江西省南昌市第八中学、第二十三中学、第十三中学2018-2019学年第一学期高二期末联考理科数学（解析版）

2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）
1．设z＝+i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．2
2．用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（　　）
A．a，b，c中至多有一个偶数
B．a，b，c中一个偶数都没有
C．a，b，c至多有一个奇数
D．a，b，c都是偶数
3．设，是向量，则“||＝||”是“|+|＝|﹣|”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．命题p：?x＞0，x2﹣2x+1＞0；命题q：?x0＞0，﹣2x0+1≤0，下列选项真命题的是（　　）
A．￢p∧q B．p∧q C．p∨￢q D．￢p∧￢q
5．设函数y＝f（x）可导，则等于（　　）
A．f'（1） B．3f'（1） C． D．以上都不对
6．椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（　　）
A． B． C． D．
7．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
9．函数，则（　　）
A．x＝e为函数f（x）的极大值点
B．x＝e为函数f（x）的极小值点
C．为函数f（x）的极大值点
D．为函数f（x）的极小值点
10．已知f（x）＝x2+2xf'（2016）﹣2016lnx，则f′（2016）＝（　　）
A．2015 B．﹣2015 C．2016 D．﹣2016
11．已知点P在抛物线x2＝4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）
二、填空题（共4小题）
13．定积分（x+ex）dx＝　 　．
14．已知复数z＝m2（1+i）﹣m（3+6i）为纯虚数，则实数m＝　 　．
15．已知直线y＝x﹣1与椭圆交于A、B两点，则线段AB的长为　 　．
16．给出下列命题：
①?x∈R，x3＞x2；
②?x0∈R，使sin3x0＝3sinx0；
③若a＜b，则；
④设等差数列{an}前n项和为Sn，若S2016﹣S1＝1，则S2017＞1．
其中正确命题的序号是　 　．
三、解答題（本大题共6小题，共70分）
17．求出下列函数的导数．
（1）y＝extanx
（2）y＝ln（4x+5）3
（3）y＝x
（4）y＝
（5）y＝e﹣x+2（2x+1）5
18．已知命题p：?x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
19．已知函数f（x）＝x3﹣3x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[﹣2，1]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）过点P（2，﹣6）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程．
20．已知函数f（x）＝ex﹣x﹣1（e是自然对数的底数）．
（1）求证：ex≥x+1；
（2）若不等式f（x）＞ax﹣1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．
21．点是抛物上三点，其中0＜a＜2，并且A、B、C三点到焦点的距离成等差数列．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）证明：．
22．已知函数f（x）＝ln﹣ax2+x，
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．




参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1．设z＝+i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．2
解：z＝+i＝+i＝．
故|z|＝＝．
故选：B．
2．用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（　　）
A．a，b，c中至多有一个偶数
B．a，b，c中一个偶数都没有
C．a，b，c至多有一个奇数
D．a，b，c都是偶数
解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，
故选：B．
3．设，是向量，则“||＝||”是“|+|＝|﹣|”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：若“||＝||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；
若“|+|＝|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；
故“||＝||”是“|+|＝|﹣|”的既不充分也不必要条件；
故选：D．
4．命题p：?x＞0，x2﹣2x+1＞0；命题q：?x0＞0，﹣2x0+1≤0，下列选项真命题的是（　　）
A．￢p∧q B．p∧q C．p∨￢q D．￢p∧￢q
解：命题p：?x＞0，x2﹣2x+1＞0；是假命题，因为x＝1时不成立；
命题q：?x0＞0，﹣2x0+1≤0，当x0＝1时，命题成立，所以是真命题．
￢p∧q，是真命题；
p∧q是假命题；
p∨￢q是假命题；
￢p∧￢q是假命题；
故选：A．
5．设函数y＝f（x）可导，则等于（　　）
A．f'（1） B．3f'（1） C． D．以上都不对
解：∵函数y＝f（x）可导，
