人教版数学九下26.1.2反比例函数的图像与性质教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版数学九下26.1.2反比例函数的图像与性质教学设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 226.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-18 21:20:58 | ||
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文档简介
名称:反比例函数的图像与性质
年级学科 九年级数学 教材版本 人教版
一、教学内容分析
本节课内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图像，并通过图像的研究和分析，来确定反比例函数的性质． 反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续学习各类函数的基础．反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图像和性质．反比例函数的图像和性质的核心，是图像“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在． 反比例函数的图像和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数的图像和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．通过对图像的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法．这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图像探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图像之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用．
二、教学目标
（1）能描点画出反比例函数的图像． （2能根据图像数形结合地分析，从而发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力． （3）能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，抓住函数的变化规律是由决定的这一性质． （4）在探究活动中，培养严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟． 重点：能描点画出反比例函数的图像并探索其性质． 难点：类比一次函数图像及其性质探索并理解反比例函数图像的特征．
三、学习者特征分析
学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图像、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念．但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在画图、探究反比例函数的性质等方面出现负迁移等问题．为此，教学时将采取正面引领（展示学生所画的正确图像，回顾作图步骤）、反面剖析（展示学生所画的错误图像，分析错误原因）、实践操作（学生再画函数图像时，不仅能正确作出函数的图像，而且能在作图中体验、探索函数的性质）3个步骤加以解决．
四、教学过程
（一）创设情境，引入新知 问题1 我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？ 以正比例函数为例，请同学们从图像形状、位置、变化趋势和函数增减性4个方面填写表1． 表1函数 图像形状 图像分布 图像变化趋势 函数增减性 师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案写在表格中，强调是从形状、位置、变化趋势和函数增减性4个方面去研究的．教师特别指出：本节课我们先研究反比例函数图像及其形状和分布．【设计意图】通过复习正比例函数的图像和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图像和性质做好铺垫．（二）操作探究，形成新知 问题2 反比例函数的图像会是什么形状的？利用描点法画出反比例函数的图像来看一看．同时注意点在什么位置，这些点构成什么图形？ 列表（如表2）． … … … … 列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图像的特征． （2）描点： 一般情况下，所选的点越多图像越精确．（3）连线：（重点分析）师生活动：教师引导学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图像的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征．【设计意图】图像是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图像的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识． 问题3 教师巡视学生作图后展示几幅学生的作品，作图是否正确？如果你认为不正确，能不能反思一下它们的问题在哪里？（用实物投影展示学生用描点法画出的作品）学生可能会出现的作图错误： ①用折线段连接； ②图像与轴、轴相交（显然，，图像一定不经过坐标原点，也永远不会与轴、轴相交）；③不能完整反映其图像“渐进”的特征．问题4 反比例函数的图像不能用折线段连接，为什么是平滑的曲线呢？ 师生活动： （1）教师引导学生在范围内描5个点，细画的图像的一段（如表3） （2）教师利用计算机在范围内描10个点，细画的图像的一段． （3）教师利用计算机在范围内描50个点，细画的图像的一段． （4）教师利用计算机在范围内描100个点，细画的图像的一段． （5）教师利用计算机在范围内描1000个点，画的图像． 【设计意图】在这个过程中，由具体一段函数图像变化的研究，让学生体验随着点的个数的不同，反比例函数的图像是如何由折线变化成曲线的．并说明：平时我们画反比例函数的图像，当然是希望取较少的点就能画出精确的图像，于是可以借助特殊点，利用在研究过程中积累的经验，把它们用平滑的曲线连起来． 问题5 观察反比例函数的图像，有哪些特征？ 师生活动：教师引导学生观察、类比正比例函数，归纳说出反比例函数图像的形状、分布．结论：观察反比例函数的图像是两条曲线（给出函数图像名称：双曲线），两条曲线分别位于第一、三象限． 【设计意图】通过类比正比例函数，引导学生观察图像的形状、分布，感受“形”的特征，使学生对反比例函数的图像和性质形成初步的印象． 问题6 是不是所有的反比例函数的图像都具有这样的特征呢？ 以讨论反比例函数为例．在教师的引导下，学生借鉴画反比例函数的图像的经验，自主画出反比例函数的图像，教师巡视指导．作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图像的特征，教师适时点评． 