1
南京市 2019-2020 学年度第一学期期末学情调研试卷
高 一 数 学 2020.01
一、单项选择题：本小题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合 ? ?1,2,3A = ，集合 ? ?2| 4,B x x x= ? ?R ，则 A B =（ ）．
A.? B.? ?1 C.? ?1,2 D.? ?1,2,3
2. 已知向量 ( ) ( )1,2 , 1, 1OA OB= ? = ? ，则向量 AB 的坐标为（ ）．
A. ( )2,3? B. ( )0,1 C. ( )1,2? D. ( )2, 3?
3. 已知 0.80.8log 1.2, 1.2 , sin1.2a b c= = = ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ）．
A. a b c? ? B. a c b? ? C. c a b? ? D. c b a? ?
4. 函数 ( )
π
tan 2
4
f x x
? ?
= +? ?
? ?
的定义域为（ ）．
A.
π
| π ,
2
x x k k
? ?
? + ?? ?
? ?
Z B.
π
| 2 π ,
2
x x k k
? ?
? + ?? ?
? ?
Z
C.
π π
| ,
2 8
k
x x k
? ?
? + ?? ?
? ?
Z D.
π
| π ,
8
x x k k
? ?
? + ?? ?
? ?
Z
2
5. 已知扇形OAB的面积为 4 ，圆心角为 2 弧度，则 AB 的长为（ ）．
A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π
6. 若向量 ,a b 满足： ( ) ( )1, , 2a a b a a b b= + ⊥ + ⊥ ，则 a b? =（ ）．
A.1 B. 2 C. 5 D. 5
7. 函数 ( )
2
12ln x
f x
x
= 的图象大致为（ ）．
A. B. C. D.
8. 安装了某种特殊装置的容器内有细沙 310cm ，容器倒置后，细沙从容器内流出， mint 后容器内剩
余的细沙量为 110 aty += （单位： 3cm ），其中 a 为常数．经过 4min 后发现容器内还剩余 35cm 的沙
子，再经过 minx 后，容器中的沙子剩余量为 31.25cm ，则 x =（ ）．
A. 4 B. 6 C.8 D.12
3
二、多项选择题：本小题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错
的得 0分．
9. 下列选项中，值为1的是（ ）．
A.
2 6log 6 log 2? B. 6 6log 2 log 4+
C. ( ) ( )
1 1
2 22 3 2 3+ ? ? D. ( ) ( )
1 1
2 22 3 2 3+ ? ?
10. 记函数 ( )
π
sin 2
3
f x x
? ?
= ?? ?
? ?
的图象为G ，下列结论正确的有（ ）．
A.函数 ( )f x 的最小正周期为 π
B. 函数 ( )f x 在区间
π 5π
,
12 12
? ?
?? ?
? ?
上单调递增
C.直线
π
12
x = ? 是图象G 的一条对称轴
D.将函数 sin 2y x= 的图象向右平移
π
3
个单位长度，得到图象G
4
11. 已知函数 ( )f x x= ， ( ) 4g x x= ? ，则下列结论正确的是（ ）．
A.若 ( ) ( ) ( )h x f x g x= ，则函数 ( )h x 的最小值为 4
B.若 ( ) ( ) ( )h x f x g x= ，则函数的值域为R
C.若 ( ) ( ) ( )h x f x g x= ? ，则函数 ( )h x 有且仅有一个零点
D. 若 ( ) ( ) ( )h x f x g x= ? ，则 ( ) 4h x ? 恒成立
12. 已知向量 ,a b是同一平面? 内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）．
A.若存在实数?，使得 b a?= ，则 a 与 b 共线
B.若 a 与 b 共线，则存在实数?，使得 b a?=
C.若 a 与 b 不共线，对平面内任意向量 c ，均存在实数?， ? ，使得 c a b? ?= +
D.若对平面? 内任意向量 c ，均存在实数?， ? ，使得 c a b? ?= + ，则 a 与 b 不共线
5
三、填空题：本小题共 4小题，每小题 5分，共 20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 已知 a 和 b都是单位向量，且 =0?a b ， =2 +c a b，则向量 b与 c 的夹角的余弦值是 ．
14. 在 ABC△ 中，已知
7
sin cos
13
A A+ = ，则 sin cosA A的值为 ，tan A的值为 ．（本
题第一空 2 分，第二空 3 分）
15. 已知函数 ( )( )f x x?R 是周期为 4 的奇函数，且当0 2x? ? 时， ( )
( )1 , 0 1
sin π 1 2
x x x
f x
x x
? ? ? ?
