(共18张PPT)
17.1勾股定理（2）
人教版 八年级下
知识回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
1.勾股定理的主要内容：
结论变形：
c2 = a2 + b2
2.用公式表示：
5. 已知Rt△ABC中，∠B=90°, ∠A=45°，
若b=7 ，则c= .
知识回顾
3. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，
若a=1，c=3，则b= .
4. 已知Rt△ABC中，∠A=90°, ∠B=30°，
若a=4，则c= .
7
在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
新知讲解
一个门框尺寸如下图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
1 m
2 m
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通过．
∴ 只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？
新知讲解
例1:一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
A
B
C
D
1 m
2 m
实际问题
数学问题
实物图形
几何图形
新知讲解
例2:如图，一架2.6m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
解：可以看出，BD=OD－OB.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得
OB2=AB2－OA2=2.62－2.42=1，
∴OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，得
OD2=CD2－OC2=2.62－(2.4-0.5)2=3.15，
∴OD= ≈1.77，
新知讲解
例2:如图，一架2.6m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
∴BD=OD－OB≈1.77－1=0.77，
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，
梯子底端并不是也向外移0.5m，
而是外移约0.77m.
新知归纳
实际问题
几何模型
数学问
题
勾股定理
画图
利用勾股定理解决实际问题你有什么好的突破办法？请与大家交流．
当堂检测
1.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移______
2.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_____米
3.把直角三角形两条直角边同时扩大到原
来的3倍，则其斜边（ ）
A.不变 B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3
A
B
C
1
7
B
当堂检测
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，
故需把正方体展开成平面图形（如图）.
B
当堂检测
5.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
解:设竹竿长x米,则城门高为 (x－1)米.根据题意得:
32+ (x－1) 2 =x2
9+x2 －2x+1=x2
10 －2x=0
2x=10
x=5
答:竹竿长5米
当堂检测
6.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解:设水池的深度AC为x米,
则芦苇高AD为 (x+1)米.
根据题意得:BC2+AC2=AB2
∴52+x2 =(x+1)2
解得：x=12
∴x+1=12+1=13(米)
答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
当堂检测
7.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
A
B
C
D
F
E
解:设DE为x,
x
(8- x)
则CE为 (8－ x).
由题意可知:EF=DE=x,
x
AF=AD=10
10
10
8
∵∠B=90°∴ AB2+ BF2＝AF2
82+ BF2＝102 ∴BF＝6
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
6
4
∵∠C=90°∴ CE2+CF2＝EF2
(8－x)2+42=x2
解得：x=5
当堂检测
8.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
x
25-x
解：设AE= x km，
根据勾股定理，得:AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
又 ∵ DE=CE∴ AD2+AE2= BC2+BE2
即：152+x2=102+（25-x)2
答：E站应建在离A站10km处。
∴ x=10
则 BE=（25-x）km
15
10
课堂总结
本课我们学习了哪些知识？
用了哪些方法？
你有哪些体会？
作业布置
教材26页练习1、2、题
谢谢
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《17.1勾股定理（2）》导学案
教学目标 1.会用勾股定理进行简单的计算。2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。3.经历探究与勾股定理有关的实际问题的过程,学会利用勾股定理解决实际问题的方法.
重点难点 重点：勾股定理的简单计算。 难点：勾股定理的灵活运用
教学过程
知识回顾 1.勾股定理的主要内容：（用文字表述）2.勾股定理的主要内容：（用符号表示）公式的变形有哪些? 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a=1，c=3，则b=_________已知Rt△ABC中，∠A=90°, ∠B=30°，若a=4，则c=_________已知Rt△ABC中，∠B=90°, ∠A=45°，若b=7，则c=_________
例题探究 一个门框尺寸如下图所示． ①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ 例2:如图，一架2.6m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ 利用勾股定理解决实际问题你有什么好的突破办法？请与大家交流．
当堂检测 1.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移______2.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_____米. 3.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（ ）A.不变 B.扩大到原来的3倍 C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的4. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. A.3 B . C.2 D.1 5.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 6.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 7.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。 8.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
小结反思 本课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？你有哪些体会？
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《17.1勾股定理（2）》导学案
教学目标 1.会用勾股定理进行简单的计算。2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。3.经历探究与勾股定理有关的实际问题的过程,学会利用勾股定理解决实际问题的方法.
重点难点 重点：勾股定理的简单计算。 难点：勾股定理的灵活运用
教学过程
知识回顾 1.勾股定理的主要内容：（用文字表述）2.勾股定理的主要内容：（用符号表示）公式的变形有哪些? 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a=1，c=3，则b=_________已知Rt△ABC中，∠A=90°, ∠B=30°，若a=4，则c=_________已知Rt△ABC中，∠B=90°, ∠A=45°，若b=7，则c=_________在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
例题探究 一个门框尺寸如下图所示． ①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。解：∵木板的宽2.2米大于1米， ∴ 横着不能从门框通过； ∵木板的宽2.2米大于2米， ∴竖着也不能从门框通过． ∴ 只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？③一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 解：在Rt△ABC中，根据勾股定 理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5． ∴AC=≈2.24． ∵AC大于木板的宽2.2 m， ∴木板能从门框内通过． 例2:如图，一架2.6m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 ⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。 ⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。 解：可以看出，BD=OD－OB. 在Rt△AOB中，根据勾股定理，得 OB2=AB2－OA2=2.62－2.42=1，∴OB=1. 在Rt△COD中，根据勾股定理，得 OD2=CD2－OC2=2.62－(2.4-0.5)2=3.15， ∴OD=≈1.77， ∴BD=OD－OB≈1.77－1=0.77， ∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也向外移0.5m，而是外移约0.77m. 利用勾股定理解决实际问题你有什么好的突破办法？请与大家交流．
当堂检测 1.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移______答案：12.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_____米.答案：7 3.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（ ）BA.不变 B.扩大到原来的3倍 C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的4. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.B A.3 B . C.2 D.1 5.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 解:设竹竿长x米,则城门高为 (x－1)米.根据题意得: 32+ (x－1) 2 =x2解得：x=5 答:竹竿长5米 6.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解:设水池的深度AC为x米,则芦苇高AD为 (x+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB2 ∴52+x2 =(x+1)2 解得：x=12 ∴x+1=12+1=13(米) 答:水池的深度为12米,芦苇高为13米. 7.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。解:设DE为x,则CE为 (8－ x). 由题意可知:EF=DE=x,AF=AD=10 ∵∠B=90°∴ AB2+ BF2＝AF282+ BF2＝102 ∴BF＝6 ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4 ∵∠C=90°∴ CE2+CF2＝EF2 (8－x)2+42=x2 解得：x=5 AE长为5 8.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 解：设AE= x km，则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得:AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2 ∴ x=10 答：E站应建在离A站10km处。
小结反思 本课我们学习了哪些知识？ 用了哪些方法？ 你有哪些体会？
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