5.1.2 垂线课件
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(共31张PPT)
人教版 七年级数学下
5.1.2垂线
1.理解垂线的概念，会用三角尺、量角器过一点画已知直线的垂线；（重点）
2.掌握点到直线的距离、垂线段的概念，并会应用其解决问题. （重点、难点）
3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。（难点）
学习目标
情境导入---垂直的定义
垂 直
如图，在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。
⑴ 当 b 的位置变化时， a， b所成的角α也会发生变化。
a
b
转 动
⑵ 当 α＝90°时， a 与 b 互相垂直， 记作：a⊥b
90°
情境导入---垂直的定义
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
垂直定义：
⑴ 垂直是相交的一种特殊情形；
相交
⑵ 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
情境导入---垂直的定义
⑶ 它们的交点叫做垂足；如图，直线 AB⊥CD，垂足为 O。
A
B
C
D
O
新知讲解---垂直的判定与性质
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
符号语言：
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°.
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
小试牛刀
(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则 ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则 ∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比 为1∶5，那么
∠COA＝____,∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
小试牛刀
（4）.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
O
D
C
A
B
∵∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD
解：这两条直线互相垂直，理由如下：
∴ 4∠AOC＝360°
∴ ∠AOC＝90°
∴ AB⊥CD
且∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠AOD＝360°
新知讲解---垂线的画法及其性质一
合作探究：
(1)画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能 画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能 画几条?
A
.B
l
.
思考：这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
A
无数条
新知讲解---垂线的画法及其性质一
（1）如图，已知直线 l,作l的垂线.
新知讲解---垂线的画法及其性质一
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
（2）如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点A作l的垂线.
思考：这样画l的垂线可以画几条？
一条
新知讲解---垂线的画法及其性质一
l
B
C
（3）如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
思考：这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.放
2.靠
3.移
4.画
新知讲解---垂线的画法及其性质一
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
小试牛刀
1、画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的直线的垂线。如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线。
P
A
B
P
A
B
A
B
P
小试牛刀
2. 利用方格纸可以用其中的横竖线作出互相垂直的两条直线，你还有其它方法吗？
新知讲解---垂线的性质二
【思考】如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？请你画图形。
P
H
【探究】如图，连接直线 l 外的一点P与直线l 上各点O，A1，A2，A3，···，其中PO⊥l (我们称PO为点P到直线的垂线段)。比较线段PO，PA1，PA2，PA3，···的长短，这些线段中，哪一条最短？
P
A1
A2
A3
A4
O
l
PO最短！
新知讲解---垂线的性质二
新知讲解---垂线的性质二
P
A1
A2
A3
A4
O
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例如：线段PO就是点P到直线l的距离。
小试牛刀
1、过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
小试牛刀
2、如图，下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
小试牛刀
3、画出下列各图中点P到直线AB的垂线段，指出点P到直线AB的距离。
P
A
B
M
A
B
P
M
P到直线AB的距离是垂线段PM的长度。
小试牛刀
4、如图，△ABC中，∠C＝90°，△ABC的三条边AB，BC，CA哪条边最长？为什么？
A
C
B
解：边AB最长。理由如下 ：
∵AC⊥BC
∴AC＜AB
∵BC⊥AC
∴BC＜AB
∴ AB、BC、CA中，边AB最长。
课堂小结
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1.垂线的定义：
2.垂线的画法：
3.垂线的性质：
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,
(2)垂线段最短.
4.点到直线的距离
靠、放、移、画
综合演练
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等
B.有两对角相等
C. 有三个角相等
D.有四对邻补角
C
综合演练
2.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短 的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
综合演练
3、若A、B、C是直线 l 上的三点，P是直线 l 外一点，且PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线 l 的距离是（ ）
(A)等于3cm； (B)大于3cm而小于4cm；
(C)不大于3cm； (D)小于3cm。
C
综合演练
4.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=58°，则∠BED的度数为 .
C
A
B
E
F
D
32°
综合演练
5.如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠BOD=90°-40°=50°，
∴∠EOF=50°.
又∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOD=50°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
综合演练
6.在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，∠AOC=30°时，求∠BOD的度数．
C
A
B
O
D
C
A
B
O
D
分析：根据题意，有以下两种情况： ① 当OC、OD在直线AB同侧时∠BOD =60°②当OC、OD在直线AB异侧时∠BOD =120°
课后作业
课本教材第8页：5、6题
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人教版 七年级数学下
5.1.2垂线
1.理解垂线的概念，会用三角尺、量角器过一点画已知直线的垂线；（重点）
2.掌握点到直线的距离、垂线段的概念，并会应用其解决问题. （重点、难点）
3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。（难点）
学习目标
情境导入---垂直的定义
垂 直
如图，在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。
⑴ 当 b 的位置变化时， a， b所成的角α也会发生变化。
a
b
转 动
⑵ 当 α＝90°时， a 与 b 互相垂直， 记作：a⊥b
90°
情境导入---垂直的定义
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
垂直定义：
⑴ 垂直是相交的一种特殊情形；
相交
⑵ 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
情境导入---垂直的定义
⑶ 它们的交点叫做垂足；如图，直线 AB⊥CD，垂足为 O。
A
B
C
D
O
新知讲解---垂直的判定与性质
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
符号语言：
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°.
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
小试牛刀
(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则 ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则 ∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比 为1∶5，那么
∠COA＝____,∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
小试牛刀
（4）.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
O
D
C
A
B
∵∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD
解：这两条直线互相垂直，理由如下：
∴ 4∠AOC＝360°
∴ ∠AOC＝90°
∴ AB⊥CD
且∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠AOD＝360°
新知讲解---垂线的画法及其性质一
合作探究：
(1)画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能 画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能 画几条?
A
.B
l
.
思考：这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
A
无数条
新知讲解---垂线的画法及其性质一
（1）如图，已知直线 l,作l的垂线.
新知讲解---垂线的画法及其性质一
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
（2）如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点A作l的垂线.
思考：这样画l的垂线可以画几条？
一条
新知讲解---垂线的画法及其性质一
l
B
C
（3）如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
思考：这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.放
2.靠
3.移
4.画
新知讲解---垂线的画法及其性质一
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
小试牛刀
1、画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的直线的垂线。如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线。
P
A
B
P
A
B
A
B
P
小试牛刀
2. 利用方格纸可以用其中的横竖线作出互相垂直的两条直线，你还有其它方法吗？
新知讲解---垂线的性质二
【思考】如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？请你画图形。
P
H
【探究】如图，连接直线 l 外的一点P与直线l 上各点O，A1，A2，A3，···，其中PO⊥l (我们称PO为点P到直线的垂线段)。比较线段PO，PA1，PA2，PA3，···的长短，这些线段中，哪一条最短？
P
A1
A2
A3
A4
O
l
PO最短！
新知讲解---垂线的性质二
新知讲解---垂线的性质二
P
A1
A2
A3
A4
O
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例如：线段PO就是点P到直线l的距离。
小试牛刀
1、过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
小试牛刀
2、如图，下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
小试牛刀
3、画出下列各图中点P到直线AB的垂线段，指出点P到直线AB的距离。
P
A
B
M
A
B
P
M
P到直线AB的距离是垂线段PM的长度。
小试牛刀
4、如图，△ABC中，∠C＝90°，△ABC的三条边AB，BC，CA哪条边最长？为什么？
A
C
B
解：边AB最长。理由如下 ：
∵AC⊥BC
∴AC＜AB
∵BC⊥AC
∴BC＜AB
∴ AB、BC、CA中，边AB最长。
课堂小结
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1.垂线的定义：
2.垂线的画法：
3.垂线的性质：
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,
(2)垂线段最短.
4.点到直线的距离
靠、放、移、画
综合演练
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等
B.有两对角相等
C. 有三个角相等
D.有四对邻补角
C
综合演练
2.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短 的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
综合演练
3、若A、B、C是直线 l 上的三点，P是直线 l 外一点，且PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线 l 的距离是（ ）
(A)等于3cm； (B)大于3cm而小于4cm；
(C)不大于3cm； (D)小于3cm。
C
综合演练
4.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=58°，则∠BED的度数为 .
C
A
B
E
F
D
32°
综合演练
5.如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠BOD=90°-40°=50°，
∴∠EOF=50°.
又∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOD=50°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
综合演练
6.在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，∠AOC=30°时，求∠BOD的度数．
C
A
B
O
D
C
A
B
O
D
分析：根据题意，有以下两种情况： ① 当OC、OD在直线AB同侧时∠BOD =60°②当OC、OD在直线AB异侧时∠BOD =120°
课后作业
课本教材第8页：5、6题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php