= ?
? ??
则
37
6
f f
? ?? ?
=? ?? ?
? ?? ?
．
16. 已知 A ，B 是函数 ( )
π
sin
2
x
f x = 的图象与函数 ( )
π
cos
2
x
g x = 的图象的两个不同的交点，则线段 AB
长度的最小值是 ．
6
四、解答题：本小题共 6小题，共 70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出应写出文字说明，
证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分 10 分）
已知向量 ( )2,m=a ， ( )1,6m= ?b ．
⑴ 若 / /a b，求实数m 的值；
⑵ 若 + = ?a b a b ，求实数m 的值．
18. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，角? 的顶点为O，始边为 x 轴的正半轴，终边经过点 ( )3,P m? ，且
4
sin
5
? = ．
⑴ 求实数m 的值；
⑵ 求
( ) ( )sin 2π cos π
π 3π
sin cos
2 2
? ?
? ?
? + +
? ? ? ?
+ + ?? ? ? ?
? ? ? ?
的值．
7
19. （本小题满分 12 分）
已知函数 ( )
e e
2
x xa
f x
??
= 是奇函数，其中 e是自然对数的底数．
⑴ 求实数 a的值；
⑵ 若 ( ) ( )lg 1 0f x f+ ? ? ，求 x的取值范围．
20. （本小题满分 12 分）
如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O距地面的高度为65m ．已知
摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．游客在摩天
轮的舱位转到距地面最近的位置进舱．
⑴ 游客进入摩天轮的舱位，开始转动 mint 后，他距离地面的高
度为 h，求 h关于 t 的函数解析式；
⑵ 已知在距离地面超过 40m的高度，游客可以观看游乐场全景，
那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的
时间是多少？．
O
（第20题图）
地面
8
21. （本小题满分 12 分）
在 ABC△ 中， 6AB = ， 3AC = ，D 为 BC 中点， 2AB EB= ，
1
2
AF FC= ，
⑴ 若
π
3
A? = ，求 AD EF? 的值；
⑵ 若 0DE DF? = ，求 AB AC? 的值．
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) sinf x x= ， ( ) lng x x= ．
⑴ 求方程 ( )
π
2
f x f x
? ?
= ?? ?
? ?
在 ? ?0,2π 上的解；
⑵ 求证：对任意的 Ra? ，方程 ( ) ( )f x ag x= 都有解；
⑶ 设M 为实数，对区间 ? ?0,2π 内的满足 1 2 3 4x x x x? ? ? 的任意实数 ( )1 4ix i? ? ，不等式
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4M f x f x f x f x f x f x? ? + ? + ? ，求M 的最小值．
(第21题图)
D
F
EA B
C
南京市 2019-2020 学年度第一学期期末学情调研试卷
高 一 数 学 2020.01
一、单项选择题：本小题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合 { }1,2,3A = ，集合 { }2| 4,B x x x= ≤ ∈R ，则 A B =? （ ）．
A.? B.{ }1 C.{ }1,2 D.{ }1,2,3
【答案】C；
【解析】因为 [ ]2,2B = ? ，所以 { }1,2A B =? ．
2. 已知向量 ( ) ( )1,2 , 1, 1OA OB= ? = ?
???? ????
，则向量 AB
????
的坐标为（ ）．
A. ( )2,3? B. ( )0,1 C. ( )1,2? D. ( )2, 3?
【答案】D；
【解析】 AB OB OA= ?
