2019年数学同步必修二北师大版：第一章 空间图形基本关系的认识 课时对点练（解析版）

§4　空间图形的基本关系与公理
4．1　空间图形基本关系的认识
4．2　空间图形的公理(一)
一、选择题
1．下列有关平面的说法正确的是(　　)
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
2.如图所示，用符号语言可表示为(　　)
A．α∩β＝m，n(α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n(α，A(m，A(n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　)
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
4．空间中四点可确定的平面有(　　)
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
5．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
6．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A．必有三点共线 B．可能有三点共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
7．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则(　　)
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上，也不在AC上
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是(　　)
A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面
二、填空题
9．已知点A，直线a，平面α.
①A∈a，a∈α?A∈α；②A?a，a(α?A?α；③A∈a，a(α?A(α.
其中说法正确的个数是________．
10．若直线l上有两个点在平面α内，则下列说法中正确的序号为________．
①直线l上至少有一个点在平面α外；
②直线l上有无穷多个点在平面α外；
③直线l上所有点都在平面α内；
④直线l上至多有两个点在平面α内
11．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．
12．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
三、解答题
13．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面．
四、探究与拓展
14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
15．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线．
答案
1．
考点　平面的概念、画法及表示
题点　平面概念的应用
答案　D
解析　我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确．
2.
考点　平面的概念、画法及表示
题点　自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案　A
解析　α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选A.
3．
考点　平面的基本性质
题点　点共线、线共点、点在线上问题
答案　B
解析　两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．
4．
考点　平面的基本性质
题点　确定平面问题
答案　D
解析　当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任意三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．
5．
考点　平面的基本性质
题点　点共线、线共点、点在线上问题
答案　D
解析　当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．
6．
考点　平面的基本性质
题点　点共线、线共点、点在线上问题
答案　B
解析　如图(1)(2)所示，A，C，D均不正确，只有B正确．
7．
考点　平面的基本性质
题点　点共线、线共点、点在线上问题
答案　B
解析　由题意知GH(平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．
8．
考点　平面的基本性质
题点　点共线、线共点、点在线上问题
答案　D
解析　如图所示，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴选项A，B，C均正确，D不正确．
9．
考点　平面的概念、画法及表示
题点　自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案　0
解析　①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可在α外，故不正确；③中“A(α”符号错．
10．
考点　平面的基本性质
题点　线共面问题
答案　③
11．
考点　平面的基本性质
题点　确定平面问题
答案　1或3
解析　若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可以确定3个平面或1个平面．
12．
考点　平面的基本性质
题点　点共线、线共点、点在线上问题
答案　三点共线
解析　∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，
记作平面β，则α∩β＝CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α，
又∵O∈AB，AB(β，
∴O∈β，∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
13．
考点　平面的基本性质
题点　线共面问题
证明　(1)无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，
∵a∩d＝M，∴a，d可以确定一个平面α，
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，
∴NQ(α，即b(α，同理c(α，∴a，b，c，d共面．
(2)有三线共点的情况，如图所示，
设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N，P，M且K?a，
∵K?a，∴K和a确定一个平面，
设为β.
∵N∈a，a(β，∴N∈β，∴NK(β，
即b(β，同理c(β，d(β，∴a，b，c，d共面，
由(1)(2)可知a，b，c，d共面．
14．
考点　平面的基本性质
题点　平面基本性质的其他简单应用
答案　36
解析　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．
15．
考点　平面的基本性质
题点　点共线、线共点、点在线上问题
证明　如图．
(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，
在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，
设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β，
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β，
故R∈PQ.所以P，Q，R三点共线．