【设计意图】通过再次画出反比例函数的图像，帮助学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图像的能力．同时，在总结、说出反比例函数的图像特征的过程中，增强学生对图像的观察、感知、分析、概括的能力，让学生经历画出函数图像、并利用图像研究函数性质的过程． 问题7 反比例函数与的图像有哪些共同特征？有哪些不同点？是由什么决定的？ 师生活动1：教师启发学生对比、思考、组织学生讨论，引导学生关注反比例系数“”的作用． 教师特别指出：我们从反比例函数的解析式同样能发现“反比例函数图像的位置特征”．对于反比例函数，当时，、的正负符号相同，以为坐标的点位于第一或第三象限；当时，、的正负符号相反，以为坐标的点位于第二或第四象限． 【设计意图】学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图像的特征，在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与、探究新知的目的．同时，强调回归解析式的必要性，这种从“数”的方面的再强调，会使学生对反比例函数图像和性质的认识更加科学精确． 问题8 当取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？ 教师借助《几何画板》，赋予不同的值，画出了更多反比例函数的图像，观察所得到的不同的反比例函数图像的特征，引导学生归纳“变化中规律性”．然后，从解析式的角度，引导学生分析上述结论的合理性．【设计意图】通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，加强对反比例函数图像“特征”和函数“特性”以及它们之间的相互转化关系的认识．问题9 总结反比例函数图像的特征和性质．教师帮助学生梳理、归纳，填写表4： 表4 名称 解析式 图像形状 图像分布 反比例函数 【设计意图】通过与正比例函数的比较，加深学生对反比例函数的性质的理解，尤其是要理解决定了函数的变化规律，提高学生的归纳、概括能力． 巩固提高，应用新知课堂练习1．反比例函数的图像位于（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．若反比例函数的两支曲线分别位于第一、三象限，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 3．矩形的面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图像大致可表示为（ ） 4.在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象交点个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5. 函数 (a≠0)与y= (a≠0)在同一坐标系中的大致图象是 （ ） 6．已知下列反比例函数： ①；②；③；④；⑤．图像两支分别在第一、三象限内的函数是________________； 图像两支分别在第二、四象限内的函数是________________；【设计意图】通过一系列的练习，实现知识向能力的转化． （四）归纳反思，深化新知这节课，我学到的知识方法、思想有： ________________________________________ 这节课，让我颇受启发的是： ________________________________________ 这节课，让我感到难以理解的是： ________________________________________【设计意图】教学不仅仅是和学生分享知识和方法，更重要的是培养学生的学习习惯、提高他们的学习能力，而勤于总结、善于反思则是能力提高的“快车道”．布置作业在同一直角坐标系中分别画出函数和的图像．
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y
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B
A
C
D
年级学科 九年级数学 教材版本 人教版
一、教学内容分析
本节课内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图像，并通过图像的研究和分析，来确定反比例函数的性质． 反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续学习各类函数的基础．反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图像和性质．反比例函数的图像和性质的核心，是图像“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在． 反比例函数的图像和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数的图像和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．通过对图像的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法．这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图像探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图像之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用．
二、教学目标
（1）能描点画出反比例函数的图像． （2能根据图像数形结合地分析，从而发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力． （3）能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，抓住函数的变化规律是由决定的这一性质． （4）在探究活动中，培养严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟． 重点：能描点画出反比例函数的图像并探索其性质． 难点：类比一次函数图像及其性质探索并理解反比例函数图像的特征．
三、学习者特征分析
学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图像、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念．但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在画图、探究反比例函数的性质等方面出现负迁移等问题．为此，教学时将采取正面引领（展示学生所画的正确图像，回顾作图步骤）、反面剖析（展示学生所画的错误图像，分析错误原因）、实践操作（学生再画函数图像时，不仅能正确作出函数的图像，而且能在作图中体验、探索函数的性质）3个步骤加以解决．
四、教学过程