???? ???? ????
，横纵坐标依次相减可知 ( )2, 3AB = ?
????
．
3. 已知 0.80.8log 1.2, 1.2 , sin1.2a b c= = = ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ）．
A. a b c< < B. a c b< < C. c a b< < D. c b a< <
【答案】B；
【解析】 0.8 00.8 0.8
πlog 1.2 log 1 0, 1.2 1.2 1,0 sin 0 sin1.2 sin 1
2
a b= < = = > = = < < = ，所以 a c b< < ．
4. 函数 ( ) πtan 2
4
f x x? ?= +? ?
? ?
的定义域为（ ）．
A. π| π ,
2
x x k k? ?≠ + ∈? ?
? ?
Z B. π| 2 π ,
2
x x k k? ?≠ + ∈? ?
? ?
Z
C. π π| ,
2 8
kx x k? ?≠ + ∈? ?
? ?
Z D. π| π ,
8
x x k k? ?≠ + ∈? ?
? ?
Z
【答案】C；
【解析】
π π π π2 π , ,
4 2 2 8
kx k k x k+ ≠ + ∈ ? ≠ + ∈Z Z ．
1
5. 已知扇形OAB 的面积为 4，圆心角为 2弧度，则?AB 的长为（ ）．
A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π
【答案】B；
【解析】由扇形面积公式 2 2
1 14 2 2
2 2
S r r rα= ? = ? ? ? = ，故? 4AB rα= = ．
6. 若向量 ,a b
? ?
满足： ( ) ( )1, , 2a a b a a b b= + ⊥ + ⊥? ? ? ? ? ? ?，则 a b? =? ? （ ）．
A.1 B. 2 C. 5 D. 5
【答案】D；
【解析】由
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0 0
2 2 0 2 0
a b a a b a a a b
a b b a b b b a b
+ ⊥ ? + ? = ? + ? =
+ ⊥ ? + ? = ? + ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
，得
2 2
2 2b a b= ? =
? ? ?
， 1a b? = ?
? ?
，故
( )2 2 2 2 5a b a b a b a b? = ? = + ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? ．
7. 函数 ( ) 2
12ln x
f x
x
= 的图象大致为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A；
【解析】注意到函数为偶函数，故排除 BC；仅考虑 0x > 情况， ( ) 2
12ln xf x
x
= 中，分子和分母在 1x >
之后均单调增，但对称函数增长越来越慢，而二次函数值增长越来越快，故比值会越来越小，
由此判断选 A.
8. 安装了某种特殊装置的容器内有细沙 310cm ，容器倒置后，细沙从容器内流出， mint 后容器内剩
余的细沙量为 110 aty += （单位： 3cm ），其中 a为常数．经过 4min 后发现容器内还剩余 35cm 的沙
子，再经过 minx 后，容器中的沙子剩余量为 31.25cm ，则 x =（ ）．
A. 4 B. 6 C.8 D.12
2
【答案】C；
【解析】由题意知，将 4t = 代入得 ( )
1
441 4 1 110 5 10 10
2 2
a a a+ ? ?= ? = ? = ? ?
? ?
；当沙子剩余量为1.25时，
( )
3
41 10 1 1 110 1.25 10 12
8 8 2 2
t
tat a t+ ? ? ? ?= = ? = ? = ? =? ? ? ?
? ? ? ?
，故 12 4 8x = ? = ．
二、多项选择题：本小题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，不选或
有选错的得 0分．
9. 下列选项中，值为1的是（ ）．
A. 2 6log 6 log 2? B. 6 6log 2 log 4+
C. ( ) ( )
1 1
2 22 3 2 3+ ? ? D. ( ) ( )
1 1
2 22 3 2 3+ ? ?
【答案】AC；
【解析】 2 6log 6 log 2 1? = ； 2 6 6log 6 log 4 log 8+ = ； ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 1 1
22 2 22 3 2 3 2 3 2 3 1 1+ ? ? = + ? = = ；
( ) ( )
2 21 1
2 2 1 3 3 1 12 3 2 3 2 3 2 3 2 2
2 2 2 2 2
? ? ? ?
