人教版九年级下册数学28.2.2 应用举例 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级下册数学28.2.2 应用举例 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-16 14:26:20 | ||
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文档简介
28.2.2 应用举例
基础闯关全练
1．如图28-2-2-1，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30?，∠ACD=60?，则直径AD=_______米．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
2．如图28-2-2-2，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67?，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E.DE=15 cm，AD=14 cm.求半径OA的长．（精确到0.1 cm）(参考数据：sin 67?≈0.92，cos 67?≈0.39,tan 67?≈2.36)
3．如图28-2-2-3，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分钟的速度沿与地面成75?角的方向飞行．25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30?，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 ( )
A.750m B.375m C.375m D.750m
4．如图28-2-2-4所示，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60?和45?，则隧道AB的长为______．（参考数据：=1.73）
5．如图28-2-2-5，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34?，45?，其中点O，A，B在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1 km）(参考数据：sin 34?=0.56，cos 34?=0.83,tan 34?=0.67)
6．如图28-2-2-6，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45?方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的北偏东30?方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 ( )
A.60n mile B.60n mile C.30n mile D.30n mile
7．如图28-2-2-7，C地在A地的正东方向上，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67?方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30?方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：sin 67?≈，cos 67?≈，tan 67?≈，≈1.73）
8．如图28-2-2-8，修建抽水站时，沿着坡度为i=1：的斜坡铺设水管，若测得水管A处铅直高度为8 m．则所铺设水管AC的长度为 ( )
A.8 m B.12 m C.14 m D.16 m
9．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图28-2-2-9所示．已知AE=4米，∠EAC=130?，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50?≈0.77 ,cos 50?≈0.64,tan 50?≈1.2)
10.如图28-2-2-10，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m．则鱼竿转过的角度是 ( )
A.60? B.45? C.15? D.90?
11.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图28-2-2-11，测得∠DAC=45?，∠DBC=65?．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米．(结果精确到1米，参考数据：sin 65?≈0.91，cos 65?≈0.42,tan 65?≈2.14)
能力提升全练
1．（2018四川绵阳游仙二模）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图28-2-2-12，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45?，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13 m至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度为 ( )
A.18 m B.13 m C.12 m D.5 m
2．如图28-2-2-13，一堤坝的迎水面DC与水平面的夹角为40?(∠DCE=40?)，现将堤坝迎水面改为AB，坡度为1:3，其中水平宽度加宽BD为4m，AC为15.2 m．则新的迎水面AB的长约为(参考数据：sin 40?≈0.64.cos 40?≈0.77.tan 40?≈0.84．≈3.16) ( )
A.31.2 m B.26.6 m C.25.2 m D.24.2 m
3．如图28-2-2-14，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70?方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50?方向匀速航行．1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25?方向上，则灯塔C与码头B的距离是 ( )
A.10海里 B.10海里 C.10海里 D.20海里
4．如图28-2-2-15，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角为30?，底部点B的俯角为45?．小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角为60?．若CD为9.6 m，则雕塑AB的高度约为_______m（结果精确到O.1 m，参考数据：≈1.73）
5．如图28-2-2-16所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45?，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为______米．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
6．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45?的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC(如图28-2-2-17所示)．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是_________米．
三年模拟全练
1．河堤横断面如图28-2-2-18所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是 ( )
A.12米 B.4米 C.5米 D.6米
2．如图28-2-2-19，一艘潜艇在海面下500米A处测得俯角为30?的海底C处有一黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行4000米后，在B处测得俯角为60?的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点C在海面下的深度为 ( )
A.2000米 B.4000米 C.2000米 D.(2000+500)米
3．如图28-2-2-20，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A．在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为_______．
4．图28-2-2-21是小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tan α=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是_______米．
5．校车安全是最近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：如图28-2-2-22，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30?,∠CBD=60?.