（一）创设情境，引入新知 问题1 我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？ 以正比例函数为例，请同学们从图像形状、位置、变化趋势和函数增减性4个方面填写表1． 表1函数 图像形状 图像分布 图像变化趋势 函数增减性 师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案写在表格中，强调是从形状、位置、变化趋势和函数增减性4个方面去研究的．教师特别指出：本节课我们先研究反比例函数图像及其形状和分布．【设计意图】通过复习正比例函数的图像和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图像和性质做好铺垫．（二）操作探究，形成新知 问题2 反比例函数的图像会是什么形状的？利用描点法画出反比例函数的图像来看一看．同时注意点在什么位置，这些点构成什么图形？ 列表（如表2）． … … … … 列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图像的特征． （2）描点： 一般情况下，所选的点越多图像越精确．（3）连线：（重点分析）师生活动：教师引导学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图像的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征．【设计意图】图像是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图像的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识． 问题3 教师巡视学生作图后展示几幅学生的作品，作图是否正确？如果你认为不正确，能不能反思一下它们的问题在哪里？（用实物投影展示学生用描点法画出的作品）学生可能会出现的作图错误： ①用折线段连接； ②图像与轴、轴相交（显然，，图像一定不经过坐标原点，也永远不会与轴、轴相交）；③不能完整反映其图像“渐进”的特征．问题4 反比例函数的图像不能用折线段连接，为什么是平滑的曲线呢？ 师生活动： （1）教师引导学生在范围内描5个点，细画的图像的一段（如表3） （2）教师利用计算机在范围内描10个点，细画的图像的一段． （3）教师利用计算机在范围内描50个点，细画的图像的一段． （4）教师利用计算机在范围内描100个点，细画的图像的一段． （5）教师利用计算机在范围内描1000个点，画的图像． 【设计意图】在这个过程中，由具体一段函数图像变化的研究，让学生体验随着点的个数的不同，反比例函数的图像是如何由折线变化成曲线的．并说明：平时我们画反比例函数的图像，当然是希望取较少的点就能画出精确的图像，于是可以借助特殊点，利用在研究过程中积累的经验，把它们用平滑的曲线连起来． 问题5 观察反比例函数的图像，有哪些特征？ 师生活动：教师引导学生观察、类比正比例函数，归纳说出反比例函数图像的形状、分布．结论：观察反比例函数的图像是两条曲线（给出函数图像名称：双曲线），两条曲线分别位于第一、三象限． 【设计意图】通过类比正比例函数，引导学生观察图像的形状、分布，感受“形”的特征，使学生对反比例函数的图像和性质形成初步的印象． 问题6 是不是所有的反比例函数的图像都具有这样的特征呢？ 以讨论反比例函数为例．在教师的引导下，学生借鉴画反比例函数的图像的经验，自主画出反比例函数的图像，教师巡视指导．作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图像的特征，教师适时点评． 【设计意图】通过再次画出反比例函数的图像，帮助学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图像的能力．同时，在总结、说出反比例函数的图像特征的过程中，增强学生对图像的观察、感知、分析、概括的能力，让学生经历画出函数图像、并利用图像研究函数性质的过程． 问题7 反比例函数与的图像有哪些共同特征？有哪些不同点？是由什么决定的？ 师生活动1：教师启发学生对比、思考、组织学生讨论，引导学生关注反比例系数“”的作用． 教师特别指出：我们从反比例函数的解析式同样能发现“反比例函数图像的位置特征”．对于反比例函数，当时，、的正负符号相同，以为坐标的点位于第一或第三象限；当时，、的正负符号相反，以为坐标的点位于第二或第四象限． 【设计意图】学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图像的特征，在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与、探究新知的目的．同时，强调回归解析式的必要性，这种从“数”的方面的再强调，会使学生对反比例函数图像和性质的认识更加科学精确． 问题8 当取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？ 教师借助《几何画板》，赋予不同的值，画出了更多反比例函数的图像，观察所得到的不同的反比例函数图像的特征，引导学生归纳“变化中规律性”．然后，从解析式的角度，引导学生分析上述结论的合理性．【设计意图】通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，加强对反比例函数图像“特征”和函数“特性”以及它们之间的相互转化关系的认识．问题9 总结反比例函数图像的特征和性质．教师帮助学生梳理、归纳，填写表4： 表4 名称 解析式 图像形状 图像分布 反比例函数 【设计意图】通过与正比例函数的比较，加深学生对反比例函数的性质的理解，尤其是要理解决定了函数的变化规律，提高学生的归纳、概括能力． 巩固提高，应用新知课堂练习1．反比例函数的图像位于（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．若反比例函数的两支曲线分别位于第一、三象限，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 3．矩形的面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图像大致可表示为（ ） 4.在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象交点个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5. 函数 (a≠0)与y= (a≠0)在同一坐标系中的大致图象是 （ ） 6．已知下列反比例函数： ①；②；③；④；⑤．图像两支分别在第一、三象限内的函数是________________； 图像两支分别在第二、四象限内的函数是________________；【设计意图】通过一系列的练习，实现知识向能力的转化． （四）归纳反思，深化新知这节课，我学到的知识方法、思想有： ________________________________________ 这节课，让我颇受启发的是： ________________________________________ 这节课，让我感到难以理解的是： ________________________________________【设计意图】教学不仅仅是和学生分享知识和方法，更重要的是培养学生的学习习惯、提高他们的学习能力，而勤于总结、善于反思则是能力提高的“快车道”．布置作业在同一直角坐标系中分别画出函数和的图像．
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