2019年数学同步必修一北师大版：第二章 二次函数性质的再研究 课时对点练（解析版）

§4　二次函数性质的再研究
一、选择题
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则(　　)
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
2．二次函数y＝－x2＋4x＋t的顶点在x轴上，则t的值是(　　)
A．－4
B．4
C．－2
D．2
3．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为(　　)
A．y＝－x2＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝－x2－1
D．y＝x2－1
4．若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是(　　)
5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)(　　)
A．在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的
B．在(－∞，3)上是增加的
C．在[1,3]上是增加的
D．单调性不能确定
考点　二次函数性质
6．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0,1]
B．[0,2]
C．[－2,0]
D．[－1,0]
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则(　　)
A．a＝1，b＝－4，c＝－11
B．a＝3，b＝12，c＝11
C．a＝3，b＝－6，c＝－11
D．a＝3，b＝－12，c＝11
二、填空题
8．函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是________________．
9．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减少的，那么实数a的取值范围是________．
10．设f(x)＝x2＋4x＋3，不等式f(x)≥a对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
11．已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝1，且f(1)＝4，f(4)＝－5.
(1)求函数f(x)的解析式，并画出f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间，并指明在该区间上的单调性；
(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．
12．二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同．已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式．
(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；
(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．
13．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知：这种服装每天的销售量t(t>0，t∈N)(件)与每件的销售价x(x>42，x∈N)(元)之间可看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.
(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差)；
(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？
四、探究与拓展
14.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．a>0
B．当x>1时，y随x的增大而增大
C．c<0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
答案
1．
考点　二次函数解析式求法
题点　一般式求法
答案　A
解析　二次函数f(x)＝x2＋mx＋1图像的对称轴为x＝－，于是－＝1，解得m＝－2.
2．
考点　二次函数解析式求法
题点　一般式求法
答案　A
解析二次函数的图像开口向下，顶点在x轴上，所以对应一元二次方程的Δ＝42－4×(－1)t＝0，解得t＝－4.
3．
考点　二次函数解析式求法
题点　两根式求法
答案　A
解析　设f(x)＝a(x－1)(x＋1)，
代入(0,1)，f(0)＝a(0－1)(0＋1)＝－a＝1，
∴a＝－1，∴f(x)＝1－x2.
4．
考点　二次函数图像
题点　图像与a，b，c的关系
答案　C
解析　因为一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴x＝－<0，只有选项C满足．
5．
考点　二次函数性质
题点　二次函数单调性
答案　A
解析　由已知可得函数f(x)图像的对称轴为x＝2，又二次项系数1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．
6．
考点　二次函数性质
题点　二次函数在闭区间上的最值
答案　D
解析　y＝－(x＋a)2＋a2，要使ymax＝a2，需满足0≤－a≤1，解得－1≤a≤0.
7．
考点　二次函数解析式求法
题点　一般式求法
答案　D
解析　由二次函数的图像与y轴交点坐标为(0,11)，知c＝11，又因为函数y＝ax2＋bx＋c的图像顶点为(2，－1)，所以－＝2，＝－1，解得a＝3，b＝－12.
8．
考点　二次函数图像
题点　二次函数图像变换
答案　y＝3x2＋5x＋2
解析　函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度，得函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2的图像，再向下平移2个单位长度，得函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2－2的图像，即所得图像对应的函数解析式是y＝3x2＋5x＋2.
9．
考点　二次函数性质
题点　二次函数单调性
答案　(－∞，－3]
解析　二次函数f(x)的图像开口向上，且对称轴方程为x＝1－a，
所以f(x)的递减区间为(－∞，1－a]，
故(－∞，4] (－∞，1－a]，因此1－a≥4，解得a≤－3.
10．
考点　二次函数性质
题点　二次函数最值
答案　(－∞，－1]
解析　f(x)≥a对x∈R恒成立 f(x)min≥a，
f(x)＝(x＋2)2－1，∴f(x)min＝f(－2)＝－1，
∴a≤－1.
11．
考点　二次函数图像与性质
题点　图像性质综合应用
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
解得
所以函数f(x)＝－x2＋2x＋3，f(x)的图像如图所示．
(2)由图像可得函数f(x)的单调区间是(－∞，1]和[1，＋∞)，其中函数f(x)在区间(－∞，1]上是增加的，在区间[1，＋∞)上是减少的．
(3)由(2)知函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数，那么(－∞，m] (－∞，1]，则有m≤1.
12．
考点　二次函数解析式求法
题点　顶点式求法
解　(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，
f(x)图像的顶点是(4，－7)，
所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.
(2)由题意知，f(x)的二次项系数为－2，
又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，
所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.
13．
考点　二次函数性质
题点　二次函数最值
解　(1)由题意得，每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y＝(x－42)(－3x＋204)＝－3x2＋330x－8
568(42(2)由(1)得y＝－3(x－55)2＋507(42即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．
14.
考点　二次函数图像
题点　二次函数图像与性质关系
答案　D
解析　从二次函数的图像可知，图像开口向下，a<0；当x>1时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y＝c>0；二次函数图像的对称轴为直线x＝1，函数图像与x轴的一个交点的横坐标为－1，则根据对称性，函数图像与x轴的另一个交点的横坐标为3.故选D.
15．
考点　二次函数性质
题点　二次函数性质综合
解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
由于x∈[－4,6]，∴f(x)在区间[－4,2]上是减少的，在区间[2,6]上是增加的，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，
∴f(x)的最大值是35.
(2)∵函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，
∴要使f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的递增区间是(0,6]，递减区间是[－6,0]．
2