2019年数学同步必修二北师大版：第一章 直观图 学案

§2　直观图
学习目标　1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．
知识点　斜二测画法
思考1　边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？
答案　A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，
A′D′＝AD.
思考2　正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？
答案　 没有都画成正方形．
梳理　(1)水平放置的平面图形直观图的画法
斜二测画法规则：
①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
(2)立体图形直观图的画法
1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　×　)
2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(　×　)
3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(　×　)
类型一　水平放置的平面图形的直观图
例1　画出如图水平放置的直角梯形的直观图．
考点　平面图形的直观图
题点　平面图形的直观图
解　画法：
(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示；
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)；
(3)去掉辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．
　　
引申探究
若得本例中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图．
解　画法：
(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的x′轴和y′轴，
使∠x′O′y′＝45°；
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD；
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
反思与感悟　在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
跟踪训练1　已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．
考点　平面图形的直观图
题点　平面图形的直观图
解　画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．
类型二　直观图的还原与计算
例2　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．
考点　平面图形的直观图
题点　由直观图还原平面图形
解　如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，
所以面积为S＝×2＝5.
反思与感悟　(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
(2)若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
跟踪训练2　(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(　　)
A. B. C. D．2
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　C
解析　直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为∶4，所以原图形的面积为，故选C.
(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．(填四边形的形状)
考点　平面图形的直观图
题点　由直观图还原平面图形
答案　菱形
解析　如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6(cm)，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC，
故四边形OABC是菱形．
类型三　简单几何体的直观图
例3　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
考点　简单几何体的直观图
题点　简单几何体的直观图
解　画法：
(1)画轴．画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面，以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.
反思与感悟　简单几何体直观图的画法
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．
(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
(4)连线成图．
跟踪训练3　用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
考点　简单几何体的直观图
题点　简单几何体的直观图
解　画法：
(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②)．
1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是(　　)
考点　平面图形的直观图
题点　平面图形的直观图
答案　C
解析　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
2．下列关于直观图的说法不正确的是(　　)
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同
考点　平面图形的直观图
题点　平面图形的直观图
答案　A
解析　平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故选A.
3．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　5
解析　该矩形直观图的面积为×5×4＝5(cm2)．
4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　10
解析　在原图中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10.
5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)
考点　简单几何体的直观图
题点　柱、锥、台的直观图
解　画法：
(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.
(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在Oz轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．
2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.