2019年数学同步必修一北师大版：第二章 函数的单调性（二） 课时对点练（解析版）

§3　函数的单调性(二)
一、选择题
1．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．R
B．[－1,1]
C．{－1,1}
D．{－1,0,1}
2．函数g(x)＝x2－4x＋3在区间(1,4]上的值域是(　　)
A．[－1，＋∞)
B．[0,3]
C．(－1,3]
D．[－1,3]
3．下列说法正确的是(　　)
A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b
B．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]
C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图像有交点
D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图像有且仅有一个交点
4．函数y＝x＋(　　)
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(　　)
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
二、填空题
8．若函数y＝ax＋1(a＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
9．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
10．若x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围是________．
11．下列函数：
①y＝x＋|x|；②y＝x－|x|；③y＝x|x|；④y＝.其中有最小值的函数有________个．
三、解答题
12．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？
13．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－1,2]
B．[－1,0]
C．[1,2]
D．[0,2]
15．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设F(x)＝m＋f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．
答案
1．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　分段函数的最值
答案　D
解析　该函数的函数值只有三个．
2．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
答案　D
解析　g(x)＝(x－2)2－1，当x＝2时，g(x)min＝－1；
当x＝4时，g(x)max＝3，
∴g(x)在(1,4]上的值域为[－1,3]．
3．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　A
解析　函数的值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对；f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错；若f(x)min＝a，由定义一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错．
4．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含根式函数的最值
答案　A
解析　∵y＝x＋在定义域上是增函数，∴y≥f＝，即函数最小值为，无最大值，故选A.
5．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
答案　C
解析　因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
6．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　C
解析　由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图像的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.
7．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数最值
答案　A
解析　对任意x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，
只需即
解得a≤－1.
∴a的最大值为－1.
8．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
答案　1
解析　∵a＞0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，∵ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
9．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　(1,3]
解析　f(x)的对称轴为x＝3，
当且仅当110．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
答案　(－∞，－1)
解析　由题意得x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
11．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　分段函数的最值
答案　2
解析　y＝x＋|x|＝ymin＝0.
y＝x－|x|＝无最小值．
y＝x|x|＝无最小值．
y＝＝ymin＝－1.
12．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
解　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知
∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－＝9.5时y值最大，
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
13．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1(4)当a＞2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
14．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　D
解析　当x≤0时，f(x)＝(x－m)2，f(x)min＝f(0)＝m2，
所以对称轴x＝m≥0.
当x>0时，f(x)＝x＋＋m≥2＋m＝2＋m，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
所以当x>0时，f(x)min＝2＋m.
因为f(x)的最小值为m2，
所以m2≤2＋m，所以0≤m≤2.
15．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
解　(1)要使函数f(x)有意义，
需满足得－1≤x≤1.
故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．
∵[f(x)]2＝2＋2，且0≤≤1，
∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，
∴≤f(x)≤2，
即函数f(x)的值域为[，2]．
(2)令f(x)＝t，则t2＝2＋2，则＝t2－1，
故F(x)＝m＋t
＝mt2＋t－m，t∈[，2]，
令h(t)＝mt2＋t－m，
则函数h(t)的图像的对称轴方程为t＝－.
①当m>0时，－<0，函数y＝h(t)在区间[，2]上是增加的，∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
②当m＝0时，h(t)＝t，g(m)＝2；
③当m<0时，－>0，若0<－≤，
即m≤－时，函数y＝h(t)在区间[，2]上是减少的，
∴g(m)＝h()＝，
若<－≤2，即－g(m)＝h＝－m－；
若－>2，即－函数y＝h(t)在区间[，2]上是增加的，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
综上，g(m)＝
2