根据导数的定义式f′（x）＝可得
∴＝f'（1），
故选：A．
6．椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（　　）
A． B． C． D．
解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆得，
两式相减得+＝0，
即＝﹣，
即﹣＝，
即﹣＝，
即＝，
∴弦所在的直线的斜率为，
故选：D．
7．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：函数f（x）＝的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）＝，可得函数的极值点为：x＝1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．
当x＜0时，函数f（x）＝＜0，选项D不正确，选项B正确．
故选：B．
8．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1＝1，
而阴影部分由函数y＝x与y＝围成，其面积为∫01（﹣x）dx＝（﹣）|01＝，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为＝；
故选：C．
9．函数，则（　　）
A．x＝e为函数f（x）的极大值点
B．x＝e为函数f（x）的极小值点
C．为函数f（x）的极大值点
D．为函数f（x）的极小值点
解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）＝，
令f′（x）＝＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＝＜0，解得：x＞e，
∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
∴当x＝e时，函数有极大值，
故选：A．
10．已知f（x）＝x2+2xf'（2016）﹣2016lnx，则f′（2016）＝（　　）
A．2015 B．﹣2015 C．2016 D．﹣2016
解：f（x）＝x2+2xf'（2016）﹣2016lnx，
则f′（x）＝x+2f'（2016）﹣，
则f′（2016）＝2016+2f'（2016）﹣，
则f′（2016）＝﹣2015，
故选：B．
11．已知点P在抛物线x2＝4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
解：抛物线x2＝4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，
过点P作PN⊥l，垂足为N，连接FP，则|PN|＝|FP|．
故当PQ∥y轴时，|PQ|+|PF|取得最小值|QN|＝2﹣（﹣1）＝3．
设点P（1，y），代入抛物线方程12＝4y，解得y＝，
∴P（1，）．
故选：D．

12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）
解：设g（x）＝exf（x）﹣ex，（x∈R），
则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y＝g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞ex+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e0f（0）﹣e0＝4﹣1＝3，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．定积分（x+ex）dx＝　　．
解：根据题意，＝ xd（x）+exd（x）＝+ex＝e﹣；
故答案为：e﹣．
14．已知复数z＝m2（1+i）﹣m（3+6i）为纯虚数，则实数m＝　3　．
解：复数z＝m2（1+i）﹣m（3+6i）＝（m2﹣3m）+（m2﹣6m）i为纯虚数，
∴，解得m＝3．
故答案为：3．
15．已知直线y＝x﹣1与椭圆交于A、B两点，则线段AB的长为　　．
解：联立，得7x2﹣8x﹣8＝0，
△＝64+4×7×8＝288＞0，
设A（x1，y），B（x2，y2），则，
∴|AB|＝＝．
故答案为：．
16．给出下列命题：
①?x∈R，x3＞x2；
②?x0∈R，使sin3x0＝3sinx0；
③若a＜b，则；
④设等差数列{an}前n项和为Sn，若S2016﹣S1＝1，则S2017＞1．
其中正确命题的序号是　②④　．
解：对于选项：①?x∈R，x3＞x2；根据函数的图象，当0＜x＜1时，x3＜x2；故错误．
②?x0∈R，当x0＝0时，sin3x0＝3sinx0；故正确．
③若a＜b，则；当时，则；故错误．
④设等差数列{an}前n项和为Sn，若S2016﹣S1＝1，整理得，
化简得2015（a1+1008d）＝2015a1009＝1，则，
所以＝，故正确．
故答案为：②④
三、解答題（本大题共6小题，共70分）
17．求出下列函数的导数．
（1）y＝extanx
（2）y＝ln（4x+5）3
（3）y＝x
（4）y＝
（5）y＝e﹣x+2（2x+1）5
解：根据题意，依次计算所给函数的导数：
（1）y＝extanx，其导数y′＝（ex）′tanx+ex（tanx）′＝extanx+，
（2）y＝ln（4x+5）3，其导数y′＝
（3）y＝x＝x3+1+x﹣2，其导数y′＝3x2﹣，
（4）y＝，其导数y′＝，
（5）y＝e﹣x+2（2x+1）5，其导数y′＝（9﹣2x）（2x+1）4e﹣x+2．
18．已知命题p：?x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
解：（1）对于任意x∈R，x2+1≥1，
若命题p为真命题，则（x2+1）min≥m，所以m≤1；…
