解析　对于A，当x＝1时，y＝0 [1，＋∞)，A不对；
对于B，当x＝0时，y＝－1 [1，＋∞)，B不对；
对于D，当x＝5时，y＝＝ [1，＋∞)，D不对，故选C.
8．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　[2，＋∞)
解析　要使函数式有意义，需所以x≥2.
9．
考点　函数的值域
题点　求函数的值域
答案　{－1,1,3,5,7}
解析　定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．
10．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　1
解析　f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．
11．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　3
解析　f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
12．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
解　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
13．
解　∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]，
即f(x)的定义域为[－1,4]，
要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤.
故函数f(2x2－2)的定义域为.
14．
答案　B
解析　f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
15．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　中心对称函数倒序相加法求函数值的和
(1)解　因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1.
(2)证明　f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1，是定值．
(3)解　由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…，
f(2
018)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
017)＋f＋f(2
018)＋f＝2
018.
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