京改版九年级数学上册19．4《二次函数的应用》教案

北京版九年级数学上册
第19章 二次函数和反比例函数
19.4《二次函数的应用》教案
教学目标
一、知识与技能
1. 通过自主学习和合作探究，使学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，进一步巩固并熟练掌握二次函数的性质．
2. 通过巩固与运用，让学生体验操作、探究的过程，学会分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．增强解决问题的能力．
二、知识与能力
采用自主、合作、探究的学习方法，引导学生学会建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力．
三、情感态度与价值观
通过学习、理解和运用，让学生从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活．经历求最大面积的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成．
教学重点
能利用实际问题列出二次函数的解析式，并能利用二次函数的性质求出最大值和最小值．
教学难点
能利用几何图形的有关知识求二次函数的解析式，解决最大面积、最优化等问题．
教学过程
一、知识回顾
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
（1） y ＝﹣x2+58x﹣112; （2）y＝﹣x 2+4x
解：（1）配方得： y ＝﹣（x﹣29）2+729
又因为： ﹣1 ＜ 0，则：图像开口向下，
所以：当x ＝ 29时， y达到最大值为729
(2） ﹣1 ＜ 0，则图像开口向下，函数有最大值
由最值公式可知，当x ＝2时， y达到最大值为4.
二、知识探究
1.如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m.若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度是怎样变化，你能建立函数模型来解决这个问题吗？

解析：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.设抛物线解析式为：y=ax2，
已知水面宽4m，拱顶离水面高2m，因此A
（2，-2）在抛物线上，由此得出-2=a·22，
解得a=-
因此，函数表达式为y= -x2，其中∣x∣是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数.
由于拱桥跨度为4.9m,因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45.
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

解：设窗框的一边长为x米，则另一边的长为（4－x）米，
又令该窗框的透光面积为y平方米，那么：
y ＝ x（4－ x ）且0 ＜ x ＜ 4
即： y ＝ ﹣ x 2＋ 4x
又有：﹣1 ＜ 0，
则：该函数的图像开口向下，故函数有最大值
而图像的对称轴为直线x＝ 2，且0 ＜ 2 ＜ 4
所以由求最值公式可知，当 x ＝ 2时，该函数达到最大值为4.
所以，该窗框的宽和高相等，都为2米时透光面积达到最大的4平方米.
3. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积.
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为(24－4 x )米
∴ S ＝ x (24 － 4 x )
＝ ﹣4 x 2 ＋ 24 x (0 ＜ x ＜ 6)
(2)当x ＝- =3 时，S最大值＝＝ 36(平方米)
3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0 ＜ 24－4 x ≤ 6 4 ≤ x ＜ 6
∴当x ＝4cm时，S最大值＝ 32 平方米
四、归纳总结
1. 解决问题的思路和方法
（1）数据（常量、变量）提取；
（2）自变量、因变量识别；
（3）构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；
（4）利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值．
2. 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤

五、例题精析
例1 利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到0.1）.
解： 设有二次函数 ，列表并作出它的图象.
x … -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -2 - -4 - -2 …

观察抛物线和x轴交点的位置，估计出交点的横坐标分别约为-0.8和4.8，所以得出方程精确到0.1的近似解为
x1=-0.8，x2=- 4.8
例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m），此时，窗户的面积是多少？

解：

且

设窗户的面积是S m2.则：

当时，
因此，当约为1.07 m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m2.
例3 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量会减少10件.当销售单价为多少时，该店能在一个月内获最大利润？
解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元.
每月减少的销量为10x（件），实际销售量为180-10x（件），单件利润为（30+x-20)元，
则y=(10+x)(180-10x)
即y=-10x2+80x+1800(x≤18)
配方可得y=-0(x-4)2+1960
所以当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960.
答：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
六、当堂训练
练习1 如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米.
(1)求截面积S（平方米）关于底部宽x（米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？
(2)试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最大（结果精确到0.01米）？

练习2“城市发展, 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米／时)是车流密度 x(单位：辆／千米)的函数，且当0
(1)求当28(2)若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P(单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值．
(注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度)
七、课堂小结
1.对问题情景中的数量（提取常量、变量）关系进行梳理；
2.建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等）；
3.建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等），解决问题用字母（参数）来表示不同数量（如不同长度的线段）间的大小联系.
八、布置作业
完成课本练习题.