（2）若命题q为真命题，则（m﹣2）（m+2）＜0，所以﹣2＜m＜2，…
因为命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q至少有一个假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题．…
当命题p为真命题，命题q为假命题时，，则m≤﹣2，
当命题p为假命题，命题q为真命题时，，则1＜m＜2，
综上，m≤﹣2或1＜m＜2．…
19．已知函数f（x）＝x3﹣3x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[﹣2，1]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）过点P（2，﹣6）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程．
解：（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x，
f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，
令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，
故f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，1]递减，
而f（﹣2）＝﹣2，f（﹣1）＝2，f（1）＝﹣2，
∴f（x）的最小值是﹣2，
f（x）的最大值是2；
（Ⅱ）∵f′（x）＝3x2﹣3，
设切点坐标为（t，t3﹣3t），
则切线方程为y﹣（t3﹣3t）＝3（t2﹣1）（x﹣t），
∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）＝3（t2﹣1）（2﹣t），
化简得t3﹣3t2＝0，∴t＝0或t＝3．
∴切线的方程：3x+y＝0或24x﹣y﹣54＝0．
20．已知函数f（x）＝ex﹣x﹣1（e是自然对数的底数）．
（1）求证：ex≥x+1；
（2）若不等式f（x）＞ax﹣1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（1）由题意知，要证ex≥x+1，只需证f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，
求导得f′（x）＝ex﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝ex﹣1＞0，
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＝ex﹣1＜0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）是增函数，在x∈（﹣∞，0）时是减函数，
即f（x）在x＝0时取最小值f（0）＝0，
∴f（x）≥f（0）＝0，即f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，
∴ex≥x+1．…
（2）不等式f（x）＞ax﹣1在x∈[，2]上恒成立，即ex﹣x﹣1＞ax﹣1在x∈[]上恒成立，
亦即a＜在x∈[]上恒成立，令g（x）＝，x∈[]，
以下求g（x）＝在x∈[]上的最小值，
，当x∈[]时，g′（x）＜0，
当x∈[]时，g′（x）＞0，
∴当x∈[1，2]时，g（x）单调递减，当x∈[1，2]时，g（x）单调递增，
∴g（x）在x＝1处取得最小值为g（1）＝e﹣1，
∴正数a的取值范围是（0，e﹣1）．…
21．点是抛物上三点，其中0＜a＜2，并且A、B、C三点到焦点的距离成等差数列．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）证明：．
【解答】
解：（Ⅰ）由抛物线的定义，A、B、C三点到焦点的距离分别为
依题意得 解得x2＝2． 将代入y2＝2px，得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x．
（Ⅱ）因为0＜a＜2，所以，
?，
?，
?，
?，
?4﹣a2＜4
?a2＞0．
而这是显然成立的，所以成立．
22．已知函数f（x）＝ln﹣ax2+x，
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．
解：（1）由，
得：，
（ⅰ）a＝0时，，
x∈（0，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
所以x＝1，f（x）取得极小值，x＝1是f（x）的一个极小值点．
（ⅱ）a＜0时，△＝1﹣8a＞0，令f′（x）＝0，得
显然，x1＞0，x2＜0，
∴，
f（x）在x＝x1取得极小值，f（x）有一个极小值点．
（ⅲ）a＞0时，△＝1﹣8a≤0即时，f′（x）≤0，
f（x）在（0，+∞）是减函数，f（x）无极值点．
当时，△＝1﹣8a＞0，令f′（x）＝0，得
当x∈（0，x1）和x∈（x2，+∞）f′（x）＜0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x1取得极小值，在x2取得极大值，所以f（x）有两个极值点．
综上可知：（ⅰ）a≤0时，f（x）仅有一个极值点；
（ⅱ） 当时，f（x）无极值点；
（ⅲ）当时，f（x）有两个极值点．
（2）证明：由（1）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x1和极大值点x2，
且x1，x2是方程2ax2﹣x+1＝0的两根，
∴，，

＝
＝
＝，
设，
，
∴时，g（a）是减函数，，
∴，
∴f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．