2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷解析版

2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于（　　）

A． B． C． D．
4．（4分）如图，已知点C在弧AB上，∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为（　　）

A．55° B．110° C．120° D．125°
5．（4分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　）

A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
6．（4分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（　　）

A．125° B．115° C．100° D．130°
7．（4分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
8．（4分）已知抛物线C的解析式为y＝ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（　　）
A．a确定抛物线的开口方向与大小
B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变
C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变
D．若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a、b、c的值全变
9．（4分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）

A．1 B． C．1 D．
10．（4分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论中正确的是（　　）

A．a﹣b+c＞0 B．2a+b+c＜0
C．x （ax+b）＞a+b D．a＜﹣1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　 　．
12．（5分）如图，在?ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．

13．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于　 　．

14．（5分）如图，点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G．若AC＝BC＝25，CE＝15，DC＝20，则的值为　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）计算：sin30°+cos30°?tan60°．
16．（8分）已知二次函数y＝x2+2x+c的图象经过点（1，﹣5）．
（1）求c的值；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
17．（10分）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．

18．（10分）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．

五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD、BD，已知AB＝6，BC＝2．
（1）求AC、AD、BD的长；
（2）求四边形ACBD的面积．

20．（8分）某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示）
（I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？

六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD＝MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求OD长；
（3）在（2）的基础上求MC长．

七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

八、（本题满分14分）
23．（14分）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM＝DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，（2）的基础上，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．



2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
2．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣4是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（3，﹣4）．
∴则答案为C
故选：C．
3．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝10、AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
∴sinA＝＝＝，
故选：A．
4．【解答】解：如图，在优弧上取一点D，连接AD、BD，
∵∠AOB＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
∵A、D、B、C四点共圆，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
故选：D．
5．【解答】解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°﹣α，
故选：C．
6．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．
故选：A．
7．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝DB＝AB＝，
在Rt△AOD中，OA2＝（OC﹣CD）2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+（）2，
解得，OA＝4
∴OD＝OC﹣CD＝3，
∵AO＝OE，AD＝DB，
∴BE＝2OD＝6，
故选：B．
8．【解答】解：A、a确定抛物线的开口方向与大小，所以A选项的说法正确；
B、若将抛物线C沿y轴平移，则抛物线的对称轴不变，开口大小、开口方向不变，所以a，b的值不变，所以B选项的说法正确；
C、若将抛物线C沿x轴平移，抛物线的开口大小、开口方向不变，即a的值不变，所以C选项的说法正确；
D、若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a不变，b、c的值改变，所以D选项的说法不正确．
故选：D．
9．【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2＝．
∵S△ADE＝S四边形BCED，
∴＝，
∴＝＝＝﹣1．
故选：C．
10．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以B错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以A错误；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以C错误；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以D正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
12．【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD?sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
＝4﹣π﹣1
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．

13．【解答】解：正方形的边长AB＝2，
则半径是2×＝，
则面积是（）2π＝2π．
故答案是：2π．
14．【解答】解：如图，过E作EH⊥GF于H，过B作BP⊥GF于P，则∠EHG＝∠BPG＝90°，
又∵∠EGH＝∠BGP，
∴△EHG∽△BPG，
∴＝，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠AFC＝90°，
∴∠DFC＝∠CHE，∠AFC＝∠CPB，
又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠CDF＝∠ECH，∠FAC＝∠PCB，
∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，
∴＝＝，＝＝1，
∴EH＝CF，BP＝CF，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．【解答】解：原式＝+×
＝+
＝2．
16．【解答】解：（1）∵点（1，﹣5）在y＝x2+2x+c的图象上，
∴﹣5＝1+2+c，
∴c＝﹣8．
答：c的值为﹣8．

（2）由（1）得函数的解析式为y＝x2+2x﹣8，
令y＝0，则x2+2x﹣8＝0，
解方程得：x1＝﹣4，x2＝2．
故函数与轴的交点坐标为（﹣4，0），（2，0）．
四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
17．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求； B2（10，8）
18．【解答】解：如图作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，
∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，
在Rt△ACH中，tanA＝＝，
∴AH＝8，
∴AC＝＝10，
∴AB＝AH+BH＝8+6．
五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
由勾股定理得，AC＝＝4，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴＝，
∴AD＝BD＝×AB＝3；
（2）四边形ACBD的面积＝×AD×BD+×BC×AC＝9+4．
20．【解答】解：（Ⅰ）由函数的图象得：，
解得：，
∴所以y＝﹣x+100（50≤x≤80）；
（Ⅱ）设每天获得的利润为W元，
由（Ⅰ）得：W＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣x+100）＝﹣x2+150x﹣5000＝﹣（x﹣75）2+625，
∵﹣1＜0，
∴当x＝75时，W最大＝625即该公司要想第天获得最大利润，应把销售单价为75元/件，最大利润为625元．
六、（本题满分12分）
21．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM＝90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，
∴MD＝MC；
（2）解：由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝2，
∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴＝，
即＝，
可得：OD＝2.5，
（3）解：设MC＝MD＝x，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2＝x2+52，
解得：x＝，
即MC＝．

七、（本题满分12分）
22．【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：，
解得：，或．
故可得点A的坐标为（，）；

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA＝S△POQ+S梯形PQBA﹣S△BOA
＝×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
＝4+﹣
＝；


（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y＝x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4＝×2+b，解得b＝3，
∴直线PM的解析式为y＝x+3．
由，解得，，
∴点M的坐标为（，）．


八、（本题满分14分）
23．【解答】（1）证明：如图1所示，
∵DM∥EF，
∴∠AMD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠A，
∴∠AMD＝∠A，
∴DM＝DA；
（2）证明：如图2所示，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C，
∵∠AFE＝∠A，
∴∠BDE＝∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE＝∠C+∠FEC，
∵∠BDG＝∠C，
∴∠GDE＝∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
（3）解：如图3所示，
∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴，
∴BD2＝BG?BE，
∵∠AFE＝∠A，∠CFH＝∠B，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣∠AFE﹣∠CFH＝∠EFH，
又∵∠FEH＝∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴，
∴EF2＝EH?EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF＝DM＝DA＝BD，
∴BG?BE＝EH?EC，
∵BE＝EC，
∴EH＝BG＝1．