(1)求AB的长（结果保留根号）；
(2)已知本路段对校车限速为45千米／时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，则这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
五年中考全练
1．如图28-2-2-23，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为 ( )
A.800sin α米 B.800tan α米 C.米 D.米
2．如图28-2-2-24，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35?，则小河宽PA等于 ( )
A.100sin 35?米 B.100sin 55?米
C.100tan 35?米 D.100tan 55?米
3．如图28-2-2-25，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31?，AB的长约为12米，则大厅两层之间的距离BC为_______米．（结果精确到0.1米）(参考数据：sin 31?=0.515，cos 31?=0.857，tan 31?=0.601)
4．如图28-2-2-26，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60?的方向上，从B站测得船C在北偏东30?的方向上，则船C到海岸线l的距离是_______km.
5．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起，高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图28-2-2-27，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程，已知：∠CAB=30?，∠CBA=45?，AC=640千米，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少千米．（参考数据：≈1.7，≈1.4）
6．某校兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图28-2-2-28，无人飞机从A处沿水平方向飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向分别测得A处的仰角为750，B处仰角为30?．已知无人飞机的飞行速度为4米／秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
核心素养全练
1．如图28-2-2-29①②，图28-2-2-29①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图28-2-2-29②，已知铁环的半径为25 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切，切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sin α=，若人站立点C与点A的水平距离AC等于55 cm，则铁环钩MF的长度为 ( )
A.46 cm B.48 cm C.50 cm D.52 cm
2．图28-2-2-30是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6 m，斜坡AB的坡度为1：2.4，现把货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过_________m．
28.2.2应用举例
1．答案 260
解析 ∠ABD=30?,∠ACD=60?，设CD=x米，则AC=2x米，AD=x米,∴tan B=,∴,解得x=150,∴AD=x=×150≈260米．
2．解析 在Rt△ODE中,DE=15(cm),∠ODE=67?,
∵cos∠ODE=,
∴OD≈≈38.46(cm)，
∴OA=OD-AD=38.46-14≈24.5( cm).
答：半径OA的长约为24.5 cm.
3.A如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D,在Rt△ACD中，∠ACD=75?-30?=45?,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin 45?=375(m).在Rt△ABD中，∵∠B=30?,∴AB=2AD=750(m).故选A．
4．答案635
解析 由题意得∠AC0=30?,∠CB0=45?,
∴OA=1500tan 30?=1500×,OB=OC=1500,
∴AB=OB-OA=1500-=635(m).
5．解析 由题意，得∠AOC=90?,OC=5 km.
在Rt△AOC中，∴tan 34?=，
∴OA=OC·tan 34?=5×0.67=3.35(km).
在Rt△BOC中,∠BC0=45?,
∴OB=OC=5 km.∴AB=5-3.35=1.65≈1.7(km).
答：A,B两点间的距离约为1.7 km.
6.B过点P作PC⊥AB交AB于点C．依题意得∠APC=90?-45?=45?, ∠BPC=90?-30?=60?,AP=60 n mile,∴PC=30n mile,∴PB=2PC=60n mile.
7．解析 过点B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，AB=520，∠ABD=67?，
∴sin 67?=.
解得AD≈480,
tan 67?=，
解得BD≈200.
在Rt△CBD中，∠CBD=30?，
∴tan30?=，
解得DC≈115.3．
∴AC=AD+DC=480+115.3≈595
答：A地到C地的高铁线路的长约为595 km.
8．D∵坡度为i=1:，∴AB：BC=1：，∴AB=8,∴BC=8,∴AC==16，故所铺设水管AC的长度为16 m．故选D．
9．解析设BC=x米，∵∠CAB=180?-∠EAC=50?．
∴在Rt△ABC中，AB=（米），
∵在Rt△EBD中，i=DB:EB=1:1,∴BD=EB.
∴CD+BC=AE+AB，即2+x=4+，解得x=12．
∴BC=12米．
答：水坝原来的高度BC为12米．
10.C∵sin∠CAB=,∴∠CAB=45?．
∵sin∠C′AB′=，
∴∠C′AB′=60?．
∴∠CAC′=60?-45?=15?，鱼竿转过的角度是15?．故选C．
11.解析如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，
设BE=x（米），
在Rt△DEB中，tan∠DBE=，
∵∠DBC=65?．∴DE=xtan 65?.
又∵∠DAC=45?,
∴AE=DE．
∴132+x=xtan 65?,
∴x≈115.8,
∴DE≈248.
