2019年数学同步必修一北师大版：第二章 函数 章末检测试卷（解析版）

章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列对应关系f中，能构成从集合A到集合B的映射的是(　　)
A．A＝{x|x>0}，B＝R，f：x→|y|＝x2
B．A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2
C．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝
D．A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝
2．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为(　　)
A．1 B. C．－ D．－1
4．函数y＝(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B. C．3 D.
5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于(　　)
A．2 B．－2 C．－3 D．3
7．设f(x)＝则f(f(0))等于(　　)
A．1 B．0 C．2 D．－1
8．已知一次函数y＝kx＋b为减函数，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图像是(　　)
9．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
10．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．增减性不确定
11．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有(　　)
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
12．已知函数f(x)＝设F(x)＝x2·f(x)，则F(x)是(　　)
A．奇函数，在(－∞，＋∞)上是减少的
B．奇函数，在(－∞，＋∞)上是增加的
C．偶函数，在(－∞，0)上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的
D．偶函数，在(－∞，0)上是增加的，在(0，＋∞)上是减少的
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
14．已知幂函数f(x)的图像过点(，2)，则不等式f(3x－2)＋1>0的解集是________．
15．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
16．定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且当x≥1时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a18．(12分)已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝1，不计算函数值，求f(0)；
(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
19．(12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的值域．
20．(12分)某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．
(1)分别将A，B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A，B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
21．(12分)(2017·马鞍山检测)对于区间[a，b]和函数y＝f(x)，若同时满足：
①f(x)在[a，b]上是单调函数；
②函数y＝f(x)，x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间．
(1)求函数y＝x2(x≥0)的所有“不变”区间；
(2)函数y＝x2＋m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：
如果常数t＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
章末检测试卷(二)参考答案
1．
考点　映射定义
题点　判断对应是否映射
答案　D
解析　当x＝1时，|y|＝12，y＝±1，x＝1在B中对应元素不唯一，选项A不是；x＝0在B中没有对应元素，选项B不是；同理，C也不是；D中，x＝0→y＝0，x＝2→y＝1，符合映射定义．
2．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　A
解析　∵f(＋1)＝x2－2x，
∴f(＋1)＝22－2·2，即f(3)＝0.
3．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
答案　D
解析　∵f(x)在上为减函数，
∴f(x)min＝f＝－2＝－1.
4．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含根式函数的最值
答案　B
解析　因为＝
＝ ，
所以当a＝－时，的值最大，最大值为.故选B.
5．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　判断函数的单调性、奇偶性
答案　D
6．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　C
解析　∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)
＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
7．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　f(0)＝1－0＝1，f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2.
8．
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
答案　A
解析　∵y＝kx＋b为减函数，∴k<0，
又∵kb<0，∴b>0，故选A.
9．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　A
解析　g(x)＝f(x)－3为奇函数，且在R上递减，
f(a)＋f(a－2)>6可化为f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－[f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，
即g(a)>g(2－a)，
∴a<2－a，∴a<1.
10．
考点　函数奇偶性的应用
题点　由二次函数为偶函数求参数值
答案　B
解析　∵f(x)为偶函数，∴m＝0，
∴f(x)＝－x2＋3，开口向下，
对称轴为y轴，∴f(x)在(2,5)上是减函数．
11．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的最值或值域
答案　D
解析　设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＋2≤8且存在x0∈(0，＋∞)使F(x0)＝8.
又∵f(x)，g(x)都是奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－[f(x)＋g(x)]≤6，
f(x)＋g(x)≥－6，
∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2≥－4，且存在x0∈(－∞，0)使F(x0)＝－4.
∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.
12．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　判断函数的单调性、奇偶性
答案　B
解析　F(x)＝其图像如图所示．
故选B.
13．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　－2
解析　f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
∵1∈(0,2)，∴f(1)＝2×12＝2，
∴f(7)＝－f(1)＝－2.
14．
考点　幂函数
题点　幂函数综合
答案　
解析　设f(x)＝xa，则f()＝()a＝2，∴a＝3.
f(x)＝x3在R上为增函数，
∴f(3x－2)＋1>0?f(3x－2)>f(－1)?3x－2>－1，
解得x>，∴不等式的解集为.
15．
考点　分段函数
题点　分段函数求参数值
答案　(－∞，2]
解析　若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
16．
考点　求解析式
题点　利用对称性求解析式
答案　f(x)＝
解析　设x<1，则2－x>1，
且f(x)＝f((x－1)＋1)＝f(1－(x－1))＝f(2－x)＝＋1.
∴f(x)＝
17．
考点　函数的单调性的判定与证明
题点　抽象函数单调性的判断
证明　设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，
∴g(x1)又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
18．
考点　二次函数
题点　二次函数对称性
解　(1)因为y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝32＋.
所以顶点坐标为，对称轴是直线x＝－.
(2)因为f＝1，
又＝，＝，
所以结合二次函数的对称性可知f(0)＝f＝1.
(3)由f(x)＝32＋知二次函数图像开口向上，且对称轴为x＝－，
所以离对称轴越近，函数值越小．
又<，
所以f19．
考点　函数的图像
题点　函数图像的应用
解　(1)当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
代入(－1,0)，(0,1)，
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图像过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
∴f(x)＝
(2)当－1≤x≤0时，y∈[0,1]．
当x>0时，y∈[－1，＋∞)．
∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞)＝[－1，＋∞)．
20．
考点　求函数的解析式
题点　实际问题的函数解析式
解　(1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由图1，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.
由图2，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6，
∴k2＝.
故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，
由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．
∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤.
∴当＝2，即x＝4时，ymax＝＝2.8.
因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．
21．
考点　函数单调性的应用
题点　函数单调性的综合应用
解　(1)易知函数y＝x2(x≥0)是增函数，故有解得
又a(2)易知函数y＝x2＋m(x≥0)是增函数，若函数y＝x2＋m存在“不变”区间，则有：b>a≥0，所以
消去m得a2－b2＝a－b，整理得
(a－b)(a＋b－1)＝0.
因为a即b＝1－a.又所以0≤a<.
因为m＝－a2＋a
＝－2＋，
所以0≤m<.
综上，当0≤m<时，函数y＝x2＋m(x≥0)存在“不变”区间．
22．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用对勾函数性质求最值
解　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)是减少的，所以f(x)的减区间为；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)是增加的，所以f(x)的增区间为；
由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以所以a＝.