+ ? ? = + ? ? = + ? ? = =? ? ? ?
? ? ? ?
.
故选 AC．
10. 记函数 ( ) πsin 2
3
f x x? ?= ?? ?
? ?
的图象为G ，下列结论正确的有（ ）．
A.函数 ( )f x 的最小正周期为 π
B. 函数 ( )f x 在区间 π 5π,
12 12
? ??? ?? ?
上单调递增
C.直线 π
12
x = ? 是图象G 的一条对称轴
D.将函数 sin 2y x= 的图象向右平移
π
3
个单位长度，得到图象G
【答案】ABC；
【解析】A 选项，由 2π π
2
T = = ，则 ( )f x 的最小正周期为 π，正确；
3
B 选项，单增区间为 π π π2 π 2 2 π
2 3 2
k x k? ≤ ? ≤ + ，解得 π 5ππ π
12 12
k x k? ≤ ≤ + ， k∈Z，正确；
C 选项，对称轴为 π π π 5π2 π
3 2 2 12
kx k x? = + ? = + ， k∈Z， 1k = ? 则 π
12
x = ? ，正确；
D 选项，右平移 π
3
个单位长度得到
π 2πsin 2 sin 2
3 3
y x x? ?? ? ? ?= ? = ?? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ?
，故错误．
11. 已知函数 ( )f x x= ， ( ) 4g x x= ? ，则下列结论正确的是（ ）．
A.若 ( ) ( ) ( )h x f x g x= ，则函数 ( )h x 的最小值为 4
B.若 ( ) ( ) ( )h x f x g x= ，则函数的值域为R
C.若 ( ) ( ) ( )h x f x g x= ? ，则函数 ( )h x 有且仅有一个零点
D. 若 ( ) ( ) ( )h x f x g x= ? ，则 ( ) 4h x ≤ 恒成立
【答案】BCD；
【解析】A 选项， ( ) ( )4h x x x= ? 当 2x = ，此时 ( )min 4h x = ? ，故 A 错误；
B 选项， ( ) 4h x x x= ? ( )( )
4 , 4
4 , 4
x x x
x x x
? ≤??= ? ? >??
结合图象，可得值域为R ，故 B 正确；
C 选项， ( )
4, 0;
4 2 4,0 4;
4, 4.
x
h x x x x x
x
? ?= ? ? = ? < ? >?
，结合图像可得 ( )h x 有且仅有一个零点，且
( ) 4h x ≤ 恒成立，故 C,D 正确．
12. 已知向量 ,a b
? ?
是同一平面α 内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）．
A.若存在实数λ，使得 b aλ=
? ?
，则 a
?
与 b
?
共线
B.若 a
?
与 b
?
共线，则存在实数λ，使得 b aλ=
? ?
C.若 a
?
与 b
?
不共线，对平面内任意向量 c
?
，均存在实数λ， ? ，使得 c a bλ ?= +
? ? ?
D.若对平面α 内任意向量 c
?
，均存在实数λ， ? ，使得 c a bλ ?= +
? ? ?
，则 a
?
与 b
?
不共线
【答案】ACD；
【解析】对于 A，若存在实数λ，使得 b aλ=
? ?
，则 a
?
与 b
?
共线，故 A 正确；
对于 B，若 0a =
? ?
，则不满足题意，故 B 不正确；
对于 C，由平面向量基本定理，故 C 正确；
4
对于 D，假设 a
?
与 b
?
共线，此时可以找到平面α 内的向量 c
?
使得 c a bλ ?≠ +
? ? ?
，与条件矛盾，则
假设不成立，故 D 正确.
所以选 ACD．
三、填空题：本小题共 4小题，每小题 5分，共 20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 已知 a 和 b 都是单位向量，且 =0?a b ， =2 +c a b，则向量 b 与 c 的夹角的余弦值是 ．
【答案】
5
5
；
【解析】 ( ) 22 1b c b a b b? = ? + = =? ? ? ? ? ? ， 2 5c c= =? ? ，所以 5cos , 5
b cb c
b c
?