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
1.B如图，作BF⊥AE于F，则FE=BD=6 m，DE=BF.∵斜坡AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF,设BF=x m,AF=2.4x m,在Rt△ABF中，由勾股定理得x?+(2.4x)?=13?，解得x=5．∴DE=BF=5 m,AF=12 m,∴AE=AF+FE=18 m,在Rt△ACE中，CE=AE·tan 45?=18×1=18 m,∴ CD=CE-DE=18-5=13 m.故选B．
2.B 如图，过B点作BF⊥AE于F，DC⊥AE于G，则BD=FG=4 m,BF=DG.∴tan∠DCE=≈0.84，∴可设CG=xm ,DG=BF=0.84xm．∴CF=CC-FG=(x-4)m,AF=AC+CF=（15.2+x）m．∵堤坝迎水面AB的坡度为1:3．∴0.84x：（15.2+x）=1:3，解得x=10，则BF=8.4 m．AF=25.2 m.∵在Rt△ABF中，∠AFB=90?,∴AB=≈26.6 m，即新的迎水面AB的长约为26.6 m．故选B．
3.C ∠CBA=25?+50?=75?．作BD⊥AC于点D．
∵∠CAB=(90?-70?)+(90?-50?)=20?+40?=60?,
则∠ABD=30?,∴∠CBD=75?-30?=45?．
在直角△ABD中，BD=AB·sin∠DAB=20sin 60?=20×（海里）．
在直角△BCD中，∠CBD=45?，则BC=(海里)．
4．答案6.6
解析 如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF∥CE，∵∠ADC=90?-60?=30?, ∠ACD=90?-30?=60?,∴∠CAD=90?．∵CD=9.6，∴AC=2CD=4.8.在Rt△ACE中，∵∠AEC=90?,∠ACE=30?，∴AE=AC=2.4,CE=AC·cos ∠ACE=4.8·cos 30?=，在Rt△BCE中，∵∠BCE=45?，∴BE=CE=．∴AB=AE+BE=2.4+≈6.6，即雕塑AB的高度约为6.6 m．
5．答案39.4
解析如图，延长AB交DC的延长线于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=l：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，由勾股定理得x?+（x）?=12?，解得x=6,∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH-BH=15-6=9（米），EG=DH=CH+CD=(6+20)米，∴∠α=450,∴AG=EG=(6+20)米，∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）．
6．答案8
解析如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，∵∠ABD=45?，AB=4,∴AD=AB sin 45?=4=4，∵新传送带的坡度i=l：,∴，则DC=4，故AC==8．所以新传送带AC的长为8米.
一、选择题
1．A Rt△ABC中，BC=6米，，
∴AC=BC=6米，
∴AB==12米，故选A．
2.D如图，由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．由题意知AB=4000（米），∠BAC=30?，∠EBC=60?．∴∠BCA=∠EBC-∠BAC=30?，∴∠BAC=∠BCA.∴BC=BA=4000（米）．在Rt△BEC中，EC=BC·sin 60?=4000×（米）．∴CF=CE+EF：（2000+500）米．故选D．
二、填空题
3．答案40 m
解析由题意可得∠AOB=90?，又∵OA=32 m，OB=24 m，
∴AB==40 m．
4．答案27
解析如图，作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，∠APE=∠A,则AE=PE·tan∠APE=30×0.45=13.5（米），则AB=2AE=27（米）．
三、解答题
CD
5．解析(1)由题意得，在Rt△ADC中，AD=，在Rt△BDC中，BD=，所以AB=AD-BD=16，即AB的长为16米．
(2)超速．理由：因为汽车从A到曰用时2秒，所以速度约为16×1.73÷2=13.84米／秒，因为13.84×3.6=49.824，所以该校车的速度为49.824千米／时，大于45千米／时，所以此校车在AB路段超速．
一、选择题
1.D在Rt△ABC中，∵∠CAB=90?,∠B=α,AC=800米，∴tan α=,
∴AB=米．故选D．
2.C ∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35?,
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan 35?米．故选C．
二、填空题
3．答案6.2
解析在Rt△ABC中，∵∠ACB=90?, ∠A=31?,AB=12米，
∴BC=AB·sin∠A=12×0.515≈6.2(米).
