2019年数学同步必修二北师大版：第一章 简单几何体 课时对点练（解析版）

§1　简单几何体
一、选择题
1．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　)
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
2．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是(　　)
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台
3．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是(　　)
A．有且只有一个 B．一个或无穷多个
C．无数个 D．以上均不正确
4．下列说法正确的是(　　)
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
5．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是(　　)
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
6．五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有(　　)
A．20 B．15 C．12 D．10
7．如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱长都为a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为(　　)
A.a2 B．a2 C.a2 D.a2
8．如图阴影部分所示的平面图形绕轴旋转180°所形成的几何体为(　　)
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
二、填空题
9．下列说法正确的是________．(填序号)
①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；
②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；
④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥．
10．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．
11．在半径为13的球面上有A，B，C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
三、解答题
12．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，正方体的一个面在圆锥的底面上，与这个面相对的面的四个顶点在圆锥的侧面上，求此正方体的棱长．
13．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干连接后构成以下简单几何体，并用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
四、探究与拓展
14．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．(填序号)
15．如图所示，正三棱锥S－ABC的侧棱长为1，∠ASB＝40°，点M和点N分别是棱SB和SC上的点，求△AMN的周长的最小值．
答案
1．
考点　简单几何体
题点　简单几何体结构判断
答案　D
解析　四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥．
2．
考点　棱锥的结构特征
题点　棱锥的概念
答案　B
解析　由题图知，剩余的部分是四棱锥A′－BCC′B′.
3．
考点　简单几何体的结构特征
题点　简单转体的结构特征
答案　B
解析　当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．
4．
考点　简单几何体的结构特征
题点　简单转体的结构特征
答案　D
解析　圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等，故A错；圆柱的母线与轴平行，故B错；圆台的母线与轴不平行，故C错；球的直径必过球心，故选D.
5．
考点　棱台的结构特征
题点　与棱台有关的运算
答案　B
解析　由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.
6．
考点　棱柱的结构特征
题点　与棱柱有关的运算
答案　D
解析　如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．
7．
考点　棱锥的结构特征
题点　与棱锥有关的运算
答案　C
解析　根据正棱锥的性质知，底面ABCD是正方形，故AC＝a.在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又∵AC＝a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2.
8．
答案　B
解析　外面圆旋转形成球体，中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B.
9．
考点　棱锥的结构特征
题点　棱锥概念的应用
答案　⑤
解析　由正棱锥的定义可知，①②③均不正确；而④不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确；只有⑤符合正棱锥的定义，故正确．
10．
考点　棱台的结构特征
题点　棱台概念的应用
答案　3
解析　如图，分割为A1－ABC，B－A1CC1，C1－A1B1B，3个棱锥．
11．考点　球的结构特征
题点　与球有关的运算
答案　12
解析　由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12.
12．考点　圆锥的结构特征
题点　与圆锥有关的运算
解　作出圆锥的一个纵截面如图所示，
其中AB，AC为母线，BC为底面圆直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线，设正方体的棱长为x，
则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x，依题意，得
△ABC∽△ADE，
∴＝，∴x＝.
13．
考点　棱锥的结构特征
题点　棱锥的结构特征的应用
解　(1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．
14．考点　简单几何体
题点　简单几何体结构应用
答案　(1)(2)
解析　(1)正确，圆柱的底面是圆面；
(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)不正确，圆台的任意两条母线延长一定相交于一点；
(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
15．
考点　圆锥的结构特征
题点　与圆锥有关的运算
解　沿侧棱SA将正三棱锥S－ABC的侧面展开，得到三棱锥S－ABC的侧面展开图，如图所示．
连接AA′，当M，N分别为AA′与SB，SC的交点时，△AMN的周长最小，即AA′的长度．
∵SA＝SA′，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA′＝40°，
∴∠ASA′＝120°.∴∠SAA′＝∠SA′A＝30°.
作SF⊥AA′于点F，∵SA＝1，
∴AF＝A′F＝SA＝，
∴AA′＝，
即△AMN的周长的最小值为.