= =
?
? ?
? ?
? ?
；
14. 在 ABC△ 中，已知 7sin cos
13
A A+ = ，则 sin cosA A的值为 ，tan A 的值为 ．（本
题第一空 2 分，第二空 3 分）
【答案】
60
169
? ；
12
5
? ；
【解析】原式平方可得
491 2sin cos
169
A A+ = ，所以 60sin cos
169
A A = ?
因为 ( )0,πA∈ ，所以 sin 0,cos 0A A> < ，
解得
12sin
13
A = ， 5cos
13
A = ? ，
所以
12tan
5
A = ? ．
15. 已知函数 ( )( )f x x∈R 是周期为 4 的奇函数，且当 0 2x≤ ≤ 时， ( ) ( )1 , 0 1
sin π 1 2
x x x
f x
x x
? ? ≤ ≤
= ?
< ≤?
则
37
6
f f? ?? ? =? ?? ?
? ?? ?
．
【答案】
1
4
；
【解析】依题可得
37 11 11 11π 1 1sin
6 6 6 6 2 4
f f f f f f f f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? = ? = ? = =? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
．
5
16. 已知 A，B 是函数 ( ) πsin
2
xf x = 的图象与函数 ( ) πcos
2
xg x = 的图象的两个不同的交点，则线段 AB
长度的最小值是 ．
【答案】 6 ；
【解析】令 ( ) ( )f x g x= 解得 1 2 ,
2
x k k= + ∈Z，结合函数草图，
当 0k = 和1时，线段 AB 取到一次最小值，为 1 2,
2 2
? ?
? ?? ?
? ?
与
5 2,
2 2
? ?
?? ?? ?
? ?
的距离，为 6 ．
四、解答题：本小题共 6小题，共 70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出应写出文字说明，
证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分 10 分）
已知向量 ( )2,m=a ， ( )1,6m= ?b ．
⑴ 若 / /a b ，求实数m 的值；
⑵ 若 + = ?a b a b ，求实数m 的值．
【答案】⑴ 4或 3? ；⑵ 1
4
；
【解析】⑴ 因为 / /a b ， ( )2,m=a ， ( )1,6m= ?b ，所以 ( )2 6 1m m× = ? ，
解得m = 4或 3? ；
⑵ ( )1, 6= m m+ + +a b ， ( )3 , 6= m m? ? ?a b ，
又因为 + = ?a b a b ，
所以 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 6 3 6m m m m+ + + = ? + ? ，
化简得：32 8m = ，解得 1
4
m = ．
18. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，角α 的顶点为O，始边为 x轴的正半轴，终边经过点 ( )3,P m? ，且
4sin
5
α = ．
6
⑴ 求实数m 的值；
⑵ 求 ( ) ( )sin 2π cos π
π 3πsin cos
2 2
α α
α α
? + +
? ? ? ?+ + ?? ? ? ?
? ? ? ?
的值．
【答案】⑴ 4；⑵
1
7
；
【解析】⑴ 由三角函数定义
( )2 2
4sin
53
m
m
α = =
? +
，
平方得： ( )2 225 16 9m m= + ，解得 4m = ± ，
由 sin 0α > ，得 4m = ；
⑵ ( ) ( )sin 2π cos π sin cos
π 3π cos sinsin cos
2 2
α α α α
α αα α
? + + ? ?
=
?? ? ? ?+ + ?? ? ? ?
? ? ? ?
，
由 ( )3,4P ? ，得 3cos
5
α ?= ，
所以原式
4 3
15 5
3 4 7
5 5
? +
= =
? ?
．
19. （本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) e e
2
x xaf x
??