即大厅两层之间的距离BC约为6.2米．
4．答案
解析过点C作CD⊥l于点D，根据题意得∠CAD=90?-60?
=30?,∠CBD=90?-30?=60?,∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=
30?,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2 km,在Rt△CBD中,CD=
BC·sin 60?=2× km.
三、解答题
5．解析过点C作CD⊥AB于点D,
在Rt△ADC和Rt△BCD中．
∵∠CAB=30?．∠CBA=45?,AC=64?,
∴CD=320．AD=320．
BD=CD=320，BC=320，
∴AC+BC=640+320≈1088,
∴AB=AD+BD=320+320≈864,
∴1088-864=224(千米)．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到曰地的路程将缩短约224千米．
6．解析如图所示，过A作AD⊥BC于D,过B作BE⊥水平线于E,
∵AB∥CE,∴∠ABC=∠BCE=30?,
∵∠ACE=75?,∠BCE=30?,
∴∠ACD=45?．
在Rt△ABD中,AB=4×8=32,∠ABD=30?,
∴AD=16,BD=16√亨,
在Rt△ACD中,AD=16,∠ACD=45?,
∴CD=AD=16.
在Rt△BCE中,BC=CD+BD=16+16,∠BCE=30?,
∴BE=（16+16）=8+8．
答：这架无人飞机的飞行高度是（8+8）米．
1.C过肘作与AC平行的直线，与OA、FC分别交于H、N在Rt△OHM中，∠OHM=90?，OM=25,HM=OM·sin α=15，所以OH=20，MB=HA=25-20=5．∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90?．∠FMN=∠MOH=α,∴,∴FN=FM.在Rt△FMN中，∠FNM=90?，MN=BC=AC-AB=55-15=40．∵FM?=FN?+MN?，即FM?=（）?+40?，解得FM=50,∴铁环钩的长度FM为50 cm．故选C．
2．答案2.4
解析如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD.=∠A．∵tan A=，∴tan∠BCB′=，设B′B=x m，b′C=2.4x m，在Rt△B′CB中，∵∠B′=90?,∴B′B?+B′C?=BC?,即x?+（2.4x）?=2.6?，解得x=1（负值舍去），∴BD=B′C=2.4 m.
基础闯关全练
1．如图28-2-2-1，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30?，∠ACD=60?，则直径AD=_______米．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
2．如图28-2-2-2，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67?，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E.DE=15 cm，AD=14 cm.求半径OA的长．（精确到0.1 cm）(参考数据：sin 67?≈0.92，cos 67?≈0.39,tan 67?≈2.36)
3．如图28-2-2-3，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分钟的速度沿与地面成75?角的方向飞行．25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30?，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 ( )
A.750m B.375m C.375m D.750m
4．如图28-2-2-4所示，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60?和45?，则隧道AB的长为______．（参考数据：=1.73）
5．如图28-2-2-5，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34?，45?，其中点O，A，B在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1 km）(参考数据：sin 34?=0.56，cos 34?=0.83,tan 34?=0.67)
6．如图28-2-2-6，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45?方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的北偏东30?方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 ( )
A.60n mile B.60n mile C.30n mile D.30n mile
7．如图28-2-2-7，C地在A地的正东方向上，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67?方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30?方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：sin 67?≈，cos 67?≈，tan 67?≈，≈1.73）
8．如图28-2-2-8，修建抽水站时，沿着坡度为i=1：的斜坡铺设水管，若测得水管A处铅直高度为8 m．则所铺设水管AC的长度为 ( )
A.8 m B.12 m C.14 m D.16 m
9．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图28-2-2-9所示．已知AE=4米，∠EAC=130?，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50?≈0.77 ,cos 50?≈0.64,tan 50?≈1.2)
10.如图28-2-2-10，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m．则鱼竿转过的角度是 ( )
A.60? B.45? C.15? D.90?
