2019年数学同步必修一北师大版：第四章 利用函数性质判定方程解的存在 课时对点练（解析版）

§1　函数与方程
1．1　利用函数性质判定方程解的存在
一、选择题
1．下列图像表示的函数中没有零点的是(　　)
2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图像是连续不断的，若f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)
4．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至少有一个零点
5．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
6．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)
A．一个 B．两个 C．至少两个 D．无法判断
二、填空题
7．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
8．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．
9．函数f(x)＝的零点是________．
10．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
11．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．
四、探究与拓展
12．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
13．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
答案
1．
考点　函数零点的概念
题点　判断函数有无零点
答案　A
解析　B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在区间上是否有零点
答案　D
解析　由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)f(b)<0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.
3．
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　C
解析　由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．
4．
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在区间上是否有零点
答案　C
解析　若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A，D错，若如图(3)所示，可知B错．
5．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　B
解析　方法一　由f(x)＝0得2x＋＝0，
∴2x＝.
在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝的图像(图略)，
观察图像可知，当x1∈(1，x0)时，y1当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.
方法二　∵函数y＝2x，y＝在(1，＋∞)上均为增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0，得f(x1)由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0，得f(x2)>f(x0)＝0.
6．
考点　函数零点的综合应用
题点　函数零点的个数问题
答案　B
解析　f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.
又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.
因此函数f(x)有两个零点－2与2.
7．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　(1，＋∞)
解析　f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
8．
考点　一元二次方程根的分布
题点　两根分别在两不同区间
答案　(－12,0)
解析　根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图．
由图可知
即解得－129．
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　－2,1
解析　当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lg x＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f(x)的零点是－2,1.
10．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　
解析　画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图像有两个交点，由图可知k＞，且k<1.
11．
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在区间上是否有零点
解　设函数f(x)＝x3－2x，则f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝8－4＝4>0，∴f(1)·f(2)<0，且f(x)在区间[1,2]上连续，∴函数f(x)＝x3－2x在区间[1,2]内有零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内有实数解．
12．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　(0,1)
解析　在平面直角坐标系中作出函数f(x)的图像，如下图所示．
利用函数图像可知，当013．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
解　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
据此可作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，
根据图像可知，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．