= 是奇函数，其中 e是自然对数的底数．
⑴ 求实数 a的值；
⑵ 若 ( ) ( )lg 1 0f x f+ ? < ，求 x的取值范围．
【答案】⑴ 1；⑵ ( )0,10 ；
【解析】⑴ ( )f x 的定义域为R ，因为 ( )f x 为奇函数，
则必有 ( ) 10 0
2
af ?= = ，解得 1a = ，
当 1a = 时， ( ) e e
2
x x
f x
??
= 满足 ( ) ( )f x f x? = ? ，
所以 1a = ；
⑵ ( ) e e
2
x x
f x
??
= ，任取 1 2x x< ，
7
( ) ( )
( )( )1 2 1 21 1 2 2
1 21 2
e e e 1e e e e
2 2 2e e
x x x xx x x x
x xf x f x
+? ? ? +? ?
? = ? = ，
因为 1 2x x< ，所以 1 2
x xe e< ， 1 2 0x xe e? < ，而 1 2e 1x x+ + 及 1 22e ex x 均大于 0，
所以 ( ) ( )1 2 0f x f x? < ， ( )f x 为R 上递增的奇函数，
( ) ( )lg 1 0f x f+ ? < ，即 ( ) ( )lg 1f x f< ，
即 lg 1x < ，解得 ( )0,10x∈ ．
20. （本小题满分 12 分）
如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O距地面的高度为 65m ．已知
摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 30min 转动一圈．游客在摩天
轮的舱位转到距地面最近的位置进舱．
⑴ 游客进入摩天轮的舱位，开始转动 mint 后，他距离地面的高
度为 h，求 h关于 t 的函数解析式；
⑵ 已知在距离地面超过 40m 的高度，游客可以观看游乐场全景，
那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的
时间是多少？．
【答案】⑴
π π50sin 65
15 2
h t? ?= ? +? ?
? ?
， 0t ≥ ；⑵ 20min ；
【解析】⑴ 如图，设座舱距离地面最近的位置为点 P ，以轴心O为原
点，与地面平行的直线为 x轴建立直角坐标系．
设 0t = 时，游客位于点 ( )0, 50P ? ，以OP 为终边的角为
π
2
? ；根据摩天轮转一圈需要30min ，可知座舱转动的角
速度为
π rad / min
15
，所以 t 时刻，角度为 π π
15 2
t ? ；根据三
角函数定义，可得
π π50sin 65
15 2
h t? ?= ? +? ?
? ?
， 0t ≥ ；
⑵ 即 40h ≥ ， π π π π 150sin 65 40 sin
15 2 15 2 2
t t? ? ? ?? + ≥ ? ? ≥ ?? ? ? ?
? ? ? ?
，
即
π π π 7π2 π 2 π
6 15 2 6
k t k? + ≤ ? ≤ + ，
解得5 30 25 30k t k+ ≤ ≤ + ， k∈N，
O
（ 第20题图）
地面
P
y
xO
地面
8
在转动一圈过程中，取同一个 k ，所以 ( )25 30 5 30 20t k k= + ? + = ，
答：时间为 20min ．
21. （本小题满分 12 分）
在 ABC△ 中， 6AB = ， 3AC = ，D 为 BC 中点， 2AB EB=
???? ????
，
1
2
AF FC=
???? ????
，
⑴ 若 π
3
A∠ = ，求 AD EF?
???? ????
的值；
⑵ 若 0DE DF? =
???? ????
，求 AB AC?
???? ????
的值．
【答案】⑴ 12? ；⑵ 81
8
；
【解析】⑴ 因为 D 为 BC 中点，
所以 ( )1 1 1 12 2 2 2AD AC CD AC CB AC AB AC AC AB= + = + = + ? = +
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
，
因为 2AB EB=
???? ????
，
1
2
AF FC=
???? ????
，
所以
1 2
3 3
EF AF AE AC AB= ? = ?
???? ???? ???? ???? ????
，
所以
1 1 1 2
2 2 3 3
AD EF AC AB AC AB? ? ? ?? = + ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
???? ???? ???? ???? ???? ????