11.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图28-2-2-11，测得∠DAC=45?，∠DBC=65?．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米．(结果精确到1米，参考数据：sin 65?≈0.91，cos 65?≈0.42,tan 65?≈2.14)
能力提升全练
1．（2018四川绵阳游仙二模）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图28-2-2-12，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45?，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13 m至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度为 ( )
A.18 m B.13 m C.12 m D.5 m
2．如图28-2-2-13，一堤坝的迎水面DC与水平面的夹角为40?(∠DCE=40?)，现将堤坝迎水面改为AB，坡度为1:3，其中水平宽度加宽BD为4m，AC为15.2 m．则新的迎水面AB的长约为(参考数据：sin 40?≈0.64.cos 40?≈0.77.tan 40?≈0.84．≈3.16) ( )
A.31.2 m B.26.6 m C.25.2 m D.24.2 m
3．如图28-2-2-14，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70?方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50?方向匀速航行．1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25?方向上，则灯塔C与码头B的距离是 ( )
A.10海里 B.10海里 C.10海里 D.20海里
4．如图28-2-2-15，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角为30?，底部点B的俯角为45?．小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角为60?．若CD为9.6 m，则雕塑AB的高度约为_______m（结果精确到O.1 m，参考数据：≈1.73）
5．如图28-2-2-16所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45?，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为______米．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
6．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45?的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC(如图28-2-2-17所示)．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是_________米．
三年模拟全练
1．河堤横断面如图28-2-2-18所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是 ( )
A.12米 B.4米 C.5米 D.6米
2．如图28-2-2-19，一艘潜艇在海面下500米A处测得俯角为30?的海底C处有一黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行4000米后，在B处测得俯角为60?的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点C在海面下的深度为 ( )
A.2000米 B.4000米 C.2000米 D.(2000+500)米
3．如图28-2-2-20，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A．在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为_______．
4．图28-2-2-21是小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tan α=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是_______米．
5．校车安全是最近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：如图28-2-2-22，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30?,∠CBD=60?.
(1)求AB的长（结果保留根号）；
(2)已知本路段对校车限速为45千米／时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，则这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
五年中考全练
1．如图28-2-2-23，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为 ( )
A.800sin α米 B.800tan α米 C.米 D.米
2．如图28-2-2-24，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35?，则小河宽PA等于 ( )
A.100sin 35?米 B.100sin 55?米
C.100tan 35?米 D.100tan 55?米
3．如图28-2-2-25，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31?，AB的长约为12米，则大厅两层之间的距离BC为_______米．（结果精确到0.1米）(参考数据：sin 31?=0.515，cos 31?=0.857，tan 31?=0.601)
4．如图28-2-2-26，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60?的方向上，从B站测得船C在北偏东30?的方向上，则船C到海岸线l的距离是_______km.
5．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起，高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图28-2-2-27，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程，已知：∠CAB=30?，∠CBA=45?，AC=640千米，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少千米．（参考数据：≈1.7，≈1.4）
6．某校兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图28-2-2-28，无人飞机从A处沿水平方向飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向分别测得A处的仰角为750，B处仰角为30?．已知无人飞机的飞行速度为4米／秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
核心素养全练
1．如图28-2-2-29①②，图28-2-2-29①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图28-2-2-29②，已知铁环的半径为25 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切，切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sin α=，若人站立点C与点A的水平距离AC等于55 cm，则铁环钩MF的长度为 ( )
A.46 cm B.48 cm C.50 cm D.52 cm
2．图28-2-2-30是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6 m，斜坡AB的坡度为1：2.4，现把货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过_________m．
28.2.2应用举例
1．答案 260
解析 ∠ABD=30?,∠ACD=60?，设CD=x米，则AC=2x米，AD=x米,∴tan B=,∴,解得x=150,∴AD=x=×150≈260米．
2．解析 在Rt△ODE中,DE=15(cm),∠ODE=67?,
∵cos∠ODE=,
∴OD≈≈38.46(cm)，
∴OA=OD-AD=38.46-14≈24.5( cm).
答：半径OA的长约为24.5 cm.
3.A如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D,在Rt△ACD中，∠ACD=75?-30?=45?,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin 45?=375(m).在Rt△ABD中，∵∠B=30?,∴AB=2AD=750(m).故选A．
4．答案635
解析 由题意得∠AC0=30?,∠CB0=45?,
∴OA=1500tan 30?=1500×,OB=OC=1500,
∴AB=OB-OA=1500-=635(m).
5．解析 由题意，得∠AOC=90?,OC=5 km.
