人教版九年级下册数学28.2.1 解直角三角形 同步练习（含解析）

28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
基础闯关全练
1．在Rt△ABC中,∠C=90?,sin A=，BC=6,则AB= ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2．如图28-2-1-1,在Rt△ABC中,∠C=90?,AC=4,tan A=，则BC的长度为 ( )

A.2 B.8 C．4 D.4
3．如图28-2-1-2，△ABC中，∠ACB=90?，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tan A=________.

4．在Rt△ABC中，∠C=90?，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解直角三角形．
(1)已知a=5，∠B=60?；
(2)已知a=5，b=5.



5．如图28-2-1-3所示，△ABC中，∠C=90?，∠B=30?，AD是△ABC的角平分线，若AC=，求线段BD的长．

6．如图28-2-1-4，△ABC中，AC=5,cosB=，sin C=，则△ABC的面积是 ( )

A B.12 C.14 D.21
7．等腰三角形腰长为2 cm，底边长为2 cm，则顶角为_______，面积为_______．
8．如图28-2-1-5，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接EC，过点E作EF⊥EC，交AB于点F，则tan ∠ECF=____．

9．如图28-2-1-6，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F
(1)求证：DF=2BF;
(2)当∠AFB=90?且tan ∠ABD=时，若CD=，求AD的长．

10.如图28-2-1-7，在△ABC中，∠B=135?．AB=2，BC=1．
(1)求△ABC的面积；
(2)求AC的长．


能力提升全练
1．如图28-2-1-8，在2x2的网格中，以顶点O为圆心，2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan ∠ABO的值为 ( )

A.2- B.2 C.2+ D.3
2．如图28-2-1-9，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60?，∠C=45?，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为 ( )

A． B.2 C． D.3
3．如图28-2-1-10，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan ∠BDE的值等于 ( )

A． B． C． D．
4．如图28-2-1-11，已知点D为∠ABC的一边BC上一定点，且BD=5，线段PQ在∠ABC另一边AB上移动且PQ=2，若sin B=，则当∠PDQ达到最大值时PD的长为____________．

5．如图28-2-1-12，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E,sin A=，BC=2，则AE=__________．

三年模拟全练
1．在△ABC中，∠C=90?，AB=6,cos A=，则AC等于 ( )
A．18 B．2 C． D．
2．图28-2-1-13是教学所用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90?，tan∠BAC=，则边BC的长为 ( )

A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm
3．△ABC中，若AB=6,BC=8，∠B=120?，则△ABC的面积为 ( )
A．12 B.12 C.24 D.48
4．如图28-2-1-14,AD⊥CD, ∠ABD=60?, AB=4 m, ∠ACB=45?，则AC=____．

5．在Rt△ABC中，∠C=90?．根据下列条件解直角三角形．
(1)a=8，b=8；
(2)∠B=45?，c=14.


五年中考全练
1．如图28-2-1-15，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为 ( )

A. B． C． D．
2．如图28-2-1-16，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为 ( )

A． B． C． D．
3．如图28-2-1-17，Rt△ABC中，∠C=90?，BC=15, tan A=，则AB=______ .

4．如图28-2-1-18，Rt△ABC中，∠C=90?，∠B=30?，BC=6，则AB的长为______ .


5．如图28-2-1-19，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA′．
(1)判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
(2)在△ABC中，∠B=90?，AB=24，cos∠BAC=，求CB′的长．


核心素养全练
1．如图28-2-1-20，在△ABC中．AB=AC，BC=12,E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan ∠ACB=y，则 ( )

A.x-y?=3 B.2x-y?=9 C.3x-y?=15 D.4x-y?=21
2．如图28-2-1-21，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA?C=l，tan∠BA?C=，tan∠BA?C=，计算tan∠BA?C=_______，……按此规律，写出tan∠BAnC=____（用含n的代数式表示）．


28.2解直角三角形及其应用
28.2.1解直角三角形
1.D 在Rt△ABC中，∠C=90?，sin A=,BC=6,∴AB==10．故选D．
2．A ∵在Rt△ABC中,∠C=90?,AC=4,
∴tan A=，∴BC=2．故选A．
3．答案
解析 ∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90?,
∴∠BCD=∠A,
又∵∠BDC=∠CDA=90?,
∴△BDC～△CDA，∴，
∴CD?=BD·AD,∴CD=6,
∴tan A=.
4．解析 (1)∵∠C=90?,∠B=60?.
∴∠A=30?,
∵cos B=cos 60?=,a=5,∴c=10,
∴b=．
(2)由∠C=90?,a=5,b=5,
可得c=，
∵tan A=，
∴∠A=30?,∴∠B=60?.
5．解析 ∵在△ABC中,∠C=90?,∠B=30?,∴∠BAC=60?.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=30?．∴∠BAD=∠B,∴AD=BD.
在Rt△ADC中,AD==2，∴BD=2．
∴线段BD的长为2．
6.A如图，过A作AD⊥BC于点D，因为cosB=，所以∠B=45?，所以AD=BD，因为sin C=，所以，解得AD=3，所以BD=3,DC==4，所以BC=BD+DC=7，所以S△ABC=BC·AD=×7×3=.

7．答案120? cm?
解析如图，作AD⊥BC于D，∴BD=DC=cm，∴AD==1 cm，∴∠B=30?，∴顶角为180?-30?-30?=120?，三角形的面积为×2×1=cm?.

8．答案
解析 ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC,∠A=∠D=90?,
∵AE=ED,∴CD=AD=2AE,
∵∠FEC=90?,∴∠AEF+∠DEC=90?,
∵∠DEC+∠DCE=90?,∴∠AEF=∠DCE,
∵∠A=∠D，∴△AEF～△DCE,
∴,
∴tan∠ECF=．
9．解析(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD,
∵点E为BC的中点，∴BE=BC=AD．
∵AD∥BC,∴△BEF～△DAF,
∴，∴DF=2BF.
(2)∵CD=，∴AB=CD=.
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90?，∴tan∠ABD=，
∴设AF=x(x＞0) ,则BF=2x,
∴AB=．
∴x=1．∴AF=1.BF=2．
∵DF=2BF,∴DF=4,
∴AD=．
10.解析(1)过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,
∵∠ABC=135?,
∴∠ABD=45?.
在Rt△ABD中,AB=2,∠ABD=45?,
∴AD=AB．sin 45?=2,
∴△ABC的面积=BC·AD=1．
(2)∵∠ABD=45?,∠D=90?,
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AD=2．
∴DB=2,∴DC=DB+BC=2+1=3.
在Rt△ACD中,AC=．

1．C如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC中，0C=，∴BC=OB-OC=2-，∴在Rt△ABC中，tan∠ABO=，故选C．

2.C 在Rt △ADC中，∠C=45?，AC=8，所以AD=AC·sin 45?=4，在Rt△ABD中，∠ABD=60?，所以BD=，由BE平分∠ABC可得∠DBE=30?，则DE=BD·tan 30?=，所以AE=AD-ED=.故选C．
3.C 如图，连接AD，∵在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=5，∴AD==12，∴tan∠BAD=，∴AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE=90?, ∠BAD+∠ADE=90?,∴ ∠BDE=∠BAD,∴tan∠BDE=tan∠BAD=.故选C．

4．答案
解析如图，作DH⊥AB于H.∵点D是定点，PQ=2是定长，∴当DH垂直平分线段PQ时，∠PDQ的值最大，在Rt△BDH中，sin B=，∵BD=5，∴DH=3，∵PH=HQ=1，∴PD=．

5．答案5
解析 ∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=∠CDB=90?，∵sin A=，∴设BD=3x,AB=5x，∴AD=，∵AB=AC,∴AC=5x，∴CD=x．∵BD?+CD?=BC?，∴(3x)?+x?=（2）?，∴x=2（负值舍去），∴AD=8．如图，过E作EF⊥AB于F,则∠AFE=90?，设AE=m,则DE=8-m，∵BE平分∠ABD，∴EF=DE=8-m，∵sin A=，∴，解得m=5（经检验，符合题意）,∴AE=5．

一、选择题
1．B ∵在△ABC中，∠C=90?，∴cos A=，∵cos A=,AB=6,∴AC=AB=2，故选B．
2.C ∵直角△ABC中，∠C=90?，∴tan∠BAC=，又∵AC=30 cm, tan∠BAC=，∴BC=AC·tan ∠BAC=30× cm.故选C．
3.A如图，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点D．∵∠ABC=120?,∴∠ABD=180?-120?=60?,在Rt△ABD中,AD=AB·sin 60?=6×=3,
∴△ABC的面积是BC·AD=×8×3=12.

二、填空题
4．答案 2m
解析 在Rt△ABD中,∠D=90?,∠ABD=60?,AB=4 m,∴BD=ABcos 60?=4×=2 m,AD=ABsin 60?=4×m.在Rt△ACD中，∠D=90?, ∠ACD=45?,AD=2m，∴CD=AD=2m，∴AC=m．
三、解答题．
5．解析(1)∵a=8,b=8，∠C=90?,
∴c=，
∵tan A=,∴∠A=30?，∴∠B=60?.
(2)∵∠B=45?,c=14,∠C=90?,∴∠A=45?,∴a=b,
∵sin B=,∴b=csin B=14×，∴a=b=7．
一、选择题
1．B在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ADC中,AD=，所
以.
2.B连接BD.∵AB是直径，AB=4,
∴∠ADB=90?,OB=2.
∵OC∥AD,∴∠A=∠BOC,∴cos A=cos ∠BOC.
∵BC切⊙O于点B,∴OB⊥BC,
∴cos∠BOC=，∴cos A=.
又∵cos A=,AB=4，∴AD=．故选B．

二、填空题
3．答案17
解析在Rt△ABC中，∵tan A=，BC=15，
∴AC=8，∴AB==17．
4．答案4
解析 ∵cos B=，即cos 30?=，
∴AB=.
三、解答题
5．解析(1)四边形ACC′A′是菱形．理由如下：
由平移的性质得AC∥A′C′，且AC=A′C′，
则四边形ACC′A′是平行四边形
∴∠ACC′=∠AA′C′，
又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，
∴CD也平分∠AA′C′，∴四边形ACC′A′是菱形．
(2)∵在△ABC中，∠B=90?，AB=24 ,cos∠BAC=，
∴cos∠BAC=，即，∴AC=26．
由勾股定理得BC==10．
又由(1)知，四边形ACC′A′是菱形，
∴AA′=AC=26．
由平移的性质得Ab∥A′B′，AB=A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，
∴ BB′=AA′=26 ,∴ CB′=BB′-BC=26-10=16.

1.B如图，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，连接ED.设BE与DF交于点F．

∵E为AC的中点，AM∥EN，∴EN=，MN=，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴CM==6，∴MN=3，
∵tan∠ACB==y，
∴AM=6y，∴EN=3y，
∵直线DF是线段BE的垂直平分线，
∴ED=BD=x．∵DE?=DN?+EN?,
∴x?=(9-x)?+(3y)?，即2x-y?=9，故选B．
2．答案
解析如图，作CH⊥BA?于H，由勾股定理得BA?=,A?C=，△BA?C的面积=4-2-，∴×CH=，解得CH=,则A?H=，∴tan∠BA?C=，∵1=1?-1+1=,3=2?-2+1，7=3?-3+1，∴tan∠BAnC=.