2 21 1 1 1 1 1 π9 36 3 6 cos 12
6 3 6 6 3 6 3
AC AB AC AB= ? ? ? = × ? × ? × × × = ?
???? ???? ???? ????
；
⑵ 2 1 1 1 1
3 2 2 2 6
DE AE AD AB AC AB AC AB? ?= ? = ? + = ? +? ?
? ?
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
，
1 1 1 1 1
3 2 2 6 2
DF AF AD AC AC AB AC AB? ?= ? = ? + = ? ?? ?
? ?
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
，
因为 0DE DF? =
???? ????
，
所以
2 21 1 1 1 1 1 2 9 2 0
2 6 6 2 12 12 9 4 9
AC AB AC AB AC AB AB AC AB AC? ? ? ?? + ? ? ? = ? + ? = ? + ? =? ? ? ?
? ? ? ?
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
，
所以
81
8
AB AC? =
???? ????
．
(第21题图)
D
F
EA B
C
9
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) sinf x x= ， ( ) lng x x= ．
⑴ 求方程 ( ) π
2
f x f x? ?= ?? ?
? ?
在 [ ]0,2π 上的解；
⑵ 求证：对任意的 Ra∈ ，方程 ( ) ( )f x ag x= 都有解；
⑶ 设 M 为实数，对区间 [ ]0,2π 内的满足 1 2 3 4x x x x< < < 的任意实数 ( )1 4ix i≤ ≤ ，不等式
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4M f x f x f x f x f x f x≥ ? + ? + ? ，求M 的最小值．
【答案】⑴
π
4
x = 或 5π
4
；⑵ 证明见解析；⑶ 4．
【解析】⑴ ( ) π πsin sin cos
2 2
f x f x x x x? ? ? ?= ? ? = ? =? ? ? ?
? ? ? ?
．
①当 cos 0x = 时， sin 1x = ± ，不符题意；
②当 cos 0x ≠ 时， sin tan 1
cos
x x
x
= = ， [ ]0,2πx∈ ，所以 π
4
x = 或 5π
4
；
⑵ ( ) ( ) ( )g sin lnh x f x a x x a x= ? = ? ，则 ( )1 sin1 0h = > ；
①当 0a = 时， πx = 是方程的一个解，
②当 0a > 时， ( ) ( )π sin π ln π ln π 0h a a= ? = ? < ，
又因为 ( )h x 在 ( )1,π 上图象不间断，所以 ( )h x 在区间 ( )1,π 上存在零点，即方程
( ) ( )f x ag x= 有解，
③当 0a < 时， ( )
1
e 0,1a ∈ ，
1 1 1 1
e sin e ln e sin e 1 1 1 0a a a ah a
? ?
= ? = ? < ? =? ?
? ?
，又因为 ( )h x 在
1
e ,1a
? ?
? ?
? ?
上图象不间断，所以 ( )h x 在区间
1
e ,1a
? ?
? ?
? ?
上存在零点，即方程 ( ) ( )f x ag x= 有解．
⑶ 注意到 1 2 3 4
π 3π0, , , π
2 2
x x x x= = = = 时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? =
以下证明 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? ≤ ；
法一：① 若 2 πx ≥ ，则 ( ) [ ]2 1,0f x ∈ ? ， ( ) [ ]3 1,0f x ∈ ? ， ( ) [ ]4 1,0f x ∈ ? ，
则 ( ) ( )1 2 2f x f x? ≤ ， ( ) ( )2 3 1f x f x? ≤ ， ( ) ( )3 4 1f x f x? ≤ ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? ≤ ；
10
② 若 3 πx ≤ ，则 ( ) [ ]1 0,1f x ∈ ， ( ) [ ]2 0,1f x ∈ ， ( ) [ ]3 0,1f x ∈ ，
则 ( ) ( )1 2 1f x f x? ≤ ， ( ) ( )2 3 1f x f x? ≤ ， ( ) ( )3 4 2f x f x? ≤ ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? ≤ ；
③ 若 1 2 3 40 π 2πx x x x≤ < < < < ≤ ，
则 ( ) [ ]1 0,1f x ∈ ， ( ) [ ]2 0,1f x ∈ ， ( ) [ ]3 1,0f x ∈ ? ， ( ) [ ]4 1,0f x ∈ ? ，
则 ( ) ( )1 2 1f x f x? ≤ ， ( ) ( )2 3 2f x f x? ≤ ， ( ) ( )3 4 1f x f x? ≤ ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? ≤ ．
法二：先证明如下一般的结论：对于函数 ( ) sinf x x= ，
设 1 2 1 2 1 2
π 3π0 2π
2 2k k k k l k l k l k l m
x x x x x x x x x+ + + + + + + + +≤ < < < < ≤ < < < < ≤ < < < ≤? ? ? ，
因为 ( )f x 在 π0,
2
? ?
