2019年数学同步必修二北师大版：第一章 直观图 课时对点练（解析版）

§2　直观图
一、选择题
1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(　　)
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)
A．平行于z′轴且长度为10 cm
B．平行于z′轴且长度为5 cm
C．与z′轴成45°且长度为10 cm
D．与z′轴成45°且长度为5 cm
3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　　)
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)
5．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为(　　)
A．16 B．64
C．16或64 D．无法确定
6．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
7.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为(　　)
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
8．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)
A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm
二、填空题
9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________．
10．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.
11．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中，梯形的高为________．
三、解答题
12．如图所示，画出水平放置的四边形OBCD的直观图．
13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图．
四、探究与拓展
14.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．
15．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
答案
1．
考点　平面图形的直观图
题点　平面图形的直观图
答案　B
解析　由直观图的性质知，B正确．
2．
考点　简单几何体的直观图
题点　柱、锥、台的直观图
答案　A
解析　由直观图的性质知，与z轴平行的线段长度不变，高与原长相等．
3．
考点　平面图形的直观图
题点　由直观图还原平面图形
答案　C
解析　在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.
4．
考点　平面图形的直观图
题点　平面图形的直观图
答案　C
解析　可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．
5．
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　C
解析　等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.
6．
考点　平面图形的直观图
题点　由直观图还原平面图形
答案　C
解析　如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，
故△ABC是钝角三角形．
7.
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　C
解析　依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
8．
考点　简单几何体的直观图
题点　柱、锥、台的直观图
答案　D
解析　圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.
9．
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　
解析　由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.
10．
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　矩形　8
解析　由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．
11．
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　
解析　作CD，BE⊥OA于点D，E，
则OD＝EA＝＝2，
又∠COD＝45°，
∴OD＝CD＝2，
∴在直观图中梯形的高为2××sin 45°＝.
12．
考点　平面图形的直观图
题点　平面图形的直观图
解　画法：
(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示．画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示；
(2)如图(2)所示，在x′轴正半轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE.在y′正半轴上取一点D′，使得O′D′＝OD.过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC；
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所得直观图．
13．考点　简单几何体的直观图
题点　简单几何体的直观图
解　画法：
(1)如图①.画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面．在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点．在z轴上取一点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
14.
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
答案　
解析　画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝.
15．
考点　平面图形的直观图
题点　与直观图有关的计算
解　四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.