湘教版八年级数学下册 第1章直角三角形 小结与复习 课件（共27张）

(共27张PPT)
第1章 直角三角形
小结与复习
一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角_____.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____.
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_____.
4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜
边长为c，那么________.
互余
一半
一半
a2+b2=c2
二、直角三角形的判定
1.有一个角是_____的三角形是直角三角形.
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足
________，那么这个三角形是直角三角形.
直角
a2+b2=c2
【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.有两个角互余的三角形是直角三角形.　( )
2.任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方.　( )
3.一个三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半.　( )
√
×
×
热点考向一 直角三角形的性质?
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是　　　　.
【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠DBF，从而求得∠A的度数.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AE的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得BE的长.
【自主解答】在Rt△FDB中，∵∠F=30°，∴∠DBF=60°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°.
在Rt△AED中，∵∠A=30°，DE=1，∴AE=2.
∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=2.
答案：2
【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用
1.直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一.
2.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决.
3.重要辅助线——(1)遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线.(2)构造直角三角形，凸显斜边上的中线.
【真题专练】
1.如图，一副分别含有30°角和45°角
的两个直角三角板，拼成如图所示图形，
其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，
则∠BFD的度数是(　　)
A.15°　　　B.25°　　　C.30°　　　D.10°
2.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，
AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中
点，连接DE，则△CDE的周长为　(　　)

A.20 B.18 C.14 D.13
【知识拓展】直角三角形的两个结论
(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(2)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
热点考向二 勾股定理?
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为　　　　　.
【思路点拨】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4-x，在Rt△B′EC中，利用勾股定理解出x的值即可.
【自主解答】 ，
由折叠的性质得BE=B′E，AB=AB′，
设BE=x，则B′E=x，CE=4-x，B′C=AC-AB′=AC-AB=2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+22=(4-x)2，
解得：x= .
答案：
【规律方法】勾股定理的应用
1.在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法.
2.作长度 为(n为正整数)的线段.
注意：在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的条件下，要分类讨论.
【真题专练】
1.如图，点E在正方形ABCD内，
满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
则阴影部分的面积是　(　　)
A.48　　　　B.60　　　　C.76　　　　D.80
2.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行　　　　m.
热点考向三 勾股定理的逆定理?
【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=　　　　度.
【解题探究】(1)BE′是由BE旋转多少度得到？BE′与BE什么关系？
提示：BE′是由BE旋转90°得到的，BE′⊥BE且BE′=BE.
(2)若连接EE′，得到的△EBE′是一个什么特殊的三角形？
提示：△EBE′是等腰直角三角形.
(3)△EE′C是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？
提示：△EE′C是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之.
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤
1.确定三角形的最长边.
2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和.
3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【知识归纳】判定直角三角形的两种方法
(1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.
(2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题
【例】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为　　　　　.
【审题视点】
创
新
点 图形的折叠与勾股定理的应用：
(1)由图形折叠，得到直角三角形
(2)利用勾股定理建立方程求解，体现数形结合思想与方程思想的应用
切
入
点 (1)由折叠知AE=A′E，于是求A′E的长
(2)在Rt△ABD中，由勾股定理求BD的长
(3)在Rt△A′EB中，利用勾股定理建立方程，求A′E的长
【规律方法】解图形折叠问题的思路
1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角).
2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理.
3.利用勾股定理建立方程求解.
【巧思妙解】巧用面积，事半功倍
【典例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是　(　　)
A. B. C. D.
【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求CD时计算比较复杂，容易出错；“巧妙解法”巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点C到AB的距离.
【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果.