? ?? ?
上单调增，在
π 3π
2 2
? ?
? ?? ?
， 上单调减，在
3π 2π
2
? ?
? ?? ?
， 上单调增，
所以 ( ) ( )
1
1
1
k l m
i i
i
f x f x
+ + ?
+
=
?∑ ( ) ( ) ( ) ( )1 1k k kf x f x f x f x += ? + ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1k k l k l k l k l k l mf x f x f x f x f x f x+ + + + + + + + ++ ? + ? + ?
( ) ( ) ( ) ( )1 1
π π+
2 2k k k
f x f x f x f f f x +
? ? ? ?≤ ? + ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
3π 3π+
2 2k k l k l k l k l k l m
f x f x f x f f f x f x f x+ + + + + + + + +
? ? ? ?+ ? + ? ? + ?? ? ? ?
? ? ? ?
( ) ( )1
π π 3π 3π+
2 2 2 2 k l m
f x f f f f f x + +
? ? ? ? ? ? ? ?≤ ? + ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
( ) ( )π π 3π 3π0 + 2π 4
2 2 2 2
f f f f f f? ? ? ? ? ? ? ?≤ ? + ? ? =? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
．
所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? ≤ ．
法三： ① ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x≤ ≤ ≤ 或 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x≥ ≥ ≥ 时，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 1 4 2f x f x f x f x f x f x f x f x? + ? + ? = ? ≤ ；
② ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x≤ ≤ ≥ 或 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x≥ ≥ ≤ 时，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 1 3 3 4f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x? + ? + ? = ? + ? 因为
siny x= 最大值为1，最小值为 1? ，
11
所以对于任意的1 , 4i m≤ ≤ ， ( ) ( ) 2i mf x f x? ≤
所以 ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 4f x f x f x f x? + ?
即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? ≤ ；
③ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x≥ ≤ ≤ 或 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x≤ ≥ ≥ 时，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 1 2 2 4f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x? + ? + ? = ? + ?
同②可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? ≤ ；
④ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x≥ ≤ ≥ 时，由于函数在
π0
2
? ?
? ?
? ?
， 和
3π ,2π
2
? ?
? ?
? ?
上单调递增，在
π 3π,
2 2
? ?
? ?
? ?
上单调递减，不存在 1 2 3 4, , ,x x x x ；
⑤ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x≤ ≥ ≤ 时，由于函数在
π0
2
? ?
? ?
? ?
， 和
3π ,2π
2
? ?
? ?
? ?
上单调递增，在
π 3π,
2 2
? ?
? ?
? ?
上单调递减，可得 1
π0,
2
x ? ?∈ ? ?? ?
， 4
3π , 2π
2
x ? ?∈ ? ?? ?
（严格证明可用反证法），所以 ( ) ( )4 1f x f x≤ ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 2 4 3 12 2f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x? + ? + ? = + ? ?
( ) ( )( )2 32 4f x f x≤ ? ≤ ；
综上， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4f x f x f x f x f x f x? + ? + ? ≤ ，当且仅当
1 2 3 4
π 3π0, , , π
2 2
x x x x= = = = 时取等；
所以 4M ≥ ，所以最小值为 4．
12