在Rt△AOC中，∴tan 34?=，
∴OA=OC·tan 34?=5×0.67=3.35(km).
在Rt△BOC中,∠BC0=45?,
∴OB=OC=5 km.∴AB=5-3.35=1.65≈1.7(km).
答：A,B两点间的距离约为1.7 km.
6.B过点P作PC⊥AB交AB于点C．依题意得∠APC=90?-45?=45?, ∠BPC=90?-30?=60?,AP=60 n mile,∴PC=30n mile,∴PB=2PC=60n mile.
7．解析 过点B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，AB=520，∠ABD=67?，
∴sin 67?=.
解得AD≈480,
tan 67?=，
解得BD≈200.
在Rt△CBD中，∠CBD=30?，
∴tan30?=，
解得DC≈115.3．
∴AC=AD+DC=480+115.3≈595
答：A地到C地的高铁线路的长约为595 km.
8．D∵坡度为i=1:，∴AB：BC=1：，∴AB=8,∴BC=8,∴AC==16，故所铺设水管AC的长度为16 m．故选D．
9．解析设BC=x米，∵∠CAB=180?-∠EAC=50?．
∴在Rt△ABC中，AB=（米），
∵在Rt△EBD中，i=DB:EB=1:1,∴BD=EB.
∴CD+BC=AE+AB，即2+x=4+，解得x=12．
∴BC=12米．
答：水坝原来的高度BC为12米．
10.C∵sin∠CAB=,∴∠CAB=45?．
∵sin∠C′AB′=，
∴∠C′AB′=60?．
∴∠CAC′=60?-45?=15?，鱼竿转过的角度是15?．故选C．
11.解析如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，
设BE=x（米），
在Rt△DEB中，tan∠DBE=，
∵∠DBC=65?．∴DE=xtan 65?.
又∵∠DAC=45?,
∴AE=DE．
∴132+x=xtan 65?,
∴x≈115.8,
∴DE≈248.
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
1.B如图，作BF⊥AE于F，则FE=BD=6 m，DE=BF.∵斜坡AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF,设BF=x m,AF=2.4x m,在Rt△ABF中，由勾股定理得x?+(2.4x)?=13?，解得x=5．∴DE=BF=5 m,AF=12 m,∴AE=AF+FE=18 m,在Rt△ACE中，CE=AE·tan 45?=18×1=18 m,∴ CD=CE-DE=18-5=13 m.故选B．
2.B 如图，过B点作BF⊥AE于F，DC⊥AE于G，则BD=FG=4 m,BF=DG.∴tan∠DCE=≈0.84，∴可设CG=xm ,DG=BF=0.84xm．∴CF=CC-FG=(x-4)m,AF=AC+CF=（15.2+x）m．∵堤坝迎水面AB的坡度为1:3．∴0.84x：（15.2+x）=1:3，解得x=10，则BF=8.4 m．AF=25.2 m.∵在Rt△ABF中，∠AFB=90?,∴AB=≈26.6 m，即新的迎水面AB的长约为26.6 m．故选B．
3.C ∠CBA=25?+50?=75?．作BD⊥AC于点D．
∵∠CAB=(90?-70?)+(90?-50?)=20?+40?=60?,
则∠ABD=30?,∴∠CBD=75?-30?=45?．
在直角△ABD中，BD=AB·sin∠DAB=20sin 60?=20×（海里）．
在直角△BCD中，∠CBD=45?，则BC=(海里)．
4．答案6.6
解析 如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF∥CE，∵∠ADC=90?-60?=30?, ∠ACD=90?-30?=60?,∴∠CAD=90?．∵CD=9.6，∴AC=2CD=4.8.在Rt△ACE中，∵∠AEC=90?,∠ACE=30?，∴AE=AC=2.4,CE=AC·cos ∠ACE=4.8·cos 30?=，在Rt△BCE中，∵∠BCE=45?，∴BE=CE=．∴AB=AE+BE=2.4+≈6.6，即雕塑AB的高度约为6.6 m．
5．答案39.4
解析如图，延长AB交DC的延长线于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=l：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，由勾股定理得x?+（x）?=12?，解得x=6,∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH-BH=15-6=9（米），EG=DH=CH+CD=(6+20)米，∴∠α=450,∴AG=EG=(6+20)米，∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）．
6．答案8
解析如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，∵∠ABD=45?，AB=4,∴AD=AB sin 45?=4=4，∵新传送带的坡度i=l：,∴，则DC=4，故AC==8．所以新传送带AC的长为8米.
一、选择题
1．A Rt△ABC中，BC=6米，，
∴AC=BC=6米，
∴AB==12米，故选A．
2.D如图，由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．由题意知AB=4000（米），∠BAC=30?，∠EBC=60?．∴∠BCA=∠EBC-∠BAC=30?，∴∠BAC=∠BCA.∴BC=BA=4000（米）．在Rt△BEC中，EC=BC·sin 60?=4000×（米）．∴CF=CE+EF：（2000+500）米．故选D．
二、填空题
3．答案40 m
解析由题意可得∠AOB=90?，又∵OA=32 m，OB=24 m，
∴AB==40 m．
4．答案27
解析如图，作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，∠APE=∠A,则AE=PE·tan∠APE=30×0.45=13.5（米），则AB=2AE=27（米）．
三、解答题
CD
5．解析(1)由题意得，在Rt△ADC中，AD=，在Rt△BDC中，BD=，所以AB=AD-BD=16，即AB的长为16米．
(2)超速．理由：因为汽车从A到曰用时2秒，所以速度约为16×1.73÷2=13.84米／秒，因为13.84×3.6=49.824，所以该校车的速度为49.824千米／时，大于45千米／时，所以此校车在AB路段超速．
一、选择题
1.D在Rt△ABC中，∵∠CAB=90?,∠B=α,AC=800米，∴tan α=,
∴AB=米．故选D．
2.C ∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35?,
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan 35?米．故选C．
二、填空题
3．答案6.2
解析在Rt△ABC中，∵∠ACB=90?, ∠A=31?,AB=12米，
∴BC=AB·sin∠A=12×0.515≈6.2(米).
即大厅两层之间的距离BC约为6.2米．
4．答案
解析过点C作CD⊥l于点D，根据题意得∠CAD=90?-60?
=30?,∠CBD=90?-30?=60?,∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=
30?,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2 km,在Rt△CBD中,CD=
BC·sin 60?=2× km.
三、解答题
5．解析过点C作CD⊥AB于点D,
在Rt△ADC和Rt△BCD中．
∵∠CAB=30?．∠CBA=45?,AC=64?,
∴CD=320．AD=320．
BD=CD=320，BC=320，
∴AC+BC=640+320≈1088,
∴AB=AD+BD=320+320≈864,
∴1088-864=224(千米)．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到曰地的路程将缩短约224千米．
6．解析如图所示，过A作AD⊥BC于D,过B作BE⊥水平线于E,
∵AB∥CE,∴∠ABC=∠BCE=30?,
∵∠ACE=75?,∠BCE=30?,
∴∠ACD=45?．
在Rt△ABD中,AB=4×8=32,∠ABD=30?,
∴AD=16,BD=16√亨,
在Rt△ACD中,AD=16,∠ACD=45?,
∴CD=AD=16.
在Rt△BCE中,BC=CD+BD=16+16,∠BCE=30?,
∴BE=（16+16）=8+8．
答：这架无人飞机的飞行高度是（8+8）米．
1.C过肘作与AC平行的直线，与OA、FC分别交于H、N在Rt△OHM中，∠OHM=90?，OM=25,HM=OM·sin α=15，所以OH=20，MB=HA=25-20=5．∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90?．∠FMN=∠MOH=α,∴,∴FN=FM.在Rt△FMN中，∠FNM=90?，MN=BC=AC-AB=55-15=40．∵FM?=FN?+MN?，即FM?=（）?+40?，解得FM=50,∴铁环钩的长度FM为50 cm．故选C．
2．答案2.4
解析如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD.=∠A．∵tan A=，∴tan∠BCB′=，设B′B=x m，b′C=2.4x m，在Rt△B′CB中，∵∠B′=90?,∴B′B?+B′C?=BC?,即x?+（2.4x）?=2.6?，解得x=1（负值舍去），∴BD=